高等數(shù)學(xué)第2章課后習(xí)題及答案

高等數(shù)學(xué)第2章課后習(xí)題及答案

習(xí)題2L

1.設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn)；在時(shí)間間隔［0口內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.就從而轉(zhuǎn)角勘是t的

函數(shù)：8=米).如果旋轉(zhuǎn)是勻速的《那么稱德.串為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度..如果旋轉(zhuǎn)

-t

是非勻速的.應(yīng)怎樣確定該物體在時(shí)刻to的角速度？

解在時(shí)間間隔［toto挑圈內(nèi)的平均角速度海為

-A0啜to歿)騏to)

CD=^5—-------------'.

At國(guó)

故to時(shí)刻的角速度為

9=lim了可礙&i,

g.幻,A輜周°

2.當(dāng)物體的溫度高于周?chē)橘|(zhì)的溫度時(shí)改物體就不斷冷卻.若物體的溫度T

與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為T(mén)回⑴而怎樣確定該物體在時(shí)刻t的冷卻速度？

解物體在時(shí)間間隔［t。?目利內(nèi)。.溫度的改變量為

△T1(t+&)R)y

平均冷卻速度為

ATT(t44t)J(t)

IF=a/

故物體在時(shí)刻t的冷卻速度為

lim與Jim，T(產(chǎn)翼)旺(t)J(4)

△t%砧.其.

t0ItoL

3.設(shè)某工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本是f(x)元此函數(shù)f(x)稱為成本函數(shù)

成本函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(文)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際成本...試說(shuō)明邊際成本f儀)的實(shí)際意

義.

解f(X殆-ffx)表示當(dāng)產(chǎn)量由X改變到X魄時(shí)成本的改變量.*

f(x+激)」?表示當(dāng)產(chǎn)量由X改變到4氤時(shí)單位產(chǎn)量的成本以.

△x

f(x)=lim塌二11個(gè))表示當(dāng)產(chǎn)量為X時(shí)單位產(chǎn)量的成本.

4^,o<

4.設(shè)f(x)=10x2與試按定義7求f(”一⑴*

的一八10(JW)2-W(J)2

解f(4-)=hrm--------%----------1財(cái)-------：---------------

=10hm/乙0區(qū).(2.靖)40寸

X0AxO

.證明聲*

5(cosxsinx:._

解(cosx)gos(x麴一匕osx

/sinx拿黔si貳

=.lim,,_______22,

2]/Jnx,

雙X

~2

6,下列各題中均假定f(%。)存在按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限”指出A表示什

(1)lim±UQ二為二山

4ToA(

=」imJ(x(r&R~f(xo).fxo)：,

~A號(hào)o一鼠

⑵lim-Ux)=A：，其中f(0)」\且f《0)存在!

xFx

解AJim川=lim.,f(0廠f(0)-f⑼”

xFx6x

⑶lim3xo*h)jf(x(Th)-A..

京h

解AJimM-xo-

hTh

〔。好)T()七

=lim"xxoff(xp-h)f(xo)l,

twoh

=lim"x。-h戶(xo)」im?【吟飛~f(xo).,

hhl-h

=rf(xe)4f(xo)扭2f[xo).

7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

⑴y/；

⑵必；

⑶y點(diǎn)16；

⑷y=K；

⑸y=,；

=3丁”.

(6)y5(Vx"

2匕

⑺y=疔L

解(i)y，=(x4)?^x4Tlx3q

，/匕^21s.T。

=(2^(3x馬(x)，3-^X3,

33

(3)y，=(x16)^6x1圖巧6x0'

fT一臉

q歹(生)(x*2衿fx2?7一去'X2.：

X22

⑸y'=(1)'?

x2

-reaFr'Tf

(6)y=(X^x),(x555.：

廠5*5X*

8,已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為st^m)求這物體在t2防s)時(shí)的速度解v"

(s)3Fv|t5l2V^穢)一

9.如果f(x)為偶函數(shù))'且f(0)存在1■證明f(0)'=6

證明當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)ffx亓(5題所以

f(’0)干i—(X)；t(o)E%EfLx)1(0)rili4T】fOCf(Oy，af7o)

