數(shù)學(xué)-專項3.1北京中考全真模擬卷01（模擬重組卷）-2023中考數(shù)學(xué)重難題型押題培優(yōu)導(dǎo)練案（北京專用）【解析版】

2023中考數(shù)學(xué)重難題型押題培優(yōu)導(dǎo)練案（北京專用）專題3.1北京中考全真模擬卷01（模擬重組卷）本套試卷精選北京市一模、二模好題重組.注意事項：本試卷滿分100分，試題共28題，選擇8道、填空8道、解答12道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．選擇題（本大題共8小題，每題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2022·北京朝陽·二模）在太陽光的照射下，一個矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由于平行線的投影是平行或重合，根據(jù)這一特征即可作出判斷．【詳解】由于矩形的兩組對邊分別平行，且平行線在太陽光下的投影是平行或重合，則A、B、D三個選項中的圖形可能是矩形在地面上的投影，而C選項中的梯形有一組對邊不平行，所以它不可能是矩形在地面上的投影．故選：C．【點睛】本題考查了平行投影，太陽光下的投影是平行投影，關(guān)鍵是掌握平行投影特點：平行物體的影子仍舊平行或重合．2．（2022·北京房山·二模）中國空間站俯瞰地球的高度約為400000米，將400000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A．4×105 B．4×106 C．【答案】A【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：400000=4×105．故選：A．【點睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n

的值是解題的關(guān)鍵．3．（2022·北京朝陽·二模）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，若實數(shù)b滿足a+b>0，則b的值可以是（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意可得?2<a<?1，從而得到a>1，再由a+b>0，可得b>0，且b>a【詳解】解∶根據(jù)題意得∶?2<a<?1，∴a>1∵a+b>0，∴b>0，且b>∴b>?a>1，∴b的值可以是2．故選：D【點睛】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算法則和數(shù)軸上的點和有理數(shù)的對應(yīng)關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)加法的符號規(guī)律確定b的取值范圍．4．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測）將兩塊三角板按如圖所示位置擺放，若AD∥BC，點F在AD上，則∠ACF的度數(shù)為（

）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】由題意可得∠EFD=60°，再由平行線的性質(zhì)得∠DAC=∠ACB=45°，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ACF．

【詳解】解：由題意可知：∠ACB=45°，∠FED=30°，∠EDF=∠BAC=90°，∴∠EFD=90°?∠FED=90°?30°=60°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=45°，∵∠EFD是△ACF的外角，∴∠EFD=∠DAC+∠ACF，∴∠ACF=∠EFD?∠DAC=60°?45°=15°．故選：B．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)．解答的關(guān)鍵是理解和掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．5．（2022·北京房山·二模）口袋里有三枚除顏色外都相同的棋子，其中兩枚是白色的，一枚是黑色的，從中隨機(jī)摸出一枚記下顏色，不放回，再從剩余的兩枚棋子中隨機(jī)摸出一枚記下顏色，摸出的兩枚棋子顏色相同的概率是（

）A．13 B．12 C．23【答案】A【分析】畫樹狀圖（或列表）展示所有等可能的結(jié)果，找出兩枚棋子顏色相同的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中兩枚棋子顏色相同的結(jié)果數(shù)為2，所以隨機(jī)摸出一枚記下顏色，摸出的兩枚棋子顏色相同的概率=2故選：A．【點睛】本題考查樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，正確畫出樹狀圖（或列表）是解題的關(guān)鍵．6．（2021·北京市八一中學(xué)模擬預(yù)測）用配方法解方程x2?4x?1=0，方程應(yīng)變形為（

A．x+22=3 B．x+22=5 C．【答案】D【分析】常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方，寫成完全平方式即可得．【詳解】解：∵x2∴x2∴x2?4x+故選D．【點睛】本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式和配方法的基本步驟是解題的關(guān)鍵．7．（2022·北京門頭溝·一模）圍棋起源于中國．古代稱之為“弈”，至今已有4000多年歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機(jī)器人AlphaGo進(jìn)行了圍棋人機(jī)大戰(zhàn)．截取對戰(zhàn)機(jī)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A中圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；B中圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；C中圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；D中圖形是中心對稱圖形，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念，理解概念，準(zhǔn)確找到對稱中心是解答的關(guān)鍵．8．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，一個邊長為8cm的正方形，把它的邊延長xcm得到一個新的正方形，周長增加了y1cm，面積增加了y2cm2．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y1和y2，都隨x的變化而變化，則y

