【八上】一次函數(shù)與正比例函數(shù)【九大題型】（含答案）

初中學(xué)習(xí)資料QQ群164307271關(guān)注微信公眾號(hào)：明悉數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)題型總結(jié)系列一次函數(shù)與正比例函數(shù)【七大題型】TOC\o"1-3"\h\u12740【題型1一次函數(shù)、正比例函數(shù)的識(shí)別】 123408【題型2利用一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念求值或取值范圍】 3742【題型3用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】 526565【題型4用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式】 73414【題型5一次函數(shù)解析式與三角形面積問題】 811848【題型6求實(shí)際問題中的一次函數(shù)表達(dá)式】 1211247【題型7與求函數(shù)表達(dá)式相關(guān)的探究性問題】 15【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念】一般地，若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系可以表示成（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b=0時(shí)（即）（k為常數(shù)，k0），稱y是x的正比例函數(shù)?！绢}型1一次函數(shù)、正比例函數(shù)的識(shí)別】【例1】（2022春?麻城市校級(jí)月考）下列函數(shù)：（1）y＝﹣2x；（2）y=?8x；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常數(shù)），其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式1-1】（2022?市北區(qū)期中）下列語句中，y與x是一次函數(shù)關(guān)系的有（）個(gè)（1）汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛路程y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的關(guān)系（2）圓的面積y（厘米2）與它的半徑x（厘米）之間的關(guān)系；（3）一棵樹現(xiàn)在高50厘米，每個(gè)月長高2厘米，x月后這棵樹的高度為y厘米，y與x的關(guān)系；（4）某種大米的單價(jià)是2.2元/千克，當(dāng)購買x千克大米時(shí)，花費(fèi)y元，y與x的關(guān)系．A．1 B．4 C．3 D．2【變式1-2】（2015春?盱眙縣校級(jí)期末）下列問題中，是正比例函數(shù)的關(guān)系的是（）A．矩形面積一定，長與寬的關(guān)系 B．正方形面積和邊長的關(guān)系 C．三角形面積一定，底邊和底邊上的高的關(guān)系 D．勻速運(yùn)動(dòng)中，速度固定時(shí)，路程和時(shí)間的關(guān)系【變式1-3】（2022春?北京期末）如圖，有一個(gè)裝水的容器，容器內(nèi)的水面高度是10cm，水面面積是100cm2．現(xiàn)向容器內(nèi)注水，并同時(shí)開始計(jì)時(shí)．在注水過程中，水面高度以每秒0.2cm的速度勻速增加．容器注滿水之前，容器內(nèi)水面的高度h，注水量V隨對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間t的變化而變化，則h與t，V與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系【題型2利用一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念求值或取值范圍】【例2】（2022?平川區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)m，n為何值時(shí)，y＝（m﹣1）xm2（1）是一次函數(shù)；（2）是正比例函數(shù)．【變式2-1】（2022春?新?lián)釁^(qū)期末）已知函數(shù)y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函數(shù)，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意實(shí)數(shù)【變式2-2】（2021春?蘿北縣期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則常數(shù)m＝．【變式2-3】（2022?金牛區(qū)校級(jí)期中）當(dāng)m，n為何值時(shí)，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．（1）是一次函數(shù)；（2）是正比例函數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)2正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定】確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法?！绢}型3用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】【例3】（2021春?雄縣期末）已知y是z的一次函數(shù)，z是x的正比例函數(shù)，問：（1）y是x的一次函數(shù)嗎？（2）若當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣2；當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝6．則當(dāng)x＝1時(shí)，y的值是什么？【變式3-1】（2022春?柳州期末）已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3）和B（2，5）．求：（1）這個(gè)一次函數(shù)的解析式．（2）當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y的值．【變式3-2】（2022?廣陵區(qū)校級(jí)期末）已知y﹣1與x+2成正比例，且x＝﹣1時(shí)，y＝3．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m﹣1，m+1），求m的值．【變式3-3】（2022?