山東省濱州市2023屆高三數(shù)學(xué)期末模擬卷與解析

山東省濱州市2023屆高三數(shù)學(xué)期末模擬卷

2022.12.25

一、單選題

1.已知全集。=4uB={HxeN|04xM7},Ac@,B)={l,3,5,7}；則集合8元素的個(gè)數(shù)

為()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.I個(gè)

2.設(shè)(l—i)z=2i(i是虛數(shù)單位),則同=()

A.72B.0C.2D.5

3.從一副混合的撲克牌共52張(沒有大小鬼2張)，中隨機(jī)抽取13張，事件A為“抽

得紅桃K，，事件8為“抽得黑桃”，則概率P(AU8)=()

4.“3*>3”是“x(x+3)>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.(2尤-?)5的展開式中含V的項(xiàng)的系數(shù)為()

A.10B.-10C.5D.-5

6.設(shè)a=3"$/=log32,c=cos2,則()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

7.函數(shù)y=5十的圖象是()

A.B.

8.已知過(guò)定點(diǎn)直線h-y+4-k=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則

直線的方程為()

A.x-2y-l=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=(sinx+coso:)(sinx—cosx),則下列說(shuō)法正確的是()

A.“X)的周期為萬(wàn)

B.若|『a)|+|F(W)|=2,則一+%=笥,keZ

c./(x)在區(qū)間上是增函數(shù)

D.y=/(x)的對(duì)稱軸為》=苫+4萬(wàn)，keZ

10.下列選項(xiàng)中正確的有().

A.隨機(jī)變量*~443),則O(3X+1)=8

B.將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件4="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不相同"，B="至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，

則概率P(A⑻='

C.口袋中有7個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球和1個(gè)黑球.從中任取兩個(gè)球，記其中含紅球的個(gè)數(shù)為

7

隨機(jī)變量短則看的數(shù)學(xué)期望E傳)=1

3

D.已知某種藥物對(duì)某種疾病的治愈率為:現(xiàn)有3位患有該病的患者服用了這種藥物，

4

3位患者是否會(huì)被治愈是相互獨(dú)立的，則恰有1位患者被治愈的概率為三27

64

11x1

11.已知x+y=i,y>o,XHO貝的值可能是()

2|x|y+1

1c3c5r7

A.-B.-C.-D.—

4444

12.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O,O,,其高為2,EBC為圓。的內(nèi)接三角

形，且NBAC=60,BC=3,P為圓O'上的動(dòng)點(diǎn)，貝lj()

A.若尸31.平面A6C,則三棱錐P-45c外接球的表面積為16兀

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

B.若E4_LBC,則43=AC

C.三棱錐P-43C體積的最大值為主8

2

D.點(diǎn)/到平面P8C距離的最大值為迪

2

三、填空題

sina-2cosa

13.已知tana=2,則

3sina+5cosa

14.函數(shù)〃x)=8sx+sinx的圖象在點(diǎn)弓,/9)處的切線方程為.

x—y—4<0,

15.已知點(diǎn)P(21)在不等式組｛。/八表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)P(2/)到直線

x+y-3<0

3x+4y+10=0距離的最大值為

16.在AABC中，4=60。"=1,5，枷=6,則AABC的外接圓半徑R的值為.

四、解答題

17.計(jì)算求值:

2cosl0=-2A/3COS(-100/)

⑴計(jì)算-------/、——的值;

Vl-sinlO:

(2)已知a、夕均為銳角，sina=icos(a+/?)=%^,求sin夕的值.

714

18.某中學(xué)(含初高中6個(gè)年級(jí))隨機(jī)選取了40名男生，將他們的身高作為樣本進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(□)求。的值及樣本中男生身高在[185,195](單位:cm)的人數(shù)；

(□)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，通過(guò)樣本估計(jì)該校全體男

生的平均身高；

(口)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校男生身高的85%分位數(shù).

19.在長(zhǎng)方體OABC-。人BC中，。?=a,0A=6,0C=c,M是8片的中點(diǎn)，N是CG的

中點(diǎn)，P是AA上一點(diǎn)，且AP=2尸A，Q是0A反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，。4=2。。，以0

為原點(diǎn)，OA,0C,。。分別為x軸、y軸、z軸的正方形建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)求B,4，M,N,P,Q的坐標(biāo)；

(2)求QM的長(zhǎng).

