2022-2023學年廣東省深圳市光明區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學年廣東省深圳市光明區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知空間向量（λ，2，1），（2，λ，λ+1），∥，則實數(shù)λ＝（）A．0 B．±2 C．﹣2 D．22．（5分）已知兩條直線l1：3x+y﹣5＝0和l2：x﹣ay＝0相互垂直，則a＝（）A． B． C．﹣3 D．33．（5分）雙曲線C：的離心率為（）A． B． C．2 D．4．（5分）已知圓C1：x2+y2＝3與圓C2：（x+2）2+（y+2）2＝6，則圓C1與圓C2的位置關系為（）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含5．（5分）已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），若動點P滿足直線PA與直線PB的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（）A．1，x≠±2 B．1，x≠± C．y2＝1，x≠±2 D．y21，x≠±26．（5分）設點M為拋物線y2＝4x上的動點，點M在y軸上的投影為點N，點A（2，），則|MA|+|MN|的最小值為（）A．3 B．4 C． D．7．（5分）在三棱錐A﹣BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AB＝2，AC＝AD＝3，，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．（5分）若拋物線x2＝2py（p＞0）上存在不同的兩點關于直線yx+1對稱，則實數(shù)p的取值范圍是（）A．（0，3） B．（0，） C．（，+∞） D．（，+∞）二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線C上的動點，|F1F2|＝10，|PF1|﹣|PF2|＝6，點F1到雙曲線C一條漸近線的距離為d，則下列選項正確的有（）A．雙曲線C的實軸長為3 B．雙曲線C的離心率為 C．|PF2|的最小值為2 D．d＝4（多選）10．（5分）已知點P（x0，y0）和圓O：x2+y2＝4，則下列選項正確的有（）A．若點P在圓O內(nèi)，則直線x0x+y0y＝4與圓O相交 B．若點P在圓O上，則直線x0x+y0y＝4與圓O相切 C．若點P在圓O外，則直線x0x+y0y＝4與圓O相離 D．若直線AP與圓O相切，A為切點，則|PA|（多選）11．（5分）偉大的古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的π倍，這種方法已具有積分計算的雛形．已知橢圓C的面積為6π，離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P為橢圓C上的動點，則下列選項正確的有（）A．橢圓C的標準方程可以為1 B．△F1PF2的周長為10 C．|PF1|?|PF2|≤9 D．cos∠F1PF2（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，N為DD1的中點，，λ∈[0，1]，AM⊥平面α，下面說法正確的有（）A．若，D∈α，則平面α截正方體所得截面圖形是等腰梯形 B．若λ＝1，平面α截正方體所得的截面面積的最大值為3 C．若AM+MN的和最小，則 D．直線DC與平面α所成角的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角α＝．14．（5分）已知A，B，C，D四點共面且任意三點不共線，平面ABCD外一點O，滿足32，則λ＝．15．（5分）過點P（﹣2，3）作圓E：x2+y2﹣4x+2y＝0的兩條切線，切點分別為M，N則直線MN的方程為．16．（5分）已知O為坐標原點，直線l：y＝kx+t與橢圓C：1（a＞b＞0）交于A，B兩點，P為AB的中點，直線OP的斜率為k0．若kk0，則橢圓的離心率的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，AA1，D1C1的中點，連接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．（1）證明：D1C∥平面EMN；（2）證明：E，F(xiàn)，N，M四點共面．18．（12分）已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線：y2＝2px（p＞0）的焦點，拋物線C過點M（6，﹣6）．（1）求拋物線C的標準方程；（2）已知直線l與拋物線C交于A，B兩點，且OA⊥OB，證明：直線l過定點．19．（12分）已知直線l：（m+2）x﹣（2m+1）y﹣3＝0（m∈R），直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點．（1）證明：直線l過定點；（2）已知點P（﹣1，﹣2），當最小時，求實數(shù)m的值．20．（12分）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝AC＝BC＝BD＝2，CD＝2．（1）求AD的長度；（2）求平面ABC與平面ACD夾角的余弦值．21．（12分）已知過點P（0，﹣1）的直線l與圓E：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0交于A，B兩點，M為AB的中點，直線l與直線m：x+2y+4＝0相交于點N．（1）當|AB|＝2時，求直線l的方程；（2）證明：??定值．22．（12分）已知P是圓E：（x）2+y2＝24上的動點，F(xiàn)（，0）為定點，線段PF的垂直平分線交線段PE于點Q，點Q的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點M（4，2）的直線l交曲線C于A，B兩點，N為線段AB上一點，且|AM|?|BN|＝|AN|?|BM|，證明：點N在某定直線上，并求出該定直線的方程．