宜興市校級(jí)月考）已知y＝y(tǒng)1+y2，其中y1與x成正比例，y2與x﹣2成正比例．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣2．求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出該函數(shù)的圖象．【題型4用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式】【例4】（2022?嘉定區(qū)期末）正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣4）、（a，4），求這個(gè)函數(shù)的解析式和a的值．【變式4-1】（2022?泰興市期末）已知一個(gè)函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，并且經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，94【變式4-2】（2022春?衡陽縣期中）已知y是x的正比例函數(shù)，且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，6）．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x＝﹣6時(shí)，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y=2【變式4-3】（2022?黃浦區(qū)期中）若正比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)到y(tǒng)軸與到x軸距離之比是3：1，則此函數(shù)的解析式為．【題型5一次函數(shù)解析式與三角形面積問題】【例5】（2022春?江夏區(qū)校級(jí)月考）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交x軸于點(diǎn)A（4，0），交y軸于點(diǎn)B（0，2）．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）若在第一象限有一點(diǎn)C（2，m），且△ACB的面積為4，求m的值．【變式5-1】（2022春?鞍山期末）如圖，一次函數(shù)y＝x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M（1，m）是直線AB上一點(diǎn)，直線MC交x軸于點(diǎn)C（52（1）求直線MC的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，MP，若△ABP的面積是△MPC面積的2倍，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【變式5-2】（2022春?鳳慶縣期末）如圖，直線AB過點(diǎn)A（﹣1，5），P（2，a），B（4，﹣5）．（1）求直線AB的函數(shù)解析式和a的值；（2）求△AOP的面積．【變式5-3】（2022?肅州區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．（1）求直線EF的關(guān)系式；（2）求△OEF的面積；（3）若點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OPA的面積為12，并說明理由．【題型6求實(shí)際問題中的一次函數(shù)表達(dá)式】【例6】（2022?東方校級(jí)期末）為了保護(hù)學(xué)生的視力，課桌的高度）ycm與椅子的高度xcm（不含靠背）都是按y是x的一次函數(shù)關(guān)系配套設(shè)計(jì)的，如表列出了兩套課桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm40.038.0課桌高度ycm75.071.8（1）請(qǐng)確定y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高79.8cm的課桌，它們是否配套？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．【變式6-1】（2022?嘉定區(qū)二模）某種型號(hào)的家用車在高速公路上勻速行駛時(shí)，測(cè)得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：行駛路程x（千米）…100150…油箱內(nèi)剩余油量y（升）…5248…（1）如果該車的油箱內(nèi)剩余油量y（升）與行駛路程x（千米）之間是一次函數(shù)關(guān)系，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不需要寫出它的定義域）；（2）張老師租賃該型號(hào)的家用車也在該高速公路的相同路段以相同的速度勻速行駛300千米（不考慮小轎車載客的人數(shù)以及堵車等因素）．假如不在高速公路上的服務(wù)區(qū)加油，那么在上高速公路之前，張老師這輛車的油箱內(nèi)至少需要有多少升汽油？請(qǐng)根據(jù)題目中提供的相關(guān)信息簡要說明理由．【變式6-2】（2022?崇明縣二模）溫度通常有兩種表示方法：華氏度（單位：℉）與攝氏度（單位：℃），已知華氏度數(shù)y與攝氏度數(shù)x之間是一次函數(shù)關(guān)系，下表列出了部分華氏度與攝氏度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：攝氏度數(shù)x（℃）…0…35…100…華氏度數(shù)y（℉）…32…95…212…（1）選用表格中給出的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）有一種溫度計(jì)上有兩個(gè)刻度，即測(cè)量某一溫度時(shí)左邊是攝氏度，右邊是華氏度，那么在多少攝氏度時(shí)，溫度計(jì)上右邊華氏度的刻度正好比左邊攝氏度的刻度大56？【變式6-3】（2022?河南模擬）某種計(jì)時(shí)“香篆”在0：00時(shí)刻點(diǎn)燃，若“香篆”剩余的長度h（cm）與燃燒的時(shí)間x（h）之間是一次函數(shù)關(guān)系，h與x的一組對(duì)應(yīng)數(shù)值如表所示：燃燒的時(shí)間x（h）…3456…剩余的長度h（cm）…210200190180…（1）寫出“香篆”在0：00時(shí)刻點(diǎn)然后，其剩余的長度h（cm）與燃燒時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系式，并解釋函數(shù)表達(dá)式中x的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的實(shí)際意義；（2）通過計(jì)算說明當(dāng)“香篆”剩余的長度為125cm時(shí)的時(shí)刻．