20.(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9,前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù).

(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2,首末兩項(xiàng)的積為-8,求這四個(gè)數(shù).

21.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓CK，鳥分別為橢圓的左.右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,離心率

為正

3

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)P在橢圓C上，且|歷|=4,求點(diǎn)尸到右準(zhǔn)線的距離.

22.已知數(shù)列｛4｝和｛2｝滿足4=耳，且對(duì)任意〃eN”都有。乎=占.

an1一%

(1)求數(shù)列｛〃“｝和曲J的通項(xiàng)公式；

(2)證明：詈+5■+*+…+爭(zhēng)吟+魯+善+...+容.

44%2川4b2bybn

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

山東省濱州市2023屆高三數(shù)學(xué)期末模擬卷

2022.12.25

一、單選題

1.已知全集。=4uB={HxeM04xM7},Ac@,8)={l,3,5,7}；則集合8元素的個(gè)數(shù)

為()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【分析】首先利用列舉法表示全集U,即可得到?B=[1,3,5,7},從而得到集合8,即

可得解；

【詳解】解：因?yàn)椤?{XxeN|04xM7},

所以U={0,l,2,3,4,5,6,7},3U=A<JB,AC&B)={1,3,5,7},口傘8={1,3,5?,

{1,3,5,7}=A；

□B={0,2,4,6),口。々尸6/(8)=4個(gè),

故選：A.

2.設(shè)(1-i)z=2i2是虛數(shù)單位),則回=()

A.夜B.75C.2D.5

【答案】A

【分析】利用分?jǐn)?shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

22

【詳解】由已知可得z=U=7^蜉二=i(l+i)=-l+i,因止匕，|Z|=J(-1)+1=72.

1-1(1一1川+1)II丫\/

故選：A.

3.從一副混合的撲克牌共52張(沒有大小鬼2張)，中隨機(jī)抽取13張，事件4為“抽

得紅桃K',事件5為“抽得黑桃、則概率P(AU5)=()

A7c13-1r3

A.■—B.-—C.—■D.—

26525213

【答案】A

【分析】首先分別求P(A)，P(B),再利用互斥事件和的概率公式求解.

【詳解】P(A)=[，尸⑻*=；，事件AB是互斥事件，

試卷第5頁(yè)，共15頁(yè)

故選：A

4“3*>3”是“*。+3)>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定x的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的相關(guān)

定義即可確定答案.

【詳解】3'>3=x>l=x>0=x(x+3)>0,所以“3'>3?是“x(x+3)>0?的充分條件,

選項(xiàng)BD錯(cuò)誤；

x(x+3)>0=x>0或x<—3,所以“3，>3?不是“x(x+3)>0?的必要條件，

選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

故選：A.

5.(2x-4)s的展開式中含/的項(xiàng)的系數(shù)為()

A.10B.-10C.5D.-5

【答案】A

【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式可求V的系數(shù).

【詳解】(2x-?)5的展開式的通項(xiàng)公式為I；”=G(2x)?(_?y=(-l)r25-rC；^，

令5-^=3可得r=4,所以丁的系數(shù)為(-1『25-4仁=10.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用二項(xiàng)式定理求解特定項(xiàng)的系數(shù)一般是利用通項(xiàng)

公式求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)a=3"5,〃=log32,c=cos2,貝l]()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】由對(duì)數(shù)、指數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較即可.

150

【詳解】?=3*>l=3,0=log3l<Z>=log32<log13=l

JI

—.\c=cos2<0,故a>b>c

故選：A

7.函數(shù)歹=5一中的圖象是()

試卷第6頁(yè)，共15頁(yè)

【答案】D

【詳解】函數(shù)y=5用為偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

當(dāng)x>0時(shí),>=5-，=（乎，在（0,+8）為減函數(shù).

故選：D.

8.已知過(guò)定點(diǎn)直線"-y+4-R=o在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則

直線的方程為（）

A.x-2y-l=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】C

【分析】由題意可知，k<0,求出直線依-y+4-k=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（（）,4-Z）,

再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直線方程.