，=xox茁g.X0x0XOX0

從而有2f(0)0gpf(0)01*

。求曲線y=sinx在具有下列橫坐標(biāo)的各點(diǎn)處切線的斜垂x曾叫;

解因?yàn)閥cosx所以斜率分別為

=^2^=「一$咽5=8爾n-Kl,

kicosk2cos1

32

11求曲線y.空sx上點(diǎn)（J1）處的切線方程和法線方程式

32

解UinXqy'照-si?*"

3,32

故在點(diǎn)（三J）圖切線方程為上

32

法線方程為V二

2

12.求曲線y奇x在點(diǎn)（01）處的切線方程

解y，生x,y[0i“故在（04）處的切線方程為

y」t（x0>?即y*鑫.

13.在拋物線y步上取橫坐標(biāo)為x杉1及*23的兩點(diǎn)為作

過(guò)這兩點(diǎn)的割線問(wèn)

該拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這條割線？.一

=.■=段-.Q

解y2x割線斜率為ky（3卜y⑴914

=、R*312

令2x4得X當(dāng),中

因此拋物線yx2上點(diǎn)（24）處的切線平行于這條割線

14封論下列函數(shù)在X0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性

(i)yIsiinx|4

-'x2sin

x=0

⑵y、x

0x0

解⑴因?yàn)?.封_=_一

y(0)0l?myTrn|sinx|lim(sinx)0

=0x烏x0

+一+。一\#一%勺

limylim|sinx|,磕sinx0

x0x0=x0

所以函數(shù)在x0處連續(xù)

又因?yàn)閕'.一、，一、

y(0)rfmy(x)y(0)'rfm|sinxf|sino|ffmsinx1

,y((0)扁’y(x)iy(O)lim|sinxf|sinO|fifesinx1

一,,xox0'=\ox3xox

而y（0）y（0）所以函數(shù)在xO處不可導(dǎo)

..9.1

解因?yàn)閘imy(x)Jimxsin_=0：又y(0)=&所以函數(shù)在&p處連續(xù)

xYx寸x”

又因?yàn)?/p>

2Lo

y(x)_y(0)x1

Iim-------------------9」InV；----------X——j—ljmxsin4二：

X0X_0NxZoX

所以函數(shù)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo).”且y[0)4a

x7為了使函數(shù)f(x)在X*處連續(xù)且可導(dǎo)qab應(yīng)取什

設(shè)函數(shù)，區(qū)

64：；X/

么值？

解因?yàn)?/p>

o

limf(x^limx..Jlimf(x)Jim(ax書(shū)b)=a4)j⑴金下

xf_一%xT于ir"

所以要使函數(shù)在xn.1處連續(xù)中必須a@h

又因?yàn)楫?dāng)abrnl時(shí)

x21

f(1)=iU=、2.

—im■>,c

XT'F

f|1)=limax^b=^Uim國(guó)a(x-1)

xlxf漸xTx4布xT

所以要使函數(shù)在x㈤1處可導(dǎo)［必須專(zhuān)此時(shí)b-=^-1...

戌0

16.已知f(x」1x2解求X。)及又f⑼是否存在？

1"?xx蜀0

解因?yàn)?/p>

fj(0)=limf(x)if(0)厘lim-_x_0

xT(TxE(Tx

f￥(0)=limJ(x)-f(0)^limo^Q^O.

y\力

x0Xx0X

而f」o)#45所以f(3不存在可

靶

17.已知f(x)Winx*萋0%求“川*

:lxx竄0

解當(dāng)X<0時(shí)段X)前Xf的X當(dāng)身

x>0時(shí)f(xXxf弼J'W意

因?yàn)樨?0)=1防f(x>-~f(QLlimsinx-

xx

lim所以7f（④1從而

M°)^y(x)-f(OLJim興R~1?5"

x^0*Xx力加X(jué)

f"x\—F°SXXX0

f(x)t1X逮0f

18.證明：雙曲線xyM上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都

等于2a2.

