重慶市高中名校2023年高考數(shù)學五模試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()

A.2對B.3對

C.4對D.5對

2.設a為銳角，若cos(a+?)=|,貝!Jsin2a的值為()

17

A.“C.

25

x>0

3.已知a,b,ceR?a>b>c,a+b+c-0.若實數(shù)%,丁滿足不等式組<尤+y<4則目標函數(shù)z=2x+y

bx+ay+c>0

()

A.有最大值，無最小值B.有最大值，有最小值

C.無最大值，有最小值D.無最大值，無最小值

4.i是虛數(shù)單位，貝?。輡z|=(

1-z

A.1B.2C.五D.2及

5.若=4+4(x+l)++%O]9(x+l)""，XGR,則4/3+4,32++々2019.3""9的值為()

2019209209

A.-1-2B.一1+2239C.1-2'D.1+2'

6.函數(shù)/(x)=sin(ox+°)的部分圖象如圖所示，則/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

-----卜2k兀,-----卜2k兀,keZ

44

—卜k、------Fk、kwZD.------卜2k,-----卜2k,keZ

4444

7.已知等差數(shù)列｛q｝的前N項和為s,，若4=12,Ss=90,則等差數(shù)列｛4｝公差"=()

3

A.2B.-C.3D.4

2

8.已知函數(shù)/(x)=x+ei，g(x)=In(x+2)—4e"T,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù).%,使

/(xo)-g(x0)=3成立，則實數(shù)。的值為()

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

9.設i是虛數(shù)單位，aeR,士絲=3-2"則。=()

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

10.設A(2,-l),B(4,l),則以線段AB為直徑的圓的方程是()

A.(x-3)2+y=2B.0-3)2+丁=8

C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+/=8

11.雙曲線f—E=i的漸近線方程為()

2

A.y=+^-xB.y=±xC.y=±五x

D.y=±>/3JC

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為(

7153115

A.—B.—C.—D.—

881616

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設/(X)為偶函數(shù)，且當xe(-2,o]時，/(%)=-X(X+2)；當尤e[2,+oo)時，/(x)=(a-x)(x-2).關于函數(shù)

g(x)=/(x)—加的零點，有下列三個命題：

①當。=4時，存在實數(shù)小使函數(shù)g(x)恰有5個不同的零點；

②若函數(shù)g(x)的零點不超過4個，貝!JaV2;

③對V,〃e(l,+8),*e(4,+s),函數(shù)g(x)恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數(shù)列.

其中，正確命題的序號是.

14.圓心在曲線y=((x>0,k>0)上的圓中，存在與直線2x+y+l=。相切且面積為5兀的圓，則當攵取最大值時，

該圓的標準方程為.

15.已知各棱長都相等的直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球。的表面上.若球。的表面積為

28肛則該三棱柱的側面積為.

x+2y-3>0

16.若實數(shù)x,)'滿足不等式組(2x+y-3Z0,則2x+3)?的最小值為.

x+y-3<Q

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

/T7

17.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是梯形.BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PB=匹,PA=PC=s5

2

(I)證明；ACIBP,

（H）求直線AO與平面APC所成角的正弦值.

18.（12分）已知數(shù)列｛4“｝滿足：對任意都有4“=4+4+2.

（1）若。2+。3+4+。9=2,求小的值;

（2）若｛4｝是等比數(shù)列，求｛4｝的通項公式;

（3）設ZeN*,k>3,求證:若％i，%2，％3,…成等差數(shù)列,則4,生，…，%也成等差數(shù)列.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x-2]一|2x+l|.

（1）求不等式“X）的解集;

（2）若關于％的不等式/（x）W3f—2/在區(qū)間［-1,1］內(nèi)無解，求實數(shù)，的取值范圍.

20.（12分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.

方案一：每滿100元減20元;

方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽?。?/p>

求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;

（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？

21.（12分）已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且（sinA-sin=sin?C-sinAsinB.

(I)求C；

（II）若c=l,A4BC的周長是否有最大值？如果有，求出這個最大值，如果沒有，請說明理由.

22.（10分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)

保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結果統(tǒng)計如下:

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,30()]

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

天數(shù)61418272510

(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于［0,50］,(50,1(X)］的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

’0,涮100,

(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失了(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關系式為y=220,100<%,250,,試估計該

1480,250〈芭,300,

企業(yè)一個月(按30天計算)的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

畫出該幾何體的直觀圖P-ABCZ),易證平面/3AZ)_L平面ABCD,平面PCD_L平面尸AO,平面248J_平面PAD，

平面243,平面PC。，從而可選出答案.