【詳解】直線"7+44=0可變?yōu)椋ィüひ?）一），+4=0,所以過(guò)定點(diǎn)P（l,4）,又因?yàn)橹?/p>

線h-y+4-k=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知％<0,

令x=0,y=4—左,所以直線與N軸的交點(diǎn)為A（0,4-

試卷第7頁(yè)，共15頁(yè)

4

令y=O,X=1一：所以直線與X軸的交點(diǎn)為

k

=5+4=9

4

當(dāng)且僅當(dāng)』2時(shí)取等，所以此時(shí)直線為：2、+尸6=。.

故選：C.

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=(sinx+co2(siru-cosx),則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)的周期為萬(wàn)

B.若|/(占)|+|/(超)|=2,則%+々=容keZ

TTjr

c.7")在區(qū)間-71上是增函數(shù)

D.y=/(x)的對(duì)稱軸為》=彳+&兀，kwZ

【答案】AB

【分析】根據(jù)二倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】/(x)=(sinx+COSJC)(sinr-co&r)--(cos2x-sin2x)=-coslx,故周期

T~=7t,A選項(xiàng)正確；注意到|f(xL=1,于是由|/(西)|+|/(々)|=2可知，

|/(^)|=|/(x2)|=l,即|cos2xj=|cos2x2|=l,解得％=W，%=W，K，自eZ,則

玉+々="苧史，即不+々=?，&eZ,B選項(xiàng)正確；注意到了(一==

JTJT7T

故在區(qū)間一二，:上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令2x=br,keZ,即尤=一，ZEZ為對(duì)

44J2

稱軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.下列選項(xiàng)中正確的有().

A.隨機(jī)變量*~8(4W),則O(3X+1)=8

B.將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件4="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不相同"，B="至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，

則概率P(A忸)=、

C.口袋中有7個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球和1個(gè)黑球.從中任取兩個(gè)球，記其中含紅球的個(gè)數(shù)為

試卷第8頁(yè)，共15頁(yè)

7

隨機(jī)變量g.則占的數(shù)學(xué)期望七仔)=:

3

D.已知某種藥物對(duì)某種疾病的治愈率為現(xiàn)有3位患有該病的患者服用了這種藥物，

4

27

3位患者是否會(huì)被治愈是相互獨(dú)立的，則恰有1位患者被治愈的概率為二

64

【答案】AC

【分析】對(duì)于A,利用二項(xiàng)分布定義求解即可；對(duì)于B,代入條件概率公式即可；對(duì)于

C,寫出$的所有可能取值，列出分布列計(jì)算即可；對(duì)于D,代入〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中

恰好發(fā)生％次的概率公式即可.

【詳解】對(duì)于A,???隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布.?.D(X)=4x；x(l-；)].

貝|JD(3X+1)=9Z)(X)=8,故A正確；

對(duì)于B,根據(jù)條件概率的含義，P(A|B)其含義為在8發(fā)生的情況下，A發(fā)生的概率，

即在“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的情況下，“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率，

“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的情況數(shù)目為6x6-5x5=11,

“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”則只有一個(gè)6點(diǎn)，共C；x5=10種，

故P(A|B)=S，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,g的所有可能取值為0,1,2,

「k02-A

p/=k)=^一,

可得尸&=0)=1尸?=D=7尸(約2)=高7.

4的分布列

012

177

P

1515百

1777

￡(4)=0*石+】又不+2、石=1，故C正確；

對(duì)于D,某種藥物對(duì)某種疾病的治愈率為1,現(xiàn)有3位患有該病的患者服用了這種藥物，

3位患者是否會(huì)被治愈是相互獨(dú)立的，則恰有1位患者被治愈的概率為

C；x]x(l一1)2=白，故D錯(cuò)誤.

4464

故選：AC.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布、條件概率、相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公

試卷第9頁(yè)，共15頁(yè)

式、"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率等，知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大，仔細(xì)分析

每一個(gè)選項(xiàng)即可.

|1x1

11.已知x+y=i,y>o,XKO則的值可能是()

2|x|y+1

1c3〃5-7

A.-B.一C.-D.一

4444

【答案】BCD

【分析】％+y=l,y>0,xw。,有y=則x<l且xwO,分Ovxvi和x<0去掉絕對(duì)

值號(hào)，然后用重要不等式求出其最值，從而得到答案.

【詳角星】由x+y=l,y>(),xw。，得y=l-x>。，則x<l且xwO.

,」1-v1Xx+2-xx

當(dāng)Ovxvl時(shí)，-]-7+[一=一一T+--------------------1----------

2|x|y+l2x2-x4x2-x

=:+m+自+2后三號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)限二六即x=|時(shí)取等號(hào).