【題型7與求函數(shù)表達(dá)式相關(guān)的探究性問題】【例7】（2022春?成華區(qū)期末）將長為20cm，寬為10cm的長方形白紙，按如圖所示的方法粘合起來，粘合部分寬為2cm．（1）根據(jù)題意，將表格補(bǔ)充完整．白紙張數(shù)12345…紙條長度205674…（2）設(shè)x張白紙粘合后的總長度為ycm，則y與x之間的關(guān)系式是什么？請(qǐng)求出50張白紙粘合后的總長度；（3）若粘合后的總長度為2018cm，問需要多少張白紙？【變式7-1】（2022春?玉門市期末）如圖，自行車每節(jié)鏈條的長度為2.5cm，交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm．（1）觀察圖形，填寫下表：鏈條的節(jié)數(shù)/節(jié)234…鏈條的長度/cm…（2）如果x節(jié)鏈條的長度為y，那么y與x之間的關(guān)系式是什么？（3）如果一輛某種型號(hào)自行車的鏈條（安裝前）由60節(jié)這樣的鏈條組成，那么這輛自行車上的鏈條（安裝后）總長度是多少？【變式7-2】（2022蚌山區(qū)校級(jí)月考）用大小相同的黑白兩種顏色的菱形紙片按照黑色紙片逐漸增加1的規(guī)律拼成如圖圖案．（1）第4個(gè)圖案中白色紙片的個(gè)數(shù)是；（2）如果第n（n為正整數(shù)）個(gè)圖案中有y個(gè)白色紙片，寫出y與n的函數(shù)關(guān)系式．【變式7-3】（2022春?巴中期末）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y=x2+12相交于點(diǎn)P，直線l1與y軸交于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B1處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A1處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B2處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A2處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)…照此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C依次經(jīng)過點(diǎn)B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……則A．22021 B．22022 C．2022 D．4044答案版【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念】一般地，若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系可以表示成（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b=0時(shí)（即）（k為常數(shù)，k0），稱y是x的正比例函數(shù)?！绢}型1一次函數(shù)、正比例函數(shù)的識(shí)別】【例1】（2022春?麻城市校級(jí)月考）下列函數(shù)：（1）y＝﹣2x；（2）y=?8x；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）是一次函數(shù)，判斷即可．【解答】解：下列函數(shù)：（1）y＝﹣2x；（2）y=?8x；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常數(shù)），其中一次函數(shù)的是：（1）y＝﹣2x；（4）y＝﹣共有2個(gè)，故選：C．【變式1-1】（2022?市北區(qū)期中）下列語句中，y與x是一次函數(shù)關(guān)系的有（）個(gè)（1）汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛路程y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的關(guān)系（2）圓的面積y（厘米2）與它的半徑x（厘米）之間的關(guān)系；（3）一棵樹現(xiàn)在高50厘米，每個(gè)月長高2厘米，x月后這棵樹的高度為y厘米，y與x的關(guān)系；（4）某種大米的單價(jià)是2.2元/千克，當(dāng)購買x千克大米時(shí)，花費(fèi)y元，y與x的關(guān)系．A．1 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛路程y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的關(guān)系，是一次函數(shù)；圓的面積y（厘米2）與它的半徑x（厘米）之間的關(guān)系，不是一次函數(shù)；一棵樹現(xiàn)在高50厘米，每個(gè)月長高2厘米，y與x的關(guān)系，是一次函數(shù)；某種大米的單價(jià)是2.2元/千克，當(dāng)購買x千克大米時(shí)，花費(fèi)y元，y與x的關(guān)系，是一次函數(shù)，所以共3個(gè)一次函數(shù)，故選：C．【變式1-2】（2015春?盱眙縣校級(jí)期末）下列問題中，是正比例函數(shù)的關(guān)系的是（）A．矩形面積一定，長與寬的關(guān)系 B．正方形面積和邊長的關(guān)系 C．三角形面積一定，底邊和底邊上的高的關(guān)系 D．勻速運(yùn)動(dòng)中，速度固定時(shí)，路程和時(shí)間的關(guān)系【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的長和寬成反比例，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵S＝a2，∴正方形面積和邊長是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵S=12D、∵S＝vt，∴速度固定時(shí)，路程和時(shí)間是正比例關(guān)系，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【變式1-3】（2022春?北京期末）如圖，有一個(gè)裝水的容器，容器內(nèi)的水面高度是10cm，水面面積是100cm2．現(xiàn)向容器內(nèi)注水，并同時(shí)開始計(jì)時(shí)．在注水過程中，水面高度以每秒0.2cm的速度勻速增加．