2022-2023學年廣東省深圳市光明區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知空間向量（λ，2，1），（2，λ，λ+1），∥，則實數(shù)λ＝（）A．0 B．±2 C．﹣2 D．2【解答】解：由題意可知，λ≠0，空間向量（λ，2，1），（2，λ，λ+1），∥，則，解得λ＝﹣2．故選：C．2．（5分）已知兩條直線l1：3x+y﹣5＝0和l2：x﹣ay＝0相互垂直，則a＝（）A． B． C．﹣3 D．3【解答】解：根據(jù)題意，直線l1：3x+y﹣5＝0，其斜率k1＝﹣3，直線l2：x﹣ay＝0，其斜率k2，若兩條直線l1：3x+y﹣5＝0和l2：x﹣ay＝0相互垂直，則有（﹣3）1，解可得a＝3，故選：D．3．（5分）雙曲線C：的離心率為（）A． B． C．2 D．【解答】解：由雙曲線C：，得，，可得e．故選：B．4．（5分）已知圓C1：x2+y2＝3與圓C2：（x+2）2+（y+2）2＝6，則圓C1與圓C2的位置關系為（）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含【解答】解：圓C1：x2+y2＝3，圓心為C1（0，0），半徑r1，圓C2：（x+2）2+（y+2）2＝6，圓心為C2（﹣2，﹣2），半徑r2，則，∵r2﹣r1＜|C1C2|＜r1+r2，∴圓C1與圓C2的位置關系為相交．故選：A．5．（5分）已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），若動點P滿足直線PA與直線PB的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（）A．1，x≠±2 B．1，x≠± C．y2＝1，x≠±2 D．y21，x≠±2【解答】解：設P（x，y），由題意可得?，整理可得：y2＝1，x≠±2，即P的軌跡方程為：y2＝1，x≠±2，故選：C．6．（5分）設點M為拋物線y2＝4x上的動點，點M在y軸上的投影為點N，點A（2，），則|MA|+|MN|的最小值為（）A．3 B．4 C． D．【解答】解：∵拋物線的方程為y2＝4x，∴拋物線的準線方程為x＝﹣1，焦點坐標為F（1，0），過M作y軸的垂線，垂足為N，延長MN交拋物線準線于點B，則|MA|+|MN|＝|AM|+|MB|﹣1＝|AM|+|MF|﹣1≥|AF|﹣1，當且僅當A、M、F三點共線時取等號，即|MA|+|MN|的最小值為3，故選：A．7．（5分）在三棱錐A﹣BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AB＝2，AC＝AD＝3，，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【解答】解：在三棱錐A﹣BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，AD所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，∵AB＝2，AC＝AD＝3，，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，3，0），D（0，0，3），E（1，0，），F(xiàn)（0，1，2），∴（1，0，），（﹣2，1，2），設異面直線AE與BF所成角為θ，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為：cosθ．故選：D．8．（5分）若拋物線x2＝2py（p＞0）上存在不同的兩點關于直線yx+1對稱，則實數(shù)p的取值范圍是（）A．（0，3） B．（0，） C．（，+∞） D．（，+∞）【解答】解：設拋物線x2＝2py（p＞0）上存在不同的兩點A、B關于直線yx+1對稱，設AB所在的直線方程為y＝2x+b，聯(lián)立，消y可得x2﹣4px﹣2pb＝0，則Δ＝16p2+8pb＞0，①設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝4p，y1+y2＝2（x1+x2）+2b＝8p+2b，又AB的中點在直線yx+1上，則，即b＝﹣5p+1，②將②代入①可得3p2﹣p＜0，即，故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線C上的動點，|F1F2|＝10，|PF1|﹣|PF2|＝6，點F1到雙曲線C一條漸近線的距離為d，則下列選項正確的有（）A．雙曲線C的實軸長為3 B．雙曲線C的離心率為 C．|PF2|的最小值為2 D．d＝4【解答】解：由題意可得，2c＝|F1F2|＝10，則c＝5，2a＝|PF1|﹣|PF2|＝6，則a＝3，∴雙曲線C的實軸長為6，故A錯誤；雙曲線C的離心率為，故B正確；由已知可得，點P在雙曲線的右支上，則|PF2|的最小值為c﹣a＝2，故C正確；點F1到雙曲線C一條漸近線的距離d＝b．故選：BCD．