I,Hl-x2-x+x-x

當(dāng)x<0時(shí),-j-7H----------=---------1----------=-----------------1----------

2kly+1—2x2—x-4x2—x

=-工+=+二.當(dāng)且僅當(dāng)舊=二即％=一2時(shí)取等號(hào).

4-4x2-x4V-4x2-x4-4x2-x

故選：BCD.

12.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O,O',其高為2,"WC為圓。的內(nèi)接三角

形，且NBAC=6O,BC=3,P為圓O'上的動(dòng)點(diǎn)，貝U()

A.若平面A3C,則三棱錐尸-ABC外接球的表面積為16兀

B.若E4J.BC,則AB=4C

C.三棱錐P-ABC體積的最大值為更

2

D.點(diǎn)工到平面尸8c距離的最大值為我

2

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,取。。'的中點(diǎn)M,根據(jù)題意得到M為三棱錐P-ABC外接球的球心,

根據(jù)正弦定理和勾股定理求出球的半徑即可得解；

對(duì)于B,只能推出BC與P4在上底面內(nèi)的射影垂直，推不出A8=AC；

對(duì)于C,求出的最大值即可求出三棱錐P-ABC體積的最大值；

對(duì)于D,根據(jù)C選項(xiàng)中的結(jié)果以及等體積法可求出點(diǎn)A到平面P8C距離的最大值.

試卷第10頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】對(duì)于A,取。。'的中點(diǎn)M,易得MA=MB=MC=MP,則M為三棱錐P-ABC

外接球的球心，在AABC中，由正弦定理得2O'A=.，所以4=6，

sinDBAC—

2

又O'M=：OO'==1,所以=石『+1=2,所以三棱錐P-ABC外接球的表面積

為4兀"=16兀.故A正確；

對(duì)于B,過(guò)戶過(guò)PQ上平面A5C,垂足為Q,連AQ,

則PQL3C,又因?yàn)镻4L8C,PAQPQ=P,所以3C，平面P4Q,所以8CLAQ,

只有當(dāng)AQ經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)時(shí)，才有43=AC,故B不正確；

對(duì)于C,在ABC中，由余弦定理得8C?=A82+AC2_248SC-COS60「

=AB2+AC2-ABAC=(AB-AC)2+ABAC,

所以9=(4B-4C)2+ABMCW4B.4C,即A8-ACW9,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)，等號(hào)

成立，所以SAA8c=」AB-AC-sin604Lx9x^=述，

2224

所以三棱錐P-"C體積的最大值為k型巨x2=邁做C正確；

342

對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)4到平面PBC距離為九，則匕_碗=；〃6△改=1?、23=/?,

因?yàn)樨耙辉仭?匕，4乎，所以力4手，即點(diǎn)/到平面P8C距離的最大值為竽,

故D正確.

試卷第11頁(yè)，共15頁(yè)

故選：ACD

三、填空題

sina-2cosa

13.已知tano=2,則

3sina+5cosa

【答案】0

【分析】將所求式子分子分母同時(shí)除以cosa,變?yōu)橹缓衪ane的表達(dá)式，代入tana的

值求得最終的結(jié)果.

【詳解】將所求式子分子分母同時(shí)除以3a得黑|1ro.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查齊次方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

14.函數(shù)f(x)=8sx+sinx的圖象在點(diǎn)§，/($)處的切線方程為.

TT

【答案】x+y-1--=0

【分析】示出導(dǎo)函數(shù)，求得切線斜率后可得切線方程.

【詳解】由已知尸(x)=-sinx+cosx,八9=-1，又/(9=1，

TTTT

所以切線方程為y-l=-(x—萬(wàn))，即x+y-i-5=0.

故答案為：x+y—1—^=0.

%-y-4<0,

15.已知點(diǎn)22,。在不等式組｛，，/八表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)P(2,f)到直線

x+y-340

3x+4y+10=0距離的最大值為.

【答案】4

x-y-4<0,

【詳解】試題分析：解：先作出不等式組｛2/八

x+y-3Vo

表示的平面區(qū)域與x=2的直線如圖

由圖知點(diǎn)P(2,t)到直線3x+4y+10=0距離最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是A(2,1),最大值為

|3x2+4+10|…3■一，

■——-——1=4故填寫4.