設(shè)（xo.yo）為曲線上任一點(diǎn)川則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為

a2

y-yo殲~~—xo上

xo

2yxQ

令y。，并注意xoyo乎解得x=H^'xo嗔xo”為切線在x軸上的距?

令X。.并注意xoyo：=a；.解得y三遙謝.y/y“為切線在y軸上的距

*oo

X0

此切線與二坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積為

S=-|2xo112yo?|xoyot2a2,

2

習(xí)題22-

1.推導(dǎo)余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.?

，2哪

(cotx),—escx$(escx)erscXCOtX.1

解(cotx)=(posX/h「sinxAinx「cosx8>sx

sinxsidx

sinx贏:osx...^,12

=-2Q_*1CSex>

sinxsinx

(C-----)sCXT0Xt*

sinxsinx

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2

(1)y=-4+-^_^12

⑵y5x3_2x^3ex看

(3)yZanxsecxL$

(4)ycinxcosx;

o

(5)y*Inxj.

(6)y=3excosx

「、InX

⑺y=一；

X

X

(8)y=e2+ln3工

x

p

(9)y=xInxcosx金

+

(10)s=1sint-..：：

1+cost

解⑴y，=(瘠7一2洞2)乜(4*鄉(xiāng)>：君7x312夕

xbx4x

=_20x/8XM+2XZ￡_.2g一學(xué)Y、

(2)y(=(5x3-2^3ex)W5x2-2xIn2^e\

2

(3)y72tanx*secx-*!)~2secx'secx+an耗ecx(2secx*anx)3

(4)y'=(sinxcosx)'=fsinx)為osx耀inx(cosx)?

=cosxcosx胡inx<-sinx>=?os2x:，

(5)yUx2|nx)￡2xInx^2a出21nx隔)《

X

(6)y,=(3excosxf-3ex€os)d3ex{-sinx)^ex(cosx-sinx)...

.8xJnx

⑺y_()-2-2?

xxx

x2xx

,、，e”上\e..Jx_e..i2xe(x-2)

(8)y=(p+ln3)安----?一今」-3乙

xxX

22.12

?二1q"嗤1I號(hào)一%.\

(9)y?xInxcosx)1nxcosx^xxcosx\Inx(-sinx)

2xInxcos嫣cosx-^x2Inxsinx..

(10)s'J1+sint.)08sta±8st)：

’(1爺sint)(飛int)，內(nèi)仁sin在QSt,

1cost(#cost)2(1cost)”

3.求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)3

(1)y=5inx_cosx

.1..

⑵p=esir)e淤co粒，產(chǎn)

2

2

⑶f(x)=—1雌~3求f(0)和f'(2)%

5~x5

解(1)y,=cos烘inx」

d￡|總」?si三曲0強(qiáng)=山(籍.

dee=L42444224242

2

⑶f(x)Af⑼=3,fe2).=ULL

(5為2525-15

4.以初速vo豎直上拋的物體,,其上升高度s與時(shí)間t的關(guān)系是與votjgt2

2

求IV:

(1)該物體的速度v⑴意

(2)該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻，

解(1)V(t)?。)V8第.*

⑵令V(t)。q即vopt€4得tF■嗎￡■這就是物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻4.

g

5.求曲線y2?nx焉上橫坐標(biāo)為x0甯勺點(diǎn)處的切線方程和法線方程?”

解因?yàn)閥'2cosx用xy..又當(dāng)x6時(shí).y.書(shū)力所以所求的切線方程為

y=2x.

所求的法線方程為

y=_x.即,

2'

6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

⑴y42x5)4

⑵y￡0S(43x)I

⑶丫=g2;

⑷y=ln(1+x2>

o

(5)y=sinx；

(6)y=Ja2-x^i；

⑺y=tan(x午

(8)y=arctan(ex)；：

(9)y=(arcsinx).?

(10)y=lncosx：

解⑴y，=4(2療5產(chǎn)￡(2魅”坤(2*5)328(2x唳，

⑵y'=sin(4-3x)件3*)'飛皿(4母)(,3)Ssin(43x)?