A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系【答案】A【分析】根據(jù)題意可得：周長增大的部分y1（cm）＝新正方形的周長﹣原正方形的周長；面積增大的部分y2（cm2）＝新正方形的面積﹣原正方形的面積，根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)解析式即可．【詳解】解：由題意得：y1＝4（8+x）﹣4×8＝4x，此函數(shù)是一次函數(shù)；y2＝（8+x）2﹣82＝x2+16x，此函數(shù)是二次函數(shù)，故選：A．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列出函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．（2022·北京密云·二模）若代數(shù)式x?3有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______．【答案】x≥3【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：x?3≥0，解得：x≥3．故答案為：x≥3【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·北京四中模擬預(yù)測）分解因式：mx【答案】m【分析】通過提取公因式和完全平方公式即可解出．【詳解】解:m

=m(x=m(x+1)故答案為：m(x+1)【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式和完全平方公式為解題關(guān)鍵．11．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測）方程2x+1【答案】x=1【分析】先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再解方程，檢驗即可．【詳解】方程兩邊同乘x(x+1)，得2x=x+1，解得x=1，經(jīng)檢驗，x=1是原方程的解，故答案為：x=1．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．12．（2022·北京房山·二模）已知點A?2,y1,B?1,y2【答案】－1（答案不唯一）【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性解答即可．【詳解】解：∵點A?2,y1,B?1,∴當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大，∴k＜0，故答案為：－1（答案不唯一）【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解答的關(guān)鍵．13．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測）容器中有A，B，C，3種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會變成另外一種粒子．例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子．現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子．給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是A粒子；

②最后一顆粒子一定是C粒子

③最后一顆粒子一定不是B粒子；

④以上都不正確其中正確結(jié)論的序號是_____________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③##③①【分析】假設(shè)剩下的是A、B、C粒子，分別討論，列舉結(jié)果，進(jìn)行排除，最終得到結(jié)果．【詳解】解：（1）最后剩下的可能是A粒子．10顆A粒子兩兩碰撞，形成5顆B粒子；9顆C粒子中的8個兩兩碰撞，形成4顆B粒子；所有的17顆B粒子兩兩碰撞，剩下一顆B粒子；這個B粒子與剩下的一顆C粒子碰撞形成A粒子．（2）最后剩下的可能是C粒子．10顆A粒子中的9顆與9顆C粒子兩兩碰撞，形成9顆B粒子；所有的17顆B粒子兩兩碰撞，最后剩一顆B粒子；這個B粒子與剩下的一顆A粒子碰撞形成C粒子．（3）最后剩下的不可能是B粒子．A、B、C三種粒子每一次碰撞有以下6種可能的情況：A與A碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆A粒子：（B多1個，A、C共減少兩個）；B與B碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆B粒子：（B少1個，A、C總數(shù)不變）；C與C碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆C粒子：（B多1個，A、C共減少兩個）；A與B碰撞，會產(chǎn)生一顆C粒子，減少A、B各一顆粒子：（B少1個，A、C總數(shù)不變）；A與C碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少A、C各一顆粒子：（B多1個，A、C共減少兩個）；B與C碰撞，會產(chǎn)生一顆A粒子，減少B、C各一顆粒子：（B少1個，A、C總數(shù)不變），可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：①從B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的數(shù)量增多一個或減少一個．題目中共有27顆粒子，經(jīng)過26次碰撞剩一顆粒子，整個過程變化了偶數(shù)次，由于開始B粒子共有8顆，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子個數(shù)必為偶數(shù)，不可能是1個，所以，最后剩下的不可能是B粒子．②從A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子總數(shù)或者不變、或者減少兩個．題目中A、C

粒子之和為19個，無論碰撞多少次，A、C粒子都沒了是不可能的．所以，剩下的最后一顆粒子一定是A或C．故答案為：①③．【點睛】本題考查簡單的合情推理，需列舉，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．14．（2022·北京房山·二模）如圖，用直尺、三角尺按“邊—直角、邊—直角、邊—直角、邊”這樣四步畫出一個四邊形，這個四邊形是__________形，依據(jù)是____________________．【答案】

矩

有三個角是直角的四邊形是矩形【分析】根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形進(jìn)行解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，這個四邊形中有三個直角，則這個四邊形是矩形，故答案為：矩，有三個角是直角的四邊形是矩形．【點睛】本題考查矩形的判定，熟知矩形的判定方法是解答的關(guān)鍵．15．（2021·北京·101中學(xué)三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，AC，BE交于點O，若AE：ED＝1：2，S△AOE：S【答案】1：9##1【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)證明△AOE∽△COB，利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計算即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BC，AD=BC，∴△AOE∽△COB，∴S△AOE：S△COB=

