數(shù)學(xué)-專題02 全等三角形（帶答案）

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專題精選匯編專題02全等三角形考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在AC上，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使BG＝2FC，連接EG交AB于點(diǎn)H，EP平分∠GEC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，則下列結(jié)論：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④【思路引導(dǎo)】過點(diǎn)P分別作GE，AB，AC的垂線，垂足分別為I，M，N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知，PM＝PN＝PI，易證PH平分∠BGE，即∠PHM＝∠PHI．設(shè)∠PEH＝α，∠PAB＝β，由外角的性質(zhì)可得∠APE＝α﹣β，∠AHE＝2α﹣2β，所以∠APE＝∠AHE；故①正確；由外角的性質(zhì)可得∠PHE＝90°﹣α+β，由三角形內(nèi)角和可得，∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，所以∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正確；在射線AC上截取CK＝EC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)L，使得CL＝FC，連接BK，LK，易證△EFC≌△KLC（ASS），所以EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，易證FG＝BL，所以△GEF≌△BKL（SAS），所以∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，由由外角的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠BKC，所以AB＝BK＝GE，故③正確；因?yàn)镾△PAB＝?AB?PM，S△PGE＝GE?PI，且AB＝GE，PM＝PI，所以S△PAB＝S△PGE．故④正確．【完整解答】解：過點(diǎn)P分別作GE，AB，AC的垂線，垂足分別為I，M，N，

∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，∴PM＝PN＝PI，∴∠PMH＝∠PIH，∵PH＝PH，∴∠PHM＝∠PHI，∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），∴∠PHM＝∠PHI，設(shè)∠PEH＝α，∠PAB＝β，∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，對(duì)于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝α﹣β，對(duì)于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，∴∠AHE＝2α﹣2β，∴∠APE＝∠AHE；故①正確；∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，∴∠PHE＝90°﹣α+β，∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正確；在射線AC上截取CK＝EC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)L，使得CL＝FC，連接BK，LK，∵∠ECF＝∠LCK，∴△EFC≌△KLC（ASS），∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，∵BG＝2FC，F(xiàn)C＝CL，∴BG＝FL，∴FG＝BL，∴△GEF≌△BKL（SAS），

∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，∴∠BAC＝∠BKC，∴AB＝BK，∴GE＝AB，故③正確；∵S△PAB＝?AB?PM，S△PGE＝GE?PI，又∵AB＝GE，PM＝PI，∴S△PAB＝S△PGE．故④正確．故選：D．2．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④【思路引導(dǎo)】因?yàn)椤螩AD＝2∠BAE，且∠ABC＝90°，故延長(zhǎng)EB至G，使BE＝BG，從而得到∠GAE＝∠CAD，進(jìn)一步證明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，接著證明△GAC≌△EAD，則∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正確的，也可以通過線段的等量代換運(yùn)算推導(dǎo)出④

是正確的，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以判斷③是正確的，當(dāng)∠CAE＝∠BAE時(shí)，可以推導(dǎo)出AC⊥DE，否則AC不垂直于DE，故②是錯(cuò)誤的．【完整解答】解：如圖，延長(zhǎng)EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正確；∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時(shí)，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當(dāng)∠BAE≠∠EAC時(shí)，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正確的，綜上所述：其中正確的有①③④．故選：D．

3．（2分）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB．其中正確的是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義判斷①；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)判斷②③；根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)判斷④．【完整解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正確．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，在△ABP和△FBP中，，

∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正確．∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH＝PD，故③正確．如圖，連接CP，∵△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，∴點(diǎn)P到AB、AC的距離相等，點(diǎn)P到AB、BC的距離相等，∴點(diǎn)P到BC、AC的距離相等，∴點(diǎn)P在∠ACB的平分線上，∴CP平分∠ACB，故④正確．∴其中正確的是①②③④，共4個(gè)．故選：D．4．（2分）如圖，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．連接CD，連接BE并延長(zhǎng)交AC，AD于點(diǎn)F，G．若BE恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE【思路引導(dǎo)】利用AAS證明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判斷A，D選項(xiàng)正確；由全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求解∠ACB的度數(shù)，利用角平分線的定義求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，進(jìn)而可證明CD∥AB，即可判斷B選項(xiàng)正確，進(jìn)而可求解．【完整解答】解：A．∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，在△DAC和△EAB中，，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，故A選項(xiàng)不符合題意；CD＝BE，故D選項(xiàng)不符合題意；B．∵△DAC≌△EAB，∴AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，∴∠ACD＝∠ABE＝36，∵∠DCA＝∠CAB＝36°，∴CD∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故B選項(xiàng)不符合題意；C．根據(jù)已知條件無法證明DE＝GE，故C選項(xiàng)符合題意．故選：C．5．（2分）如圖，已知AB∥CD，AB+CD＝BC，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，GM⊥CD于點(diǎn)M，GN⊥BC于點(diǎn)N，連接AG、BG．張宇同學(xué)根據(jù)已知條件給出了以下幾個(gè)結(jié)論：①∠BGC＝90°；②GM＝GN；③BG平分∠ABC；④CG平分∠BCD．其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路引導(dǎo)】過點(diǎn)G作GE∥AB，交BC于點(diǎn)E，證明GE是梯形ABCD的中位線，然后利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可逐一進(jìn)行判斷．【完整解答】解：如圖，過點(diǎn)G作GE∥AB，交BC于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GE，∵點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴GE是梯形ABCD的中位線，∴AB+CD＝2GE，∵AB+CD＝BC，∴BC＝2GE，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BE＝2EC，∴BE＝EC＝GE，∵BE＝GE，∴∠EBG＝∠BGE，∵AB∥GE，∴∠ABG＝∠BGE，∴∠ABG＝∠EBG，

∴BG平分∠ABC，故③正確；∵CE＝GE，∴∠EGC＝∠ECG，∵CD∥GE，∴∠EGC＝∠DCG，∴∠ECG＝∠DCG，∴CG平分∠BCD，故④正確；∵GM⊥CD，GN⊥BC，∴GM＝GN，故②正確；∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝∠ABC，∵CG平分∠BCD，∴∠BCG＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBG+∠BCG＝×180°＝90°，∴∠BGC＝90°，故①正確．綜上所述：正確的有①②③④，共4個(gè)．故選：D．6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【思路引導(dǎo)】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長(zhǎng)即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時(shí)，四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG

的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．【完整解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)最小值為14+8＝22，故選：B．7．（2分）習(xí)題課上，張老師和同學(xué)們一起探究一個(gè)問題：“如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)O，OB＝OC，添加下列哪個(gè)條件能判定△ABC是等腰三角形？”請(qǐng)你判斷正確的條件應(yīng)為（）A．AE＝BE B．BE＝CD C．∠BEO＝∠CDO D．∠BEO＝∠BOE【思路引導(dǎo)】根據(jù)等角對(duì)等邊以及等邊對(duì)等角解決此題．

【完整解答】解：A．添加AE＝BE，無法推斷出△ABC是等腰三角形，那么A不符合題意．B．添加BE＝CD，無法推斷出△ABC是等腰三角形，那么B不符合題意．C．由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB．添加∠BEO＝∠CDO，得∠ABC＝∠ACB，故AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，那么C符合題意．D．添加∠BEO＝∠BOE，無法判斷△ABC是等腰三角形，那么D不符合題意．故選：C．8．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是OABC外一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點(diǎn)O，在BD上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．56° B．60° C．62° D．64°【思路引導(dǎo)】根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可．【完整解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°，故選：A．9．（2分）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)恰好是網(wǎng)格線的交點(diǎn)），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【思路引導(dǎo)】根據(jù)全等三角形的定義畫出圖形，即可判斷．【完整解答】解：如圖，觀察圖象可知滿足條件的三角形有4個(gè)．故選：A．10．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正確的有（）

A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④【思路引導(dǎo)】①設(shè)∠GCD＝x，∠DAC＝y(tǒng)，則：，故∠ADC＝∠ABC＝45°．②根據(jù)三線合一，延長(zhǎng)GD與AC相交于點(diǎn)I，則CG＝CI，AI＝AF；③證△ACD與△AED全等即可，同時(shí)可得出三角形CDE是等腰直角三角形；④在DF上截取DM＝CD，證△EMF≌△CEG即可．【完整解答】解：設(shè)∠GCD＝x，∠DAC＝y(tǒng)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①正確；延長(zhǎng)GD與AC相交于點(diǎn)I，∵DE⊥CF，∴∠CDG＝∠CDI＝90°，∵CF平分∠GCI，∴∠GCD＝∠ICD，