容器注滿水之前，容器內(nèi)水面的高度h，注水量V隨對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間t的變化而變化，則h與t，V與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系【分析】根據(jù)題意可得容器注滿水之前，容器內(nèi)的水面高度與對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而判斷出相應(yīng)函數(shù)類型；根據(jù)注水量＝水面面積×水面上升的高度，即可得到V與t滿足的函數(shù)關(guān)系．【解答】解：設(shè)容器內(nèi)的水面高度為h，注水時(shí)間為t，根據(jù)題意得：h＝0.2t+10，∴容器注滿水之前，容器內(nèi)的水面高度與對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系．V＝100×0.2t＝20t，∴注水量V與對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間t滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系．故選：D．【題型2利用一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念求值或取值范圍】【例2】（2022?平川區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)m，n為何值時(shí)，y＝（m﹣1）xm2（1）是一次函數(shù)；（2）是正比例函數(shù)．【分析】（1）根據(jù)形如y＝kx+b（k≠0，k是常數(shù)）是一次函數(shù)可得；（2）根據(jù)形如y＝kx+b（k≠0，k是常數(shù)，b＝0）是正比例函數(shù)可得．【解答】解：（1）當(dāng)m2＝1且m﹣1≠0時(shí)，y＝（m﹣1）xm2即：m＝﹣1．答：當(dāng)m＝﹣1時(shí)，y＝（m﹣1）xm2（2）當(dāng)m2＝1且m﹣1≠0，且n＝0時(shí)，y＝（m﹣1）xm2即：m＝﹣1且n＝0時(shí)，y＝（m﹣1）xm2【變式2-1】（2022春?新?lián)釁^(qū)期末）已知函數(shù)y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函數(shù)，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意實(shí)數(shù)【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義：形如y＝kx+b（k，b為常數(shù)且k≠0），可得2﹣|m|＝1且m+1≠0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：2﹣|m|＝1且m+1≠0，∴m＝±1且m≠﹣1，∴m＝1，故選：A．【變式2-2】（2021春?蘿北縣期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則常數(shù)m＝2．【分析】依據(jù)正比例函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：∵y＝（m+2）x+m2﹣4是關(guān)于x的正比例函數(shù)，∴m+2≠0，m2﹣4＝0，解得：m＝2．故答案為：2．【變式2-3】（2022?金牛區(qū)校級(jí)期中）當(dāng)m，n為何值時(shí)，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．（1）是一次函數(shù)；（2）是正比例函數(shù)．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義列出絕對(duì)值方程和不等式，然后求解即可；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的是特殊的一次函數(shù)解答．【解答】解：（1）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，∵（m﹣3）≠0，∴m≠3，所以，m＝﹣3時(shí)是一次函數(shù)；（2）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，∵（m﹣3）≠0，n﹣2＝0，∴m≠3，n＝2，所以，m＝﹣3，n＝2時(shí)是正比例函數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)2正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定】確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法?！绢}型3用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】【例3】（2021春?雄縣期末）已知y是z的一次函數(shù)，z是x的正比例函數(shù)，問：（1）y是x的一次函數(shù)嗎？（2）若當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣2；當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝6．則當(dāng)x＝1時(shí)，y的值是什么？【分析】（1）由一次函數(shù)、正比例函數(shù)解析式可以求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式作出判斷；（2）把相應(yīng)的x、y的值代入（1）中的函數(shù)關(guān)系式，列出關(guān)于km、b的方程組，通過解方程組可以求得它們的值；然后把x＝1代入解析式，即可求得相應(yīng)的y值．【解答】解：（1）依題意，可設(shè)y＝kz+b、z＝mx（k≠0，m≠0）．則y＝kmx+b，所以y是x的一次函數(shù)；（2）由題意，得?2=5km+b6=?3km+b解得km=?1b=3所以，y＝﹣x+3．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+3＝2．即y＝2．【變式3-1】（2022春?柳州期末）已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3）和B（2，5）．求：（1）這個(gè)一次函數(shù)的解析式．（2）當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y的值．