（多選）10．（5分）已知點P（x0，y0）和圓O：x2+y2＝4，則下列選項正確的有（）A．若點P在圓O內(nèi)，則直線x0x+y0y＝4與圓O相交 B．若點P在圓O上，則直線x0x+y0y＝4與圓O相切 C．若點P在圓O外，則直線x0x+y0y＝4與圓O相離 D．若直線AP與圓O相切，A為切點，則|PA|【解答】解：對于A，點P在圓O內(nèi)，則4，又點O到直線x0x+y0y＝4的距離dr，∴直線x0x+y0y＝4與圓O相離，故A錯誤；對于B，∵點P在圓O上，∴4，∵點P的坐標滿足x0x+y0y＝4，∴x0x+y0y＝4過點P，又點O（0，0）到直線x2+y2＝4的距離d2＝r，∴x0x+y0y＝4與圓O相切，綜上所述，若點P在圓O上，則圓O在點P處的切線方程為x0x+y0y＝4，故B正確；對于C，點P在圓O外，則4，又點O到直線x0x+y0y＝4的距離dr，∴直線x0x+y0y＝4與圓O相交，故C錯誤；若直線AP與圓O相切，|PA|＝|，故D正確．故選：BD．（多選）11．（5分）偉大的古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的π倍，這種方法已具有積分計算的雛形．已知橢圓C的面積為6π，離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P為橢圓C上的動點，則下列選項正確的有（）A．橢圓C的標準方程可以為1 B．△F1PF2的周長為10 C．|PF1|?|PF2|≤9 D．cos∠F1PF2【解答】解：由題意可得S＝abπ＝6π，∴ab＝6，又e，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，c，∴當焦點在x軸上時，橢圓C的標準方程為1，故A正確；△F1PF2的周長為2a+2c＝6+2，故B錯誤；∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|?|PF2|≤（）2＝9，故C正確；cos∠F1PF211，當且僅當，|PF1|＝|PF2|＝3時取等號，故D正確．故選：ACD．（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，N為DD1的中點，，λ∈[0，1]，AM⊥平面α，下面說法正確的有（）A．若，D∈α，則平面α截正方體所得截面圖形是等腰梯形 B．若λ＝1，平面α截正方體所得的截面面積的最大值為3 C．若AM+MN的和最小，則 D．直線DC與平面α所成角的最大值為【解答】解：以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，對于選項A，設平面α交棱A1D1于點E，設E（b，0，2），A（2，0，0），當時，點，因為AM⊥平面α，D∈平面α，E∈平面，所以AM⊥DE，即，得b＝1，所以E（1，0，2），所以點E為棱A1D1的中點，設平面α交棱A1B1于F，同理可知點F為棱A1B1的中點，即F（2，1，2），故，而，所以，所以EF∥DB且EF≠DB，由空間兩點間距離公式得，，由B（2，2，0），F(xiàn)（2，1，2），則．所以DE＝BF，所以四邊形BDEF是等腰梯形，故選項A正確；在正方體中，CC1⊥平面ABCD，因為BD?平面ABCD，所以CC1⊥BD，因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因為CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面ACC1，因為AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1，同理可證AC1⊥A1D，因為BD∩A1D＝D，所以AC1⊥平面A1BD，所以△A1BD是其中一個截面圖形，易知△A1BD是邊長為的等邊三角形，其面積為，設E，F(xiàn)，Q，N，G，H，分別為A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中點，易知六邊形EFQNGH是邊長為的正六邊形，其面積為，且平面EFQNGH∥平面A1BD，所以AC1⊥平面EFQNGH，所以六邊形EFQNGH也是其中一個截面圖形，易知，六邊形EFQNGH是最大截面，所以平面α截正方體所得的截面面積的最大值為，故選項B正確；對于選項C，將矩形ACC1A1與正方形CC1D1D延展到一個平面內(nèi)，如下圖所示，若AM+MN的和最小，則A、M、N三點共線，因為CC1∥DD1，所以，因為DN＝1，所以，所以，故，故選項C錯誤；對于選項D，A（2，0，0），B（2，2，0），設點M（0，2，a）（0≤a≤2），因為AM⊥平面α，則為平面α的一個法向量，且，設直線DC與平面α所成角為θ，因為0≤a≤2，當a＝0時，sinθ最大，最大值為，此時，故直線DC與平面α所成角的最大值為，故選項D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角α＝135°．【解答】解：直線l的方程為x+y＝2，即y＝﹣x+2，直線的斜率為﹣1＝tanα，α∈（0，π），則直線的傾斜角為135°，故答案為：135°．14．（5分）已知A，B，C，D四點共面且任意三點不共線，平面ABCD外一點O，滿足32，則λ＝﹣4．【解答】解：∵A，B，C，D四點共面且任意三點不共線，32，∴1＝3+2+λ，λ＝﹣4，故答案為：﹣4．15．（5分）過點P（﹣2，3）作圓E：x2+y2﹣4x+2y＝0的兩條切線，切點分別為M，N則直線MN的方程為4x﹣4y﹣7＝0．