三角函數(shù)求w問題的一類必備解法

高中數(shù)學研修室三角函數(shù)求w問題的一類必備解法一．基本原理在三角函數(shù)圖象與性質中，對整個圖象的性質影響是最大的！畢竟，可以改變函數(shù)的單調區(qū)間，極值個數(shù)，零點個數(shù)等.因此，對的取值范圍的考察就是高考的熱門考點之一，這部分考題呈現(xiàn)出綜合性較強，對學生的邏輯推理，直觀想象素養(yǎng)要求較高，比如2016年一卷12題，2019年一卷11題，三卷12題等，2022年甲卷11題等.所以，對的取值范圍的系統(tǒng)研究有助于學生進一步突破三角壓軸！特別地，在這類問題中，尤以下面這類題目出現(xiàn)頻率最高，即定區(qū)間上知，再結合函數(shù)性質求的取值范圍.具體說來，在這類問題中，我認為最好的處理方法就是換元，通過換元將對圖象的影響轉化為對的某個動區(qū)間的影響，這樣做的好處就是圖象定下來了，是我們最熟悉的正弦函數(shù)，處理起來更加直觀.下面我們來看一些例子.1.正弦函數(shù)的性質.(1).定義域:.(2).值域:.(3).周期性:周期函數(shù)，周期是,最小正周期為.(4).奇偶性:奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱.(5).單調性:增區(qū)間：減區(qū)間：(6).對稱性:對稱軸：，對稱中心：2.余弦函數(shù)的性質.(1).定義域:.(2).值域:(3).周期性:周期函數(shù)，周期是，最小正周期為.(4).奇偶性:偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱.(5).單調性:減區(qū)間：增區(qū)間：(6).對稱性:對稱軸：，對稱中心：4.正弦型函數(shù)的性質.(1).定義域:.(2).值域:(3).周期性:周期函數(shù)，周期是.(4).奇偶性:當時為奇函數(shù)；當時為偶函數(shù).(5).單調性:當時：令，求解增區(qū)間.令，求解減區(qū)間.當時：注意單調區(qū)間的轉化.(6).對稱性:對稱軸：令，求解對稱軸方程，對稱軸處取最值.對稱中心：令，求解對稱中心坐標.5.余弦型函數(shù)的性質.(1).定義域:.(2).值域:(3).周期性:周期函數(shù)，周期是.(4).奇偶性:當時為偶函數(shù)；當時為奇函數(shù).(5).單調性:當時：令，求解減區(qū)間.令，求解增區(qū)間.當時：注意單調區(qū)間的轉化.(6).對稱性:對稱軸：令，求解對稱軸方程，對稱軸處取最值.對稱中心：令，求解對稱中心坐標.二.典例分析知求的問題中，我認為最好的處理方法就是換元，通過換元將對圖象的影響轉化為對的某個動區(qū)間的影響，這樣做的好處就是圖象定下來了，是我們最熟悉的正弦函數(shù)，處理起來更加直觀.下面我們來看一些例子.1.已知單調性求.例1.已知，函數(shù)在上單調遞減，求的取值范圍.分析：（1）最大的增，減區(qū)間占半周期可求的范圍；（2）是最大減區(qū)間的子區(qū)間.解析：，由于，故欲使得在區(qū)間遞減，只需使得在遞減，即可解得.2.已知最值求.例2．函數(shù)，當上恰好取得5個最大值，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C3.已知對稱軸求.例3.已知函數(shù)的圖象在上有且僅有兩條對稱軸，求的取值范圍.變式：圖象在上有且僅有兩條對稱軸，求的取值范圍.4.已知零點求.例4．已知其中,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點,則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D5.求綜合問題例5．（2019全國3卷）設函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：①在（）有且僅有3個極大值點②在（）有且僅有2個極小值點③在（）單調遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結論的編號是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D解析：當時，，∵在有且僅有5個零點，∴，∴，故④正確，由，知時，令時取得極大值，①正確；極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當時，，若在單調遞增，則，即，∵，故③正確．故選D三．習題演練1．設函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【詳解】令，則，令，則，則問題轉化為在區(qū)間上至少有兩個，至少有三個t，使得，求的取值范圍.作出和的圖像，觀察交點個數(shù)，可知使得的最短區(qū)間長度為2π，最長長度為，由題意列不等式的：，解得：.故選：B2．已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】由得，而當，時，，又，函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個零點，于是得，解得，所以的取值范圍是.故選：D3．已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】當時，，函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則有，解得，故選：B.4．已知函數(shù)，若在上無零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】由題意得，得，由，得，因為在上無零點，所以（），解得（），當時，，當時，，當時，無解，因為，所以或，所以的取值范圍是，故選：B5.（2022年全國甲卷）已知區(qū)間在上恰有三個極值點，兩個零點，則的取值范圍是A． B． C． D．【詳解】設，則，有兩個零點可得，即。又因為有三個極值點，，所以，所以，綜上得，即選C．6．（多選題）已知函數(shù)，則下列結論正確的有（

）A．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，總能得到的圖象B．若，則當時，的取值范圍為C．若在區(qū)間上恰有3個極大值點，則D．若在區(qū)間上單調遞減，則【詳解】由題可得對于A，向左平移個單位長度為，故不一定能得到的圖象，A錯誤；對于B，，，則，，所以，B正確；對C，由可得，由在區(qū)間上恰有3個極大值點可得，C正確；對于D，，則，因為單調遞減，所以，，且即，解得，，且，當時，，當時，，D錯誤.故選：BC.7．定義在上的函數(shù)