【分析】（1）直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過A（1，3）和B（2，5）兩點(diǎn)，代入可求出函數(shù)關(guān)系式；（2）把x＝﹣3代入（1）中的函數(shù)解析式，即可求得相應(yīng)的y值．【解答】解：（1）設(shè)該直線解析式為y＝kx+b（k≠0）．則k+b=32k+b=5解得k=2b=1故該一次函數(shù)解析式為：y＝2x+1；（2）把x＝﹣3代入（1）中的函數(shù)解析y＝2x+1，得y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．即：y的值為﹣5．【變式3-2】（2022?廣陵區(qū)校級(jí)期末）已知y﹣1與x+2成正比例，且x＝﹣1時(shí)，y＝3．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m﹣1，m+1），求m的值．【分析】（1）根據(jù)y﹣1與x+2成正比例，設(shè)y﹣1＝k（x+2），把x與y的值代入求出k的值，即可確定出關(guān)系式；（2）把點(diǎn)（m﹣1，m+1）代入一次函數(shù)解析式求出m的值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意：設(shè)y﹣1＝k（x+2），把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2），解得：k＝2．則y與x函數(shù)關(guān)系式為y＝2（x+2）+1＝2x+5；（2）把點(diǎn)（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5解得m＝﹣2．【變式3-3】（2022?宜興市校級(jí)月考）已知y＝y(tǒng)1+y2，其中y1與x成正比例，y2與x﹣2成正比例．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣2．求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出該函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)題意分別設(shè)出y1，y2，代入y＝y(tǒng)1+y2，表示出y與x的解析式，將已知兩對(duì)值代入求出k與b的值，確定出解析式．【解答】解：根據(jù)題意設(shè)y1＝k1x，y2＝k2（x﹣2），即y＝y(tǒng)1+y2＝k1x+k2（x﹣2），將x＝﹣1時(shí)，y＝2；x＝3時(shí)，y＝﹣2分別代入得：?k解得：k1=?12，k2則y=?12x?12（即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+1；畫出該函數(shù)的圖象為【題型4用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式】【例4】（2022?嘉定區(qū)期末）正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣4）、（a，4），求這個(gè)函數(shù)的解析式和a的值．【分析】設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），再把點(diǎn)（2，﹣4）代入即可求出k的值，進(jìn)而得出正比例函數(shù)的解析式，把點(diǎn)（a，4）代入正比例函數(shù)的解析式，求出a的值即可．【解答】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0）∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣4）∴﹣4＝2×k，即k＝﹣2∴正比例函數(shù)解析式為y＝﹣2x∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（a，4）∴4＝﹣2×a，即a＝﹣2．【變式4-1】（2022?泰興市期末）已知一個(gè)函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，并且經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，94【分析】由于一個(gè)函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故函數(shù)為正比例函數(shù)，設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx，將點(diǎn)（﹣3，94【解答】解：設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx，將點(diǎn)（﹣3，94﹣3k=9解得，k=?3則函數(shù)解析式為y=?34【變式4-2】（2022春?衡陽縣期中）已知y是x的正比例函數(shù)，且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，6）．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x＝﹣6時(shí)，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y=2【分析】（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可得解；（2）把x＝﹣6代入解析式解答即可；（3）把y=2【解答】解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，6），∴﹣3k＝6，解得k＝﹣2，所以，此函數(shù)的關(guān)系式是y＝﹣2x；（2）把x＝﹣6代入解析式可得：y＝12；（3）把y=23代入解析式可得：x【變式4-3】（2022?黃浦區(qū)期中）若正比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)到y(tǒng)軸與到x軸距離之比是3：1，則此函數(shù)的解析式為y=±13x【分析】設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，根據(jù)題意，正比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（3a，a）或（3a，﹣a），然后把它們分別代入y＝kx可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的k的值，從而可確定正比例函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，∵正比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)到y(tǒng)軸與到x軸距離之比是3：1，∴正比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（3a，a）或（3a，﹣a），∴k?3a＝a或k?3a＝﹣a∴k=13或∴正比例函數(shù)解析式為y=13x或y=?