【解答】解：圓E的標準方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝5，設切點M（x1，y1），N（x2，y2），則切點所在的切線方程為：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1+1）（y+1）＝5，（x2﹣2）（x﹣2）+（y2+1）（y+1）＝5，因為點P在切線上，所以（x1﹣2）（﹣2﹣2）+（y1+1）（3+1）＝5，即﹣4（x1﹣2）+4（y1+1）＝5，﹣4（x2﹣2）+4（y2+1）＝5，所以M，N在直線﹣4（x﹣2）+4（y+1）＝5上，即MN的直線方程為4x﹣4y﹣7＝0，故答案為：4x﹣4y﹣7＝0．16．（5分）已知O為坐標原點，直線l：y＝kx+t與橢圓C：1（a＞b＞0）交于A，B兩點，P為AB的中點，直線OP的斜率為k0．若kk0，則橢圓的離心率的取值范圍為（，）．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），則k，x0，y0，所以k0，所以kk0，將A，B兩點坐標代入橢圓方程可得：，兩式作差可得：0，所以kk0，則，即，所以1﹣e2，即e2，所以e，所以橢圓的離心率的取值范圍為（，）．故答案為：（，）．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，AA1，D1C1的中點，連接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．（1）證明：D1C∥平面EMN；（2）證明：E，F(xiàn)，N，M四點共面．【解答】解：根據(jù)題意，設長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2a，DC＝2b，DD1＝2c，如圖建立空間直角坐標系：則D（0，0，0），A（2a，0，0），C（0，2b，0），B（2a，2b，0），D1（0，0，2c），A1（2a，0，2c），C1（0，2b，2c），B1（2a，2b，2c），則M（2a，b，0），N（a，2b，0），E（2a，0，c），F(xiàn)（0，b，2c）（1）證明：（0，2b，﹣2c），（0，﹣b，c），則有2，故D1C∥ME，則有D1C∥平面EMN；（2）證明：（﹣2a，b，c），（0，b，﹣c），（﹣a，b，﹣c），則有32，則向量、、共面，必有E，F(xiàn)，N，M四點共面．18．（12分）已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線：y2＝2px（p＞0）的焦點，拋物線C過點M（6，﹣6）．（1）求拋物線C的標準方程；（2）已知直線l與拋物線C交于A，B兩點，且OA⊥OB，證明：直線l過定點．【解答】解：（1）∵拋物線C過點M（6，﹣6），∴（﹣6）2＝2p×6，解得p＝3，∴拋物線C的標準方程為y2＝6x．（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線l的方程為my＝x﹣t，（t≠0），聯(lián)立，化為y2﹣6my﹣6t＝0，∴y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，∵OA⊥OB，∴?x1x2+y1y2y1y2＝﹣6t（1）＝0，t≠0，解得t＝6，∴直線l的方程為my＝x﹣6，∴直線l過定點（6，0）．19．（12分）已知直線l：（m+2）x﹣（2m+1）y﹣3＝0（m∈R），直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點．（1）證明：直線l過定點；（2）已知點P（﹣1，﹣2），當最小時，求實數(shù)m的值．【解答】（1）證明：已知直線l：（m+2）x﹣（2m+1）y﹣3＝0（m∈R），則（x﹣2y）m+2x﹣y﹣3＝0，由，解得，即直線l過定點（2，1）；（2）解：設直線l的方程為，a＞0，b＞0，則A（a，0），B（0，b），又直線l過定點（2，1），則，又點P（﹣1，﹣2），則（a+1，2）?（1，b+2）＝a+2b+5，當且僅當，即a＝2b，即a＝4，b＝2時取等號，即直線l的方程為x+2y﹣4＝0，則直線l過（4，0），即4（m+2）﹣3＝0，即．20．（12分）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝AC＝BC＝BD＝2，CD＝2．（1）求AD的長度；（2）求平面ABC與平面ACD夾角的余弦值．【解答】解：（1）以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（﹣1，，0），A（1，0，），C（2，0，0），所以（﹣2，，），（﹣1，0，），所以||．（2）設平面ACD的法向量為（x，y，z），則，即，令z＝1，則x，y＝3，所以（，3，1），易知平面ABC的一個法向量為（0，1，0），設平面ABC與平面ACD夾角為θ，則cosθ＝|cos，|，故平面ABC與平面ACD夾角的余弦值為．21．（12分）已知過點P（0，﹣1）的直線l與圓E：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0交于A，B兩點，M為AB的中點，直線l與直線m：x+2y+4＝0相交于點N．（1）當|AB|＝2時，求直線l的方程；（2）證明：??定值．【解答】解：（1）圓E：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0的圓心E（2，3），半徑r＝3，當直線l與