⑶y'=e3X2)吼革x2?［十x)'=-6x或x2.

2

(4)yl￡L\)4.乙—L…=3、

1+x21A22x1^x2'

(5)y，2sinx(sinx)?=2sinxcos5fcsin2x&

2

(6)ya_X2)2］展(a么X2)2(a2f)&

2

=_L(a2_X2)/42x1一個(gè)Xp.r

24a%2

(7)y,=sec2(x2)-(x2J^xsec2(x2).

(8)y=+1x2-、.2x*

1(e)廣e

1t2arcsinx

r

(9)y=2arcsinx(arcsinx)H—》■『y

后

(10)V'=—/cosx)'U_Uinx)期x

cosxcosx

7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

(1)yarcsin(12x)家

⑵y“

V1-x2

X

(3)y2cos3x1?

⑷y=arccosl,率

x

一、1Inx

⑸y=——；：■

1+lnx

(6)yqin2x

X

⑺y=arcsin，飛

(8)y=ln(x球炳￡

(9)y4n(secxtanx)|

(10)y4n(cscxcotx)*

解⑴y,=1/1Nx)f="2戶一

由"(1-2X)24p*2x)235Tx2

⑵yj[(1_x承?」i送了乂,(1_/)蹄

.2

=-1(1_X2)?/_2x)--------X4:

2(1-\2y'i-'x2

(3)y'=(e~Nytos3x*，eT(cos3x)(sJ)?cos3x信b(_,sin3x)(3x)?

2

XXX

=_JLe穌o3sx_Je*6in3xe"(co3sx靜6sin3x)

22

cos2x2x—sin2x42xcos2x-、sin2x

(6)y'=-------------------2--------------------------------------j----------SU

XX

=守管口仁T『2⑶)胃鼻*

xax2。axax

2

(9)y，=-------1------?(secx般tanx)*ecxtanx%ec/seCX“

sec/tanxsecx^tanx

'=---------------------，?I^^JjCSCX-COt-X^SC^X=CSCX,

(10)yescx-cotx[escxcotx)cscx&x

8.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)J

(1)y=(arcsin、產(chǎn)嗡

2,

x

⑵y=Jntan

2

(3)y=VIt)2xI

(4)y=earctam'x'

(5)y=sinnxcosnx備

⑹y3rctan^

(7)Varcsinx,.；-

arccosx'*

(8)y=ln[ln(lnx)]

(10)garcsin

xx

解⑴y,=2(arcsinQ(arcsin.J

22

=2(arc-)n1/，)

2F?23

=2(arcsj)nJ=酒J：

2*1(4)22

%2

x

2arcsin——

_.2

2

(2)y，=_L_.(tan5?^—1-,?ec々弓專(zhuān)

tan-*2tart*22

22

12X1

=--------------%回廿

xSeco,CSCX

tanT-22

2

(3)y-Ji+lnZ^T1伽in2xV

2"Mx

=—1,.^inxQInx尸?■?-.~i*2lnxJ

1n2x2《華？xx

⑷y,=earcta'^(arctanjr1^^earct籍Q卜..

w(#x)2

_?arc整％11[Qarc^axn,

(5)y'日sinn與(sinx),bosnx^sinnx^sinnx)<nx)?

=nsinn^xeosxGOSnx4sinnX.(-6innx)n

C3cl

=nsinJ((?osxeosnx-sinxsinnx).=nsinxcos(rr^1)x>

(6)yj—1—jMu____,.一1廠(\必—,

1-卡:x-11賽(xT產(chǎn)傳

xTx-1

,?/1arccos^r-ffJ=marcsinx

Ji_x"J1Z

2

(arccosx)

1arcco>@arcsixn

=?—?21

/2

v1-x(arccox)s

二一礴_

2v-x2(arcexo)2s

(8)y=一」h(lnx)]^—l_y」LQnxW

InQnx)ln(lnx)Inx

111.1

=-------------s--------滬單=*-----------?V,

ln(lnx)Inxxxlnx卜n(Ixn)

⑼y'=

9.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)可導(dǎo)a且f2(加g2(x網(wǎng)試求函數(shù)2(x^g2(xj的導(dǎo)數(shù)..