故答案為y=±13【題型5一次函數(shù)解析式與三角形面積問題】【例5】（2022春?江夏區(qū)校級(jí)月考）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交x軸于點(diǎn)A（4，0），交y軸于點(diǎn)B（0，2）．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）若在第一象限有一點(diǎn)C（2，m），且△ACB的面積為4，求m的值．【分析】（1）把A與B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出解析式；（2）把x＝2代入一次函數(shù)解析式求出y的值，根據(jù)三角形面積公式表示出三角形ABC面積，由已知面積求出m的值即可．【解答】解：（1）把A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：4k+b=0b=2解得：k=?1則一次函數(shù)解析式為y=?12（2）把x＝2代入一次函數(shù)解析式得：y＝﹣1+2＝1，∵S△ABC＝4，∴12×4×|m﹣1|＝4，即|解得：m＝3或m＝﹣1（舍去），則m的值為3．【變式5-1】（2022春?鞍山期末）如圖，一次函數(shù)y＝x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M（1，m）是直線AB上一點(diǎn)，直線MC交x軸于點(diǎn)C（52（1）求直線MC的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，MP，若△ABP的面積是△MPC面積的2倍，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求出答案；（2）設(shè)P（a，0），得出AP＝a+2，PC=52【解答】解：（1）∵點(diǎn)M（1，m）是直線AB上一點(diǎn)，∴1+2＝m，∴m＝3，∴M（1，3），設(shè)直線MC的解析式為y＝kx+b，∴52解得k=?2b=5∴直線MC的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+5；（2）設(shè)P（a，0），∵一次函數(shù)y＝x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，2），∴AP＝a+2，PC=52∴S△ABP=12AP?OB=12×（a+2）×2＝a+2，S△MPC=∵△ABP的面積是△MPC面積的2倍，∴a+2＝2×（154?解得a=11∴P（118【變式5-2】（2022春?鳳慶縣期末）如圖，直線AB過點(diǎn)A（﹣1，5），P（2，a），B（4，﹣5）．（1）求直線AB的函數(shù)解析式和a的值；（2）求△AOP的面積．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a的值；（2）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)D，連接OA，OP，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式及S△AOP＝S△AOD+S△POD可求出△AOP的面積．【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），將A（﹣1，5），B（4，﹣5）代入y＝kx+b，得：?k+b=54k+b=?5解得：k=?2b=3∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+3．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣2x+3＝﹣1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1），即a的值為﹣1．（2）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)D，連接OA，OP，如圖所示．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2x+3＝3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．∴S△AOP＝S△AOD+S△POD=12OD?|xA|+12OD?|xP|=1【變式5-3】（2022?肅州區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．（1）求直線EF的關(guān)系式；（2）求△OEF的面積；（3）若點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OPA的面積為12，并說明理由．【分析】（1）把E（﹣8，0）代入直線y＝kx+6即可求出k的值，寫出直線EF的關(guān)系式；（2）求得F的坐標(biāo)，根據(jù)直角三角形面積公式可得結(jié)論；（3）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0），求出OA，根據(jù)點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，得出△OPA的高是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，得出面積S=12×6×y＝12，分別求出x和y【解答】解；（1）∵直線y＝kx+6過點(diǎn)E（﹣8，0），∴0＝﹣8k+6，k=3∴直線EF的關(guān)系式：y=34（2）∵F（0，6），即OF＝6，∵OE＝8，∴△OEF的面積=12OE?OF（3）過P作PG⊥OA于G，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0），∴OA＝6，∵點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴△OPA的面積S=12×∴y＝4，∴P（?8【題型6求實(shí)際問題中的一次函數(shù)表達(dá)式】【例6】（2022?東方校級(jí)期末）為了保護(hù)學(xué)生的視力，課桌的高度）ycm與椅子的高度xcm（不含靠背）都是按y是x的一次函數(shù)關(guān)系配套設(shè)計(jì)的，如表列出了兩套課桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm40.038.0課桌高度ycm75.071.8（1）請(qǐng)確定y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高79.8cm的課桌，它們是否配套？