∵AE：ED＝1：2，∴AE：AD＝1：3，∴AE：BC＝1：3，∴S△AOE：S△COB=故答案為：1：9．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022·北京房山·二模）某公司生產(chǎn)一種營養(yǎng)品，每日購進(jìn)所需食材500千克，制成A，B兩種包裝的營養(yǎng)品，并恰好全部用完．信息如下表：規(guī)格每包食材含量每包售價A包裝1千克45元B包裝0.25千克12元已知生產(chǎn)的營養(yǎng)品當(dāng)日全部售出．若A包裝的數(shù)量不少于B包裝的數(shù)量，則A為__________包時，每日所獲總售價最大，最大總售價為__________元．【答案】

400

22800【分析】設(shè)A包裝的數(shù)量為x包，B包裝數(shù)量為y包，總售價為W元，根據(jù)題意列出y與x的關(guān)系和W與x的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)A包裝的數(shù)量為x包，B包裝數(shù)量為y包，總售價為W元，根據(jù)題意，得：x+0.25y=500x≥y∴y=-4x+2000，由x≥-4x+2000得：x≥400，∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000，∵-3＜0，∴W隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=400時，W最大，最大為-3×400+24000=22800（元），故答案為：400，22800．

【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用、一元一次不等式的實際應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確列出一次函數(shù)關(guān)系式，會利用一次函數(shù)性質(zhì)解決問題．三、解答題17．（2022·北京房山·二模）計算：tan60°+【答案】5【分析】分別計算三角函數(shù)值、零指數(shù)冪，化簡絕對值和二次根式，再進(jìn)行加減即可．【詳解】解：原式=3【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)、零指數(shù)冪以及絕對值和二次根式的化簡，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握上述基本知識是解題的關(guān)鍵．18．（2022·北京房山·二模）已知2x2+3【答案】2【分析】利用平方差公式和完全平方公式對所給代數(shù)式進(jìn)行化簡，再將2x【詳解】解：原式=x∵2x∴原式=2x【點睛】本題考查利用平方差公式和完全平方公式對代數(shù)式進(jìn)行化簡求值，難度較小，掌握整體代入思想是解題的關(guān)鍵．19．（2021·北京通州·一模）解不等式組：?2x+6≥44x+1【答案】?4<x≤1，見解析【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，并在數(shù)軸上表示出解集．【詳解】解：?2x+6≥4①由①得：x≤1，由②得，x＞﹣4，

∴不等式組的解集為﹣4＜x≤1，解集在數(shù)軸上表示為：．【點睛】本題考查了求不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的計算是解題的關(guān)鍵．20．（2022·北京豐臺·二模）已知：如圖，射線AM．求作：△ABC，使得∠ABC=90°，作法：①在射線AM上任取一點O（不與點A重合）；②以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線AM于A，C兩點；③以點C為圓心，CO長為半徑畫弧，交AC于點B；④連接AB，BC．△ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明：證明：連接OB．在⊙O中，OB＝OC在⊙C中，OC＝＝BC∴OB＝OC＝BC∴△OCB是等邊三角形∴∠ACB=∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝_________°（_________）（填推理的依據(jù)）．∴∠ACB+∠BAC=∴∠BAC=30【答案】(1)見解析(2)90，直徑所對的圓周角是直角【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）證明△OCB是等邊三角形，求出∠ABC＝90°即可．(1)解：如圖，△ABC即為所作；(2)證明：連接OB．在⊙O中，OB＝OC，在⊙C中，OC＝BC，∴OB＝OC＝BC，∴△OCB是等邊三角形，∴∠ACB=60∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°（直徑所對的圓周角是直角），∴∠ACB+∠BAC=90∴∠BAC=30故答案為：90，直徑所對的圓周角是直角．【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．21．（2022·北京房山·二模）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC,AC⊥BD，垂足為M，過點A作AE⊥AC，交CD的延長線于點E．(1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

(2)若AC=8,sin∠ABD=4【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）先證明AE∥BD，再利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求得CE的長，再利用勾股定理求出AE的長即可求得BD的長．(1)解：∵AC⊥BD，AC⊥AE，∴AE∥BD，又AB∥DC，∴四邊形ABDE是平行四邊形．(2)解：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD=AE，∠E=∠ABD，∵AC=8,sin∴sin∠E=sin∠ABD=在Rt△EAC中，AE=C∴BD=6．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．22．（2022·北京房山·二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:y=ax+b(a≠0)經(jīng)過點A（1，2），與x軸交于點B（3，0）．(1)求該直線的解析式；(2)過動點P(0，n)且垂直于y軸的直線與直線l交于點C，若PC≥AB，直接寫出【答案】(1)y=?x+3(2)n≤3?22或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解析式；（2）根據(jù)P點的坐標(biāo)，表示出C的坐標(biāo)，表示出PC的長度，根據(jù)PC≥AB列出不等式即可解出n的取值范圍．