解v_1」f2(x)q2(x)l“

2(x)#g2(x)

=—==1=_#區(qū)f(x)ftXb.g(x)g")]

以f2(X)%2(x)

_f(x)f(x)咿g(x)gfx)

Jf2(x)Jg2(x>~”

10,設(shè)f(x)可導(dǎo)*求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)如以

⑴y*x2)；

(2)y=f(sin2x^f(cos2x)..

解(1)y'=f(X2)^(X2HV2)斂芝x監(jiān)2)個(gè)

⑵y'=f'(sin'xNsin'xMfcos'x)(-cos2xf

=fr(sin2x)2sinxcos廨(€os2x)2cosxqRnx)

=sin2x[f(sin2x)-f1[cos2x)]s

11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

⑴y￡h(shx);;

⑵yshxechx；：

(3)y4h(lnx)》

(4)y^h3x-eh2x；

⑸y4h(1x2)

(6)y=arch(x2^1)彳

(7)y=arch(e2x)A

(8)y=arctan(thx)

(9)yHnchx辛--f&

'"2ch2X

(10)y=ch2(組)

x的

解⑴y，=sh(shx)Xshx)鼻h(shx)，chx

⑵y'ehxech溜5hxechx-jshx=echx(chx^h2x)*,

⑶y1x)-y一J——

ch2(Inx)xch2(Inx)

(4)y，=3sh2x.ch滯2chxshx連hxchx<3shx*2),

(5)y=12m(方x2存22xz~

ch(1，)ch(1-\)

(6)V>-12X

d+(x2，l)6翁2x2升2

⑺y-1淤>_.2e2x.

J/x產(chǎn)1CT

(8)y=-2-(thz?,?]?『---」

1tthx)1Whxchx1%shxchx

ch2x

1...^1

ch2>d^h2x1^2sh2x"

(

⑼y=_L_(chx)j_L_[ch?x)，

chx2ch4x

=stLX___!_2chxshx

chx2ch4x

2

shxshxshxchx工shx

=~_---------73---------'

chxchxchx

=shxJch?x""1Jh'x

ch'xch'x

X1X1

(10)y=2ch(=)〕ch(二)/n

x*1x41

=sh(2H)j)__2_a化.口,),

x叫僅叫尸,產(chǎn)x4!J

12.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1

(1)y=e\X2-2X^8)?.

⑵y=sin2xsin(x2)鼻

⑶y=(arctan.nf?

,2

Inx

⑷y=一；

xn

e‘_e」

(5)y=K^?￡

ete

1A.

(6)y^ncos

x

⑺y=exI

(8)y=Jx+/短

(9)y=xarcsQ熱鏟才§

,2t：

(10)yarcsm7_**

t凋

解⑴y'2($2)e3)$x您好)勺

二X,X2M淹)-?

222

(2)y'=2sinxCosxsin(x)餐inxcos(x)2x

=sin2xsin(x2)42xsin2x<cos(x2^

Xx

⑶y，=2arctan「寸farctaj,

2uZ;2^42

4

-1.xn_.lnx.pxn-

/八，x1-nInx

(4)y=----------------------

X2nXn1

,6+>)(eWe1)一6—e」)(el_.)4e2t

Ii\/=---------------------------------------------------------

y此工中?魂'

(e2t1)22,

,11.11111

=一4---:=*#-°w—V-,?*—一~k,

)fang

(6)ysecx(cosX)secx(sinX)(X2/X2X

⑺yv-F與n，/40'2sin_)..cos_；“34

XXxx2

12r渦

=—―sin-@x

x2X

(8)y——/1仙_附1會(huì)(11t~聲*)

2，X+￡蕾青式x

_2勾肉?