【詳解】

該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面94。_L平面ABC。，

作尸O_LAZ>于O,則有尸O_L平面A5CD,PO1CD,

又AZ>_LCD,所以，CD_L平面AW,

所以平面PC。，平面P4O,

同理可證：平面246_L平面PAD,

由三視圖可知：PO=AO=OD,所以，APLPD,又4尸_1_5,

所以，APJ_平面PCD,所以，平面平面PQD,

所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.

p

本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題.

2.D

【解析】

用誘導公式和二倍角公式計算.

【詳解】

jrjrjr3I

sin2a=-cos(2a+—)=-cos2(a+—)=-[2cos2(?+-)-1]=-[2x(-)2-1]=——.

244525

故選：D.

【點睛】

本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式，解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.

3.B

【解析】

判斷直線版+ay+c=O與縱軸交點的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標函數(shù)的最值情況.

【詳解】

由a+0+c=0,a>b>c,所以可得a>0,c<0.

cc1clic

a>b=a>-a-c=—>-2,b>c=>-a-c>c^-<——-2<—<——=>—<——<2,

aa2a22a

hc

所以由法+“y+c=0ny=—-x--，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖

aa

所示:

由此可以判斷該目標函數(shù)一定有最大值和最小值.

故選：B

【點睛】

本題考查了目標函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結合思想，考查了不等式的性質(zhì)應用.

4.C

【解析】

由復數(shù)除法的運算法則求出z,再由模長公式，即可求解.

【詳解】

由z=2，：￥=-1+i,\z\=y/2.

故選:C.

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法和模，屬于基礎題.

5.A

【解析】

2019

取》=—1,得到%=22°\取x=2,則4+a/3+4-32++a2019.3=-l,計算得到答案.

【詳解】

20l9

取x=-l,得到%=22°\取x=2,則%+。/3+%.32++a201<3=-l.

20,92019

故?！?+廿32++O2019.3=-1-2.

故選：A.

【點睛】

本題考查了二項式定理的應用，取x=-l和x=2是解題的關鍵.

6.D

【解析】

3

由圖象可以求出周期，得到根據(jù)圖象過點(^，-1)可求根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.

【詳解】

T51

由圖象知一=——=1,

244

所以T=2,co=--=7u,

2

3

又圖象過點(1一1),

37r

所以一l=sin(—+9),

4

371

故?？扇∫唬?/p>

4

37r

所以fM=sin(^-x+—)

4

令2Z萬一24乃x+'K2左萬+2,ZeZ,

242

解得2k--<x<2k--,k&Z

44

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為一3+2左,一!+2攵,k&Z

44

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.

7.C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.

【詳解】

■1=12,Ss=90,

5x4

.,.5x12+------d=90,

2

解得d=l.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

8.A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+exa-In(x+1)+4ea'x,

1_x+1

令y=x-ln(x+1),y'=l-

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(-1,-1)上是減函數(shù)，(-1,+oo)上是增函數(shù),

故當x=-1時，y有最小值-1-0=-1,

而eX-a+4ear%,(當且僅當e、.a=4ear,即乂=2+加1時，等號成立);

故f(x)-g(x)>3(當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立);

故x=a+lnl=-1,BPa=-1-Ini.故選：A.

9.C

【解析】

由5+rn=3-2i,可得5+出=(a+z)(3-2i)=3a+2+(3-2a)i,通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出a的

a+i

值.

【詳解】

解：^±￡￡=3_2/,.?.5+ai=(a+i)(3—2i)=3?+2+(3—2a)i

a+i

5=3。+2

，解得：a=\.

3-2a=a

故選:C.

【點睛】

本題考查了復數(shù)的運算，考查了復數(shù)相等的涵義.對于復數(shù)的運算類問題，易錯點是把當成1進行運算.

10.A

【解析】

計算的中點坐標為(3,0),圓半徑為r=近，得到圓方程.

【詳解】

AB的中點坐標為：(3,0),圓半徑為一網(wǎng)L近亙=夜,

22

圓方程為(x—3>+y22.

故選：A.

【點睛】

本題考查了圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.