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

試卷第12頁(yè)，共15頁(yè)

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖形求一線上的點(diǎn)到另一個(gè)線的最大距離，

求解此類題的關(guān)鍵是做出圖形，由圖形作出判斷求出點(diǎn)再代入公式求最值.本題易因?yàn)?/p>

理解失誤出錯(cuò)，如不理解P(2,t)即是直線x=2上的一個(gè)點(diǎn)

16.在AABC中，ZA=60。，b=l,5，詆=6,則AABC的外接圓半徑及的值為.

【答案】叵##(回

33

【分析】先由三角形的面積公式計(jì)算出c的值，然后利用余弦定理求出。的值，再利用

正弦定理可求出AMC的外接圓直徑，即可求解

【詳解】由三角形的面積公式可得0c=，8csinA=」xlxcx3^二石，可得c=4,

VABC222

由余弦定理得標(biāo)=加+°2—2歷cosA=『+42—2xlx4xg=13,則°=屈，

a_V13_r-2_2>/39

由正弦定理可知，AABC的外接圓直徑為高彳一酒-v君一刀一，

T

所以半徑為R=叵，

3

故答案為：—

3

四、解答題

17.計(jì)算求值：

2cosl0-2A^COS(-100)

⑴計(jì)算------r===——的值；

Vl-sinlO:

(2)己知a、夕均為銳角，sina=L，cos(a+4)=上叵，求sin夕的值.

714

【答案】⑴2&

。、39石

--

98

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式、二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果；

(2)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得cosa、sin(a+⑶的值，再利用兩角差的正

弦公式可求得sin"的值.

(1)

解2cosl0'-2百cos(-lOO)_2coslO-25/3coslOO_2COS10J-2A/3COS(90+10)

Jl-sin10°Vl-sin10Jl-sin10。

試卷第13頁(yè)，共15頁(yè)

4(』cosl0+立sin100|八八、

2cosl0+25/3sinl0(22J4cos(60-10)

Vl-sinlO>/l-2sin5cos5cos5-sin5

4cos50=_4cos50。&

\/2(cos45cos5-sin45cos5)5/2cos50

(2)

解：Qa、夕都為銳角，則0＜。+尸〈兀,

/.sin(a+6)=Jl-cos2(a+4)=

sin/?=sin[(a+>0)-a]=sin(a+/?)cosa-sinacos(a+/?)=^-x；x

18.某中學(xué)（含初高中6個(gè)年級(jí)）隨機(jī)選取了40名男生，將他們的身高作為樣本進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（□）求。的值及樣本中男生身高在［185,195］（單位:cm）的人數(shù);

（□）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，通過(guò)樣本估計(jì)該校全體男

生的平均身高;

（□）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校男生身高的85%分位數(shù).

【答案】(口)a=0.010,4；(□)171.5cm；(□)183cm.

【分析】（口）利用頻率分布直方圖能求出a的值，由此能求出身高在［185,195］的頻率

及人數(shù).

（D設(shè)樣本中男生身高的平均值為"利用頻率分布直方圖能估計(jì)該校全體男生的平

均身高.

（□）先判斷85%分位數(shù)位于哪一個(gè)區(qū)間，再根據(jù)頻率分布直方圖中百分位數(shù)的定義計(jì)

算即可.

試卷第14頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】(口)根據(jù)題意，

(O.(X)5+a+0.020+0.025+0.040)xl()=l.

解得a=0.010.

所以樣本中學(xué)生身高在口85,195］內(nèi)(單位:cm)的人數(shù)為

40x0.01x10=4

(□)設(shè)樣本中男生身高的平均值為最，則

x=150x0.05+160x0.2+170x0.4+180x0.25+190x0.1

=7.5+32+68+45+19=171.5.

估計(jì)該校男生的平均身高為171.5cm.

(□)由。=0.010,根據(jù)直方圖，

因?yàn)?0.005+0.020+0.040)xl0=0.65<0.85

(0.005+0.020+0.040+0.025)x10=0.9>0.85

所以樣本中的85%分位數(shù)落在［175,185)內(nèi)，

設(shè)85%分位數(shù)為x,則(*-175)x0.025=0.2,

解得x=183.

所以估計(jì)該校男生身高的85%分位數(shù)為183cm.