44.&■我

/C、.X.X

(9)y-arcsm一品Y1「勘1M<X).副CSH1『一

222/中〉F2

（10）y，=1—=W=52口七.（2口

門(mén)L）".產(chǎn)（1平）

V1甲2中1、2

.22(—2)2(H1

=-1>F

QQ—C瘠C

J(rP)2(1t2)2|it2KIt2)

習(xí)題23-

1.求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)二

(1)y=2x241nx),

(2)y=e2xJ;

(3)"cosxv

(4)yeLsint,x

⑸y=**2飛

(6)y4n(1X)

(7)y4anx;

1

⑻不分

X31

_十2e

(9)y[1x)arctanx”

(10)y望；

X

x2j

(11)yxe”

(12)y=ln(x..Rf,

解⑴yk卡T?歲戈去r>：

xx2

f_——*場(chǎng)*B--—-?

2x

(2)y-e2x12~2e2x1"y"^e2xi24e

(3)y=xcosxVcbsx^xsinx如

tf>?ir-dJ-*asrs-?o

ysinxsinxxcosx2smxxcosx

(4)y飛'sint^^cosf%^(cost-sint)

y>e'(cost^sint)%^fsint-costf^eWost~

(5)y1(aLx2)L.x

，，___________超廠x2a2

V=—J

2

a，xv(a2-x2a2-x2

(6)y2x-：

1-x2廣x2

0敝

?2(1*)-2x(-2x)2(12)

V=-QQn'b_BQ3A*

(Vx^產(chǎn)(1-x^/

o

⑺y'=sec/

2

y"=2secx>(secx/Ksecxsecxtanx老secxtanx?

3x2

(8)y=

，，6x(x3-*1)2-3X22(x3酊)8x6X(2XL1)

y=—

(x3*)4—2川加產(chǎn)，'

2

(9)y，=2xarctanx正(加Bx),*二L，=2xarctanx擊1

，?x2，

y”=2arctxan

,exx-exV.ex(x-^l)

(W)y=-?―

AA

“[ex(x-^)-^x]?2-ex(x4)2xex(x22x2沖

y=-------------------4-------------------M；--------3--------

XX

(11)y—0x2X?x2⑵)2x2(1#2x2產(chǎn)

_v健_；-2x-=二.

*J殺

1X221x2)(1x)21X

6.

2.設(shè)f(x)=(XMO)E產(chǎn)⑵*?

543

解f'(x)=6(x舟10"產(chǎn)(存30供10)有叼(籽120次10)：；

f(2戶120(2M0)*207360

3若f,,(x)存在求下列函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)弓2y

?附主飛

⑴加);

⑵yJn[f(x)].*

解⑴y，=一僅2)。2陷xf*)號(hào)

y〃=2f。自2般x2xf%2瘴2叫2)蹲x2f

(2)y，=」_做x),

f(x)

,,f"(x)f(x)一f")f。耿)f(x)f(x)Jf做)][

丫一[f(x)]2「[f(x)]2"

HY1

4試從上導(dǎo)出.

?~*fl明

dyy

解⑴吟=-c^A“#七皿T：叫?字算4沔

dpdydydyydxydy(y產(chǎn)y

(2)曲=d_廝

dy3dy如到dxG爭(zhēng)dy

_y「y)3.衣y)2y解J-3(芥義寸_

"(y)67(y/、

5.已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s淌sin；徽（A、魂是常數(shù)％求物體運(yùn)動(dòng)的加速度，并驗(yàn)

證：

ds

解-A6bs"

sin.圓?

dt2

就是物體運(yùn)動(dòng)的加速度dt

2

連+82*/Si遍崛域2As%皿.

出、^

6.驗(yàn)證函數(shù)月Ce?C2e+￡C,C2是常數(shù))滿足關(guān)系式普.

解y'=C*趙c松4

y"=Ci九20而c緒踴.

yr-X2y=(Ci%20MQ能質(zhì)「浮(Ce%C20)

=(C底彝串C探］%)＜(＞品＞@..

7.驗(yàn)證函數(shù)y苗sinx滿足關(guān)系式：.

y年_、2劑鼓y毛4

解y=exsinx^excos)^ex(sin溫tosx).?

y=ex(sinx胡osx)^ex(cosx-sinx)=2excosx...