11.C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程，即可寫出漸近線方程.

【詳解】

2

雙曲線V—2v_=],

2

，雙曲線的漸近線方程為y=±V2x,

故選：C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.

12.D

【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結論.

【詳解】

執(zhí)行該程序可得s=o+*+*+最+'='

故選：D.

【點睛】

本題考查程序框圖.解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結論，也可以由程序框圖確定程序功能，然

后求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.③

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.

【詳解】

解：當"4時小/、)九\-x二(x)-(2L))x」e[0[,22工))又因為小/)為、偶函數(shù)

可畫出的圖象，如下所示:

可知當利=0時g(x)=/(x)-機有5個不同的零點；故①正確;

若函數(shù)g(x)的零點不超過4個，

即Vme[0,1],y=/(x)與丁=根的交點不超過4個，

.?.XN2時/(X)WO恒成立

又當xe[2,+8)時，/(x)=(a-x)(x-2)

.?.a-xMO在xe[2,+8)上恒成立

J.aWx在xe[2,+8)上恒成立

:.a<2

由于偶函數(shù)“X)的圖象，如下所示:

直線/與圖象的公共點不超過4個，則aW2,故②正確;

對必〃e(l,+co),偶函數(shù)的圖象，如下所示：

皿€(4,+8),使得直線/與g(x)恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確.

故答案為：①②③

【點睛】

本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結合思想，屬于難題.

14.(x-l)2+(y-2)2=5

【解析】

由題意可得圓的面積求出圓的半徑，由圓心在曲線上，設圓的圓心坐標，到直線的距離等于半徑，再由均值不等式可

得攵的最大值時圓心的坐標，進而求出圓的標準方程.

【詳解】

設圓的半徑為廣，由題意可得萬r=5乃，所以r=有，

k

由題意設圓心cm,一),由題意可得。＞0,

a

k

由直線與圓相切可得I2"+〃+R,所以|2。+&+1|=5,

75'a

而左＞0,。＞0,所以5=2。+幺+122/2/+1,即22疝，解得2＜2,

aVa

所以人的最大值為2,當且僅當2。=幺時取等號，可得。=1,

a

所以圓心坐標為：(1,2),半徑為石，

所以圓的標準方程為：(x-l＞+(y-2)2=5.

故答案為：(x—l)2+(y—2)2=5.

【點睛】

本題考查直線與圓的位置關系及均值不等式的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運

算求解能力，求解時注意驗正等號成立的條件.

15.36

【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可，在A。。田中，利用。仙2+0］。2=042即可得到關于》的方程，解方程即可解決.

【詳解】

由已知，4〃R2=28萬，解得R=J7,如圖所示，設底面等邊三角形中心為。I,

A1

直三棱柱的棱長為X,則01A二與x，O0=^X,故O1A2+O02=OA2=R2=7,

22

即￡_+工=7,解得x=2括，故三棱柱的側面積為3x2=36.

34

故答案為：36.

【點睛】

本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學生的空間想象能力，是一道中檔題.

16.5

【解析】

根據(jù)題意，畫出圖像，數(shù)形結合，將目標轉(zhuǎn)化為求動直線縱截距的最值，即可求解

【詳解】

x+2y—320

畫出不等式組2尢+y-3N0,表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，

x+y—3<0

21

令z=2x+3y,則y=—§x+§z.分析知，當x=l,y=l時，z取得最小值，且Zmin=5.

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎題

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)見解析(II)

4

【解析】

⑴取AC的中點M，連接PM,BM，通過證明AC，平面PBM得出AC1BP;

(II)以以為原點建立坐標系，求出平面4PC的法向量〃，通過計算〃與A。的夾角得出與平面APC所成角.

【詳解】

(I)證明：取AC的中點連接PM,BM,

'：AB=BC,PA=PC,

：.AC±BM,AC±PM,又8MCPM=M,

.?.4C_L平面PBM,

：8Pu平面PBM,

：.ACVBP.