19.在長(zhǎng)方體0ABe中，Oq=a,OA=b,OC=c,M是8局的中點(diǎn)，N是CG的

中點(diǎn)，P是AA上一點(diǎn)，且AP=2PA，Q是OA反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OA=2Q。，以O(shè)

為原點(diǎn)，OA,OC,。。分別為x軸、y軸、z軸的正方形建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)求B,M,N,P,Q的坐標(biāo)；

(2)求QM的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)條件中所給的坐標(biāo)系和各條棱的長(zhǎng)度，寫出六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這是解決

立體幾何與空間向量問(wèn)題的基礎(chǔ).

(2)根據(jù)第一問(wèn)寫出的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)的距離公式，寫出運(yùn)算的結(jié)果，整理成最

簡(jiǎn)形式即可..

【詳解】⑴8伍,c,0),B0c,a),詞，尸(注0,引,

(2)=+C2=^\l9b2+4c2+a2

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題，這種問(wèn)題是為解決空間向

試卷第15頁(yè)，共15頁(yè)

量與立體幾何做準(zhǔn)備，是一個(gè)基礎(chǔ)題，注意數(shù)字運(yùn)算不要出錯(cuò).

20.（1）三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9,前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù).

（2）四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2,首末兩項(xiàng)的積為-8,求這四個(gè)數(shù).

【答案】（1）4,3,2；（2）-2,0,2,4.

【分析】（1）設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為”,a+d,根據(jù)已知條件列方程組，求得。和d

的值即可得這三個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差為2d>0）,根據(jù)已知條件

列方程組，求得4和d的值即可得這四個(gè)數(shù).

【詳解】（1）設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a-d,a,a+d,

a-d+a+a+d=9a=3

由題意可得：”解得:

a(a-d)=6(a+d),d=-\

所以這三個(gè)數(shù)依次為4,3,2.

(2)設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2J>0),

a-d+a+d=2[a=1[a=1

由題意可得<解得』或“一(舍),

(a-3d)(a+3d)=-8

故所求的四個(gè)數(shù)依次為-2,0,2,4.

21.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C耳，鳥分別為橢圓的左.右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,離心率

為立

3

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵己知點(diǎn)P在橢圓C上，且|歷|=4,求點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離.

【答案】⑴三+丫=1；

94

⑵辿

【分析】（1）由己知可得再由離心率求得C,結(jié)合隱含條件求得匕，則橢圓方程可

求；

（2）由題意定義結(jié)合已知求得|P6|=2,再由橢圓的第二定義可得點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距

離.

（1）

解：因?yàn)闄E圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,離心率為亞,

3

試卷第16頁(yè)，共15頁(yè)

2a=6

所以“C5/5，解得4=3,C=,

3

所以，b2=a2-c2=4,

所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+$=1；

94

(2)

解:由橢圓的定義得：|尸凡+|尸閭=2a=6,

因?yàn)閨P國(guó)=4,所以歸閭=2,

設(shè)點(diǎn)尸到右準(zhǔn)線的距離為d,

所以，根據(jù)橢圓的第二定義得：2=逝，解得：“=■!石.

d35

所以，點(diǎn)戶到右準(zhǔn)線的距離為域.

5

22.已知數(shù)列｛〃“｝和也｝滿足4=4，且對(duì)任意"eN"都有％+勿=1,乎

an一

(1)求數(shù)列｛4｝和｛。｝的通項(xiàng)公式;

女+包+幺+…+%＜皿1+”)＜色+a+8+…+4

(2)證明:bb

23%b,"btb24b?

【答案】"b/

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義求解即可.

(2)由(1)得:=；,分別構(gòu)造函數(shù)ln(l+x)-x和ln(l+x)-一匚，利用導(dǎo)數(shù)和對(duì)數(shù)函

bnn1+X

數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】(1)?.?對(duì)任意〃eN*都有4+仇=1,乎=占，

an—%

.1

,?41一片i+???

11,11,

—=—+i,即-------=1.

4用a?為“4，

，數(shù)列是首項(xiàng)為：，公差為1的等差數(shù)列.

?；%=b、,且4+4=1,

??ai=hi=2,

試卷第17頁(yè)，共15頁(yè)

—=2+(〃-1)=〃+1.

n+]""+1',n

所證不等式2?+色■+幺+...+%1<ln(l+〃)<%+&+&?+...+%,

w寺?2々4加b.h2b3bj