在△GCD和△ICD中，，∴△GCD≌△ICD（ASA），∴CG＝CI，∵∠ADC＝45°，∴∠ADI＝∠ADF，在△AFD和△AID中，，∴△AFD≌△AID（ASA），∴AF＝AI，∴AF﹣CG＝CA，故②正確；同理△ACD≌△AED（ASA），∴CD＝DE，故③正確；在DF上截取DM＝CD，則DE是CM的垂直平分線，∴CE＝EM，∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，∴∠ECG＝∠FEM，∵EF＝CI，CI＝CG，∴EF＝CG，在△EMF和△CEG中，，∴△EMF≌△CEG（SAS），∴FM＝GE，∴CF＝2CD+EG，故④正確；故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11．（2分）已知：如圖，△ABC中，E在BC上，D在BA上，過E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF＝，則AD的長(zhǎng)為．【思路引導(dǎo)】在FA上取一點(diǎn)T，使得FT＝BF，連接ET，在CB上取一點(diǎn)K，使得CK＝ET，連接DK．想辦法證明AT＝DK，DK＝BD，推出BD＝AT，推出BT＝AD即可解決問題．【完整解答】解：在FA上取一點(diǎn)T，使得FT＝BF，連接ET，在CB上取一點(diǎn)K，使得CK＝ET，連接DK．∵EB＝ET，∴∠B＝∠ETB，∵∠ETB＝∠1+∠AET，∠B＝∠1+∠2，∴∠AET＝∠2，∵AE＝CD，ET＝CK，∴△AET≌△DCK（SAS），∴DK＝AT，∠ATE＝∠DKC，∴∠ETB＝∠DKB，∴∠B＝∠DKB，∴DB＝DK，∴BD＝AT，∴AD＝BT，∵BT＝2BF＝，

∴AD＝，故答案為．12．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，在BE上取點(diǎn)D，使BD＝CA，在射線CF上取點(diǎn)G，使CG＝BA，連接AD、AG，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，則∠GAB＝58°．【思路引導(dǎo)】首先證明△ABD≌△GCA可得∠AGC＝∠BAD，然后根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得∠GAF＝∠ABD+∠DAE＝20°+38°＝58°，進(jìn)而可以解決問題．【完整解答】解：∵BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，∴∠BEA＝∠CFA＝90°，∴∠ABE+∠BAC＝90°，∠ACF+∠BAC＝90°，∴∠ABE＝∠ACF，在△ABD和△GCA中，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴∠AGC＝∠BAD，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠EBC＝20°，∵∠AGF+∠GAF＝90°，∠ABE+∠BAD+∠DAE＝90°，∴∠GAF＝∠ABD+∠DAE＝20°+38°＝58°，即∠GAB＝58°，故答案為：58．13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上的一點(diǎn)，∠BAD＝28°，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE，DE，DE交AC于點(diǎn)O，若CE∥AB，則∠DOC的度數(shù)為

92°．【思路引導(dǎo)】根據(jù)已知條件證明△DAB≌△EAC，可得∠B＝∠ACE，再根據(jù)CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，然后證明△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【完整解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠B+∠BCE＝180°，∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠BAD＝28°，∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．

故答案為：92°．14．（2分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為或3或或cm/s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．【思路引導(dǎo)】設(shè)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，分兩種情況討論，①點(diǎn)P由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPE≌△CQP②△BPE≌△CPQ，③點(diǎn)P由C向B運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPE≌△CQP，④△BPE≌△CPQ，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列方程解出即可．【完整解答】解：設(shè)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，①點(diǎn)P由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3÷1＝3cm/s；②點(diǎn)P由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP，∴3t＝8﹣3t，t＝，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：5÷＝cm/s；③點(diǎn)P由C向B運(yùn)動(dòng)時(shí)，CP＝3t﹣8，

∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝3t﹣8，解得t＝，∴BP＝CQ＝3，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3÷＝cm/s；④點(diǎn)P由C向B運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP＝4，3t﹣8＝4，t＝4，∵BE＝CQ＝5，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為5÷4＝cm/s；綜上所述：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；故答案為：或3或或．15．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點(diǎn)C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當(dāng)AC＝6，BC＝8，AB＝10時(shí)，則△CEF的周長(zhǎng)為4．【思路引導(dǎo)】如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一點(diǎn)J，使得MJ＝FN，連接PJ．利用全等三角形的性質(zhì)證明EF＝EM+FN，可得結(jié)論．【完整解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一點(diǎn)J，使得MJ＝FN，連接PJ．

∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，∴PM＝PK，PK＝PN，∴PM＝PN，∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，∴四邊形PMCN是矩形，∴四邊形PMCN是正方形，∴CM＝PM，∴∠MPN＝90°，在△PMJ和△PNF中，，∴△PMJ≌△PNF（SAS），∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，∴∠JPF＝∠MPN＝90°，∵∠EPF＝45°，∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，在△PEF和△PEJ中，，∴△PEF≌△PEJ（SAS），∴EF＝EJ，∴EF＝EM+FN，∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，∵S△ABC＝?BC?AC＝（AC+BC+AB）?PM，

∴PM＝2，∴△ECF的周長(zhǎng)為4，故答案為：4．16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一點(diǎn)，且AE＝AD，連接DE，過E作EF⊥BD，垂足為F，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正確的是①③④．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【思路引導(dǎo)】根據(jù)△BEF≌△BEG即可判斷①，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷②，根據(jù)四邊形DCFG的內(nèi)角和即可判斷③，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷④．【完整解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵EF⊥BD，∴∠3＝∠4＝90°，∠EFD＝∠DFG＝90°，在△BEF和△BEG中，，∴△BEF≌△BEG，∴EF＝FG，故①正確；過D作DM⊥AB，

∵∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，又∵BD平分∠ABC，∴DC＝DM，在Rt△EMD中：ED＞MD，∴CD≠DE，故②說法錯(cuò)誤；∵△BEF≌△BEG，∴∠5＝∠6，在四邊形CDFG中∠C+∠8+∠DFG+∠7＝180°，∠C＝∠DFG＝90°，∴∠7+∠8＝180°，∵∠7+∠6＝180°，∴∠6＝∠8，∴∠5＝∠8，即∠BEG＝∠BDC，故③正確；∴∠AEF＝∠ADF，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠DEF＝∠EDF，∵∠DFE＝90°，∴∠DEF＝45°，故④正確．故答案為：①③④．17．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，請(qǐng)你添加一個(gè)條件AD＝CE（答案不唯一），使△BEC≌△CDA（填一個(gè)即可）．【思路引導(dǎo)】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可，兩個(gè)三角形全等已具備的條件是∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＝∠CBE

，根據(jù)三角形全等的判定方法即可確定添加的條件．【完整解答】解：添加的條件是AD＝CE，理由是：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（ASA）．故答案為：AD＝CE（答案不唯一）．18．（2分）如圖，E是△ABC的邊AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，過點(diǎn)E作直線DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，則BD的長(zhǎng)為2.5．【思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，求出AE＝EC，根據(jù)AAS證△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．【完整解答】證明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE＝EC，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝6.5，

∵AB＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5，故答案為：2.5．19．（2分）如圖，在正方形方格中，各正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你找出方格中所有與△ABC全等，且以A為頂點(diǎn)的格點(diǎn)三角形．這樣的三角形共有5個(gè)（△ABC除外）．【思路引導(dǎo)】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS畫出和△ABC全等的三角形，再得出答案即可．【完整解答】解：如圖1所示：方格中所有與△ABC全等，且以A為頂點(diǎn)的格點(diǎn)三角形有△FAO，△HOA，△EAD，△AEF，△ACH，共5個(gè)，故答案為：5．20．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB與∠CBA的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則線段OD的長(zhǎng)為3cm．【思路引導(dǎo)】過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，利用角平分線的性質(zhì)推知OD＝OE＝OF；最后根據(jù)三角形的面積公式解答．【完整解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接OC，∵∠CAB與∠CBA的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥AB，∴OD＝OE＝OF．

∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB＝（AC+BC+AB）?OD＝AC?BC，即×（8+15+17）?OD＝×8×15．則OD＝3cm．故答案是：3．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（8分）綜合與探究如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，請(qǐng)直接寫出∠BFC的度數(shù)．（3）過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，求證：EF+DH＝HF．【思路引導(dǎo)】（1）可利用SAS證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEC＝∠ADB，結(jié)合平角的定義可得∠DAE+∠DFE＝180°，根據(jù)∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；（3）連接AF，過點(diǎn)A作AJ⊥CF于點(diǎn)J．結(jié)合全等三角形的性質(zhì)利用HL證明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，進(jìn)而可證明結(jié)論．【完整解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠CAE＝∠BAD．在△ACE和△ABD中，，

∴△ACE≌△ABD（SAS）；（2）解：∵△ACE≌△ABD，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．∴∠DAE+∠DFE＝180°，∵∠BFC+∠DFE＝180°，∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；（3）證明：如圖，連接AF，過點(diǎn)A作AJ⊥CF于點(diǎn)J．∵△ACE≌△ABD，∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，∵AJ⊥CE，AH⊥BD．∴，∴AJ＝AH．在Rt△AFJ和Rt△AFH中，，∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），∴FJ＝FH．在Rt△AJE和Rt△AHD中，，∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），∴EJ＝DH，∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．22．（8分）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，設(shè)BE與CD相交于點(diǎn)F．

（1）如圖①，設(shè)∠A＝60°，BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，證明：DF＝EF．（2）如圖②，設(shè)BE⊥AC，CD⊥AB，點(diǎn)G在CD的延長(zhǎng)線上，連接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，證明：GD＝DF．【思路引導(dǎo)】（1）在BC上截取BM＝BD，連接FM，證明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，進(jìn)而可以解決問題；（2）根據(jù)已知條件證明△BDF≌△CDA，進(jìn)而可以解決問題．【完整解答】證明：（1）如圖，在BC上截取BM＝BD，連接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，，∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，

∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，，∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．23．（6分）如圖①：△ABC中，AC＝BC，延長(zhǎng)AC到E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB到G，過點(diǎn)G作GH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，且EF＝GH．

（1）求證：△AEF≌△BGH；（2）如圖②，連接EG與FH相交于點(diǎn)D，若AB＝4，求DH的長(zhǎng)．【思路引導(dǎo)】（1）利用AAS即可證明△AEF≌△BGH；（2）結(jié)合（1）證明△EFD≌△GHD，即可解決問題．【完整解答】（1）證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC．∵∠ABC＝∠GBH，∴∠A＝∠GBH．∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠AFE＝∠BHG．在△ADG和△CDF中，，∴△AEF≌△BGH（AAS）．（2）解：∵△AEF≌△BGH，∴AF＝BH，∴AB＝FH＝4．∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠EFD＝∠GHD．在△EFD和△GHD中，∴△EFD≌△GHD（AAS），

∴．24．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求證：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段FB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DG，點(diǎn)H是線段DG上一點(diǎn)，連接AH交BD于點(diǎn)K，連接KG．當(dāng)KB平分∠AKG時(shí)，求證：AK＝DG+KG．【思路引導(dǎo)】（1）證明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解決問題；（2）作BM平分∠ABD交AK于點(diǎn)M，證明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解決問題．【完整解答】證明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如圖：作BM平分∠ABD交AK于點(diǎn)M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，

∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，，∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，，∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．25．（9分）在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝BD+CE；（2）如圖2，當(dāng)0＜α＜180時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α＝120°時(shí)，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°

，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）先由α＝120°和AF平分∠BAC得到∠BAF＝∠CAF＝60°，然后結(jié)合AB＝AF＝AC得到△ABF和△ACF是等邊三角形，然后得到FA＝FC、∠FCA＝∠FAB＝60°，然后結(jié)合△BDA≌△EAC得到∠BAD＝∠ACE、AD＝CE，從而得到∠FAD＝∠FCE，故可證△FAD≌△FCE，從而得到DF＝EF、∠DFA＝∠EFC，最后得到∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝60°，即可得證△DEF是等邊三角形．【完整解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等邊三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等邊三角形，

∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等邊三角形．26．（6分）如圖，線段AB上兩點(diǎn)C，D，AC＝BD，∠A＝∠B，AE＝BF，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，連結(jié)CF并延長(zhǎng)至點(diǎn)N，DE、CF交于點(diǎn)P，MN∥AB．求證：△PMN是等腰三角形．【思路引導(dǎo)】證明△ADE≌△BCF．可得∠ADE＝∠BCF，然