XXX

y-2y'^y2ecosx-2e(sinx%osx)呼2esinx

■-^2excosx-2exsinx-2excosxS2exsin)H)：?

8.求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式?

z.,=n+1nT4-2n2、/?心曲n1壽n12a股n都是常數(shù))2

(1)yXaxaxaxa(a》a，?"a-

(2)y=sin2x；

(3)y"nx;

(4)y比e、.

解(1)y'FX^Sfaix吟酈**

''=—nT＞擷—?—1nB"油——2nT麻.制”源ng%

yn(n1)x(n1)(n2)ax(n2)(n3)axa

???

y(nLn(n-1)(n2)^2)x°-=n!肥

(2)yf=2sinxcosx淑n2x,

y”=2co2s)fc2si112濾)*.

2

y,,r=22coS2)^X/2Sin24座)、

22

3理)/漏

y(4)=2cos2x(-42sin2(x3―

22

nn鸚

y()=2l，sin2x?(n_J)

2

(3)y'4x14

y”=1X仁.

x

y(4)=P)(即工

???

y(n)=(J)(/)(3knz察n1一仲口甘也^1)rdn^L,

Xn1Xn1

(4)y*=ex+xex<

y‘,歲+ex殿e>^^e帶xex,

y，〃=2ex出田。<3。躲xex

???

多俯

yMnexe&etx),A

9.求下列函數(shù)所指定的階的導(dǎo)數(shù)3

(1)ydcosX、求丫⑷事

⑵yxshx，求y0°°)/

O

(3)y=xsin2xw求y(50).

X

解⑴令ue='鈉osx%有

f99便”..j.XK

0=11=0=U⑷沱場(chǎng)

v'/格喉

=^sinx"Cosxwsinx,v(%cosx.(

所以y(4)=u(4)v%j"糜飛rv⑷

=ex[cos督4(-sinx)^6(-cosx)Msinx淮osx]-^4excosx

⑵令u=xv=shX[則有

u'=1u

n""僵a?0&?(^

v-chxv^hx''%99)-chX"(100)sh義

所以

2

V(100)U(100)v.ClU(99)VSxPU(98)C能(J舸V(98)￡99(JW(99)通(JV(100)

,=?十*3TS~?:啻1?*裾?>??六齡?：躥)

100100,100100°

=1OOchx<shx

⑶令u=x2.v=sin2x.”則有

u'=2x4r暝O(shè)l

4848

V(48)=2sin(2海4舉)2sin2x.

,2

V(49「249COS2xv(50^250sin2x

11

=.；曲4■=1?品的熱.4?14修???1?8?》

所以y(50)U(50)vC15O1U(49)VC502U(48)VC5048UV(48)C5049UV(49)uV(50)

=C50481A津電5049bV(4*UV(50)

250

,"*49/228sin2x^502x249co2sx-4p<G_.2sin2x)

2

2122

=2°-Xsin2^50xco2sx^.^?n2x)

2

習(xí)題23-

1.求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：.

(1)y=2x2-?lnx，

⑵y=e2x4;

(3)”cosx!,

(4)yeSints-

⑸y=#、

(6)y斯(1?)

(7)yianx;

1

(8)y=-----------

x3+1-

(9)y=fl#)arctanx?

e

(10)yx

x

Y2

(11)y=xe、*

(12)y=ln(x3'祗'A

解⑴y，=4x*L“#444

XX,

⑵y華2*1'2^2元Xy^Q2x12：a4e2x中

(3)y=xcosx**8sx-xsinx^.

y''*inx-sinx-xcosx-2sinx-xcosx

⑷y'7'sint嘮^bs3通*'(cost-sint)

y"K”(COSt-sint),ife^(-sint-cost)42/eost..

9o

⑸y，=1您_/)』」/一、

2，a2ix。4a2~\2

(6)y，=」_?%(l/4：2x...

1-X21~X2

「2(1/)i2於促x),_..2(1郴x)

(l/)