(1)解：將點A（1，2），B（3，0）帶入l:y=ax+b(a≠0)得：{a+b=2解得{a=?1∴直線l的表達(dá)式為y=?x+3．(2)解：∵A（1，2），B（3，0）∴AB=（∵PC⊥y軸，當(dāng)y=n時?x+3=n解得x=3?n∴C（3?n，n）∴PC=|3?n|∵PC≥AB∴|3?n|≥22即3?n≥22解得n≤3?22或n≥3+2【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵．23．（2022·北京房山·模擬預(yù)測）某學(xué)校初二和初三兩個年級各有600名同學(xué)，為了科普衛(wèi)生防疫知識，學(xué)校組織了一次在線知識競賽，小宇分別從初二、初三兩個年級隨機(jī)抽取了40名同學(xué)的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a(chǎn)．初二、初三年級學(xué)生知識競賽成績不完整的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x<100）：

b．初二年級學(xué)生知識競賽成績在80≤x<90這一組的數(shù)據(jù)如下：80

80

81

83

83

84

84

85

86

87

88

89

89c．初二、初三學(xué)生知識競賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下：平均數(shù)中位數(shù)方差初二年級80.8m96.9初三年級80.686153.3根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)補(bǔ)全上面的知識競賽成績頻數(shù)分布直方圖；(2)寫出表中m的值；(3)A同學(xué)看到上述的信息后，說自己的成績能在本年級排在前40%，B同學(xué)看到A同學(xué)的成績后說：“很遺憾，你的成績在我們年級進(jìn)不了前50%”，請判斷A同學(xué)是__________（填“初二”或“初三”）年級的學(xué)生，你判斷的理由是__________．【答案】(1)見詳解(2)80.5(3)初二，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)直方圖的數(shù)據(jù)，用二年級參賽總?cè)藬?shù)減去已知各成績段人數(shù)得到70≤x<80這個成績段的人數(shù)，據(jù)此完成直方圖即可；（2）先確定二年級比賽成績的中位數(shù)所落在的成績段為80≤x

<90這個區(qū)域，再結(jié)合中位數(shù)的定義即可求解；（3）確定A的成績高于本年級的中位數(shù)成績，低于B所在年級的中位數(shù)成績，即可判斷．（1）70≤x<80這個成績段的人數(shù)：40-1-7-13-9=10（人），作圖如下：（2）二年級比賽成績的中位數(shù)為：80+812即m的值為80.5；（3）初二，理由：初二年級的中位數(shù)成績?yōu)?0.5，初三的中位數(shù)成績86．A的成績在本年級達(dá)到前40%，說明其成績高于本年級的中位數(shù)成績，A的成績進(jìn)不了B所在年級的前50%，說明A的成績低于B所在年級的中位數(shù)成績，結(jié)合初二、初三年級的中位數(shù)成績，可知A在初二年級．【點睛】本題考查了根據(jù)數(shù)據(jù)作直方圖、求解中位數(shù)以及通過中位數(shù)做判斷的相關(guān)知識，理解中位數(shù)的含義是解答本題的關(guān)鍵．24．（2022·北京東城·二模）如圖，在△ABC中，AB>AC，∠BAC=90°，在CB上截取CD=CA，過點D作DE⊥AB于點E，連接AD，以點A為圓心、AE的長為半徑作⊙A．

(1)求證：BC是⊙A的切線；(2)若AC=5，BD=3，求DE的長．【答案】(1)見解析(2)15【分析】（1）過點A作AF⊥BC于F，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)證得DE//AC，可證得∠DAC=∠ADE，利用AAS可證得△ADE?△ADF，則可證得AF=AE，根據(jù)切線的判定即可求證結(jié)論．（2）根據(jù)角相等即可得△BDE～△BCA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．（1）過點A作AF⊥BC于F，如圖所示，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AED+∠BAC=180°，∴DE//AC，∴∠DAC=∠ADE，∵CD=AC，∴∠DAC=∠ADC，∴∠ADE=∠ADC，在△ADE和△ADF中，∠AED=∠AFD∠ADE=∠ADF