（II）解：?底面A3CO是梯形.BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,

：.ZABC=12Q°,

"：AB=BC=1,.*.AC=G，BM=~,：.AC±CD,

XAC1BM,：.BM//CD.

iA3

,:PA=PC=BCM=-AC=—>：.PM=~,

222

?：PB=叵,+：.ZPMB=12Q°,

22PM-BM2

以M為原點，以M5,MC的方向為x軸，y軸的正方向,

以平面ABCD在M處的垂線為z軸建立坐標系M-xyz,如圖所示:

則A（0,-且，0）,C（0,立，0）,PC--,0,逆），0（-1,立，0）,

22442

LUUUX/—33\/3

?**AD=（-1,^390）,AC=（0，，0）,AP=（----，-----，-——-），

424

VJy=0

n?AC=0

設平面ACP的法向量為〃=（x,j,z）,貝（J即《363K

n?AP=0——XH-----VH-------Z=0

I42-4

令丫=百得〃=（百，0,1）,

n-AD_

AD>=V3

:.cos<ZnHM-T

直線AD與平面APC所成角的正弦值為|cos<n,AD>\=—

4

【點睛】

本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理使用，難度

一般.

18.(1)3；(2)an=-2；(3)見解析.

【解析】

(1)依據(jù)下標的關系，有48=生+為+2,48=%+4+2,兩式相加，即可求出；(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項

公式知，求出首項和公比即可。利用關系式=4+4+2,列出方程，可以解出首項和公比；(3)利用等差數(shù)列的

定義，即可證出。

【詳解】

(1)因為對任意〃，丫eN*,都有=?！?4+2,所以《8=。2+a9+2,?|8=fz3+tz6+2,兩式相加,

2%=4+03+4+49+4=2+4=6,解得/=3

(2)設等比數(shù)列｛4｝的首項為％,公比為心因為對任意〃,veN*,都有《”=4+%+2,

所以有%=。1+。2+2,解得”|=-2,又4=4+4+2=。2+。3+2,

即有4+6=%+%，化簡得，1+^5=q2+q\即(42-1)(二-1)=0,

?'-4=1或＜7=—1,因為4=。2+%+2,化簡得—2q+1=0,所以q=1

故見=-2。

(3)因為對任意〃,ywN*,都有&,=4+4+2,所以有

4+i=q+%+i+2

%&+i)=4+4+i+2

"?JI+D=。+%+1+2,%+i，a*+2，%+3,…成等差數(shù)列,設公差為d，

ak(k+\)~4+4+1+2

aaaa

=%(?+1)一6+|=(%+l)d，3~2~3(k+l)~2(k+\)=(k+1)^,,

4-?i-i=%?+「《-=(%+l)d，由等差數(shù)列的定義知，

6,。2,…，％也成等差數(shù)列。

【點睛】

本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應用，意在考查學生的邏輯推理，數(shù)學建模，綜合運用數(shù)列知識的

能力。

19.(1)[—2,0]；(2)(—co,—)U(2,+oo).

2

【解析】

(D只需分xN2,--<x<2,三種情況討論即可；

22

(2)〃x)>3~2產(chǎn)在區(qū)間[-1,1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為“xL*/—2t2,只需求出血即可.

【詳解】

(1)當xN2時，f(x)=-x-3<-5,此時不等式無解；當—時，/(x)=-3x+l,

1,C

—?x<211%〈---1

由12一.得?--<x<0；當x<—-時，.f(x)=x+3,由<2得—2Wx<—,

2

-3x+l>l22x+3>l乙

綜上，不等式的解集為[-2,0]；

(2)依題意，〃x)>3―2產(chǎn)在區(qū)間上恒成立，則/(x)min>3r-2r2,當—14%<一；時，

/(X)=X+3G[2,|)；當—時，/(X)=-3X+1G[-2,|],所以當時，“力小=-2,

由3,一2/<一2得/>2或f<-g,所以實數(shù)t的取值范圍為(一8,一g)。(2,+oo).

【點睛】

本題考查絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題，考查學生分類討論與轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道基礎題.

20.(1)](2)選擇方案二更為劃算

2

【解析】

13

(1)計算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率［=3,獲得8折優(yōu)惠的概率2=石，相加得到答案.

OO

(2)選擇方案二，記付款金額為X元，則X可取的值為126,144,162,180,,計算概率得到數(shù)學期望，比較大小

得到答案.

【詳解】

(1)該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率［=<2￥=；1

<2?23

該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率P=Cjx-x-=-,

2⑷48

131

故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率P=P］+P2=-+-=-.

(2)若選擇方案一，則付款金額為180-20=160.

若選擇方案二，記付款金額為X元，則X可取的值為126,144,162,180.

P(X=126)q,P(X=144)=C；［￡