∴△ADE?△ADF(AAS)，∴AF=AE，且AE為⊙A的半徑，∴AF是⊙A的半徑，∴BC是⊙A的切線．（2）∵AC=5，∴CD=AC=5，∴BC=BD+CD=3+5=8，∵∠DEB=∠BAC=90°，∠B=∠B，∴△BDE～△BCA，∴DE∴DE5=∴DE的長為158【點睛】本題考查了切線判定、三角形全等的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，切線的判定及相似三角形判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022·北京市廣渠門中學(xué)模擬預(yù)測）已知拋物線y=a(1)該拋物線的對稱軸為_____________；(2)若該拋物線的頂點在x軸上，求a的值；(3)設(shè)點M(m,y1),N(2,y2【答案】(1)直線x=-1；(2)?1或4(3)當(dāng)a＞0時，m＜-4或m＞2；當(dāng)a＜0時，-4＜m＜2【分析】（1）根據(jù)題意可得拋物線的對稱軸；（2）拋物線的頂點在x軸上，可得頂點坐標(biāo)為（-1，0），進(jìn)而可得a的值；（3）根據(jù)點N（2，y2）關(guān)于直線x=-1的對稱點為N′（-4，y2），進(jìn)而可得m的取值范圍．（1）由y=a

則對稱軸為直線x=?故答案為：直線x=-1；（2）y=a=a∵拋物線頂點在x軸上，即當(dāng)x=-1時，y=0，∴3a2-a-4=0，解得a＝?1或a＝43（3）∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，∴N（2，y2）關(guān)于直線x=-1的對稱點為N’（-4，y2）．（?。┊?dāng)a＞0時，若y1＞y2，則m＜-4或m＞2；（ⅱ）當(dāng)a＜0時，若y1＞y2，則-4＜m＜2．【點睛】本題考查的待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、頂點等點，代表的意義及函數(shù)特征等．26．（2022·北京四中模擬預(yù)測）跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會的比賽項目．如圖，運(yùn)動員通過助滑道后在點A處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點P處．騰空點A到地面OB的距離OA為70m，坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4，以O(shè)為原點，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知這段拋物線經(jīng)過點（4，75），（8，78）．(1)求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)在空中飛行過程中，求運(yùn)動員到坡面BC豎直方向上的最大距離；(3)落點P與坡頂C之間的距離為m．【答案】(1)y=?(2)121(3)50【分析】（1）由待定系數(shù)法解答；（2）由正切定義解得OB＝80，繼而求得直線BC的解析式，設(shè)運(yùn)動員到坡面BC豎直方向上的為距離d，由d＝y(tǒng)－y1得到二次函數(shù)，再利用配方法求最值；（3）求直線與拋物線的交點，轉(zhuǎn)化為求一元二次方程?34x＋60=?（1）解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）將（0，70）（4，75）、（8，78）代入可得，c=70解得a=?∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?1（2）設(shè)線段BC表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1=kx＋b（k為常數(shù)，k≠0），在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∴tan∠CBO＝tanα＝OC∵OC＝60，∴OB＝80將C（0，60），B（80，0）代入y1=kx＋b可得，b=60

解得b=60∴線段BC表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1＝?34x＋60（0≤設(shè)運(yùn)動員到坡面BC豎直方向上的為距離d，則d＝y(tǒng)－y1＝－116x2＋32x＋70－(?34x＋60)＝－116x2＋94x＋10＝－1∴當(dāng)x＝18時，d的最大值為1214答：運(yùn)動員到坡面BC豎直方向上的最大距離為1214（3）y?x∴(x+4)(x?40)=0∴x=40或x=?4（舍去）即Px=40，過點P作PH//x軸，PH=40又OB=80∴HP=∴HP是△OBC的中位線

∴HC=∴PC=故答案為：50．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法、勾股定理、中位線的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．27．（2015·北京海淀·一模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖①，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD=3，BE=5，試求BC+DE的值．小明發(fā)現(xiàn)，過點E作EF∥DC，交BC的延長線于點F，構(gòu)造△BEF，經(jīng)過推理得到?DCFE，再計算就能夠使問題得到解決（如圖②）．(1)請你幫小明回答：BC+DE的值為________，并寫出推理和計算過程．(2)參考小明思考問題的方法，請你解決如下問題：如圖③，已知?ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數(shù)．【答案】(1)34，見解析(2)60°【分析】（1）由DE∥BC，EF∥DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；（2）首先連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等邊三角形，則可求得答案．（1）解：∵DE∥BC，EF∥DC，∴四邊形DCFE是平行四邊形，∴EF=C