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）將x＝42.0代入（1）中的函數(shù)解析式，然后與79.8作比較，即可解答本題．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，75=40k+b71.8=38k+b，得k=1.6即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝1.6x+11；（2）現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高79.8cm的課桌，它們不配套，理由：當(dāng)x＝42.0時(shí)，y＝1.6×42.0+11＝78.2，∵78.2≠79.8，∴現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高79.8cm的課桌，它們不配套．【變式6-1】（2022?嘉定區(qū)二模）某種型號(hào)的家用車在高速公路上勻速行駛時(shí)，測(cè)得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：行駛路程x（千米）…100150…油箱內(nèi)剩余油量y（升）…5248…（1）如果該車的油箱內(nèi)剩余油量y（升）與行駛路程x（千米）之間是一次函數(shù)關(guān)系，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不需要寫出它的定義域）；（2）張老師租賃該型號(hào)的家用車也在該高速公路的相同路段以相同的速度勻速行駛300千米（不考慮小轎車載客的人數(shù)以及堵車等因素）．假如不在高速公路上的服務(wù)區(qū)加油，那么在上高速公路之前，張老師這輛車的油箱內(nèi)至少需要有多少升汽油？請(qǐng)根據(jù)題目中提供的相關(guān)信息簡要說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意可以設(shè)出y與x的函數(shù)解析式，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)即可求得相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以求得每千米耗油量，從而可以求得300千米的耗油量，從而可以解答本題．【解答】解：（1）該車的油箱內(nèi)剩余油量y（升）與行駛路程x（千米）之間的函數(shù)解析式是y＝kx+b，100k+b=52150k+b=48解得，k=?2即y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=?2（2）張老師這輛車的油箱內(nèi)至少需要有24升汽油，理由：由題意可得，每千米消耗汽油：4÷（150﹣100）＝4÷50＝0.08升，則行駛300千米需要消耗的汽油為：300×0.08＝24（升），即張老師這輛車的油箱內(nèi)至少需要有24升汽油．【變式6-2】（2022?崇明縣二模）溫度通常有兩種表示方法：華氏度（單位：℉）與攝氏度（單位：℃），已知華氏度數(shù)y與攝氏度數(shù)x之間是一次函數(shù)關(guān)系，下表列出了部分華氏度與攝氏度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：攝氏度數(shù)x（℃）…0…35…100…華氏度數(shù)y（℉）…32…95…212…（1）選用表格中給出的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）有一種溫度計(jì)上有兩個(gè)刻度，即測(cè)量某一溫度時(shí)左邊是攝氏度，右邊是華氏度，那么在多少攝氏度時(shí)，溫度計(jì)上右邊華氏度的刻度正好比左邊攝氏度的刻度大56？【分析】（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，由待定系數(shù)法求出其解即可；（2）根據(jù)題意列出方程求出其解即可．【解答】（1）解：設(shè)y＝kx+b（k≠0）把x＝0，y＝32；x＝35，y＝95代入y＝kx+b，得b=3235k+b=95解得k=∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=（2）由題意得：95x+32=x+56解得∴在30攝氏度時(shí)，溫度計(jì)右邊華氏度的刻度正好比左邊攝氏度的刻度大56．【變式6-3】（2022?河南模擬）某種計(jì)時(shí)“香篆”在0：00時(shí)刻點(diǎn)燃，若“香篆”剩余的長度h（cm）與燃燒的時(shí)間x（h）之間是一次函數(shù)關(guān)系，h與x的一組對(duì)應(yīng)數(shù)值如表所示：燃燒的時(shí)間x（h）…3456…剩余的長度h（cm）…210200190180…（1）寫出“香篆”在0：00時(shí)刻點(diǎn)然后，其剩余的長度h（cm）與燃燒時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系式，并解釋函數(shù)表達(dá)式中x的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的實(shí)際意義；（2）通過計(jì)算說明當(dāng)“香篆”剩余的長度為125cm時(shí)的時(shí)刻．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式解答即可；（2）把h＝125代入解析式解答即可．【解答】解：（1）∵“香篆”在0：00時(shí)刻點(diǎn)然后，其剩余的長度h（cm）與燃燒時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系式是一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)的解析式為：h＝kx+b，∵當(dāng)x＝3時(shí)，h＝210，當(dāng)x＝4時(shí)，h＝200，可得：3k+b=2104k+b=200解得：k=?10b=240所以解析式為：h＝﹣10x+240，x的系數(shù)表示“香篆”每小時(shí)燃燒10cm，常數(shù)項(xiàng)表示“香篆”未點(diǎn)燃之前的長度為240cm；（2）當(dāng)“香篆”剩余125cm時(shí)，可知h＝125，代入解析式得：125＝﹣10x+240，解得：x＝11.5，所以“香篆”在0：00點(diǎn)燃后，燃燒了11.5小時(shí)后的時(shí)刻為11點(diǎn)30分．【題型7與求函數(shù)表達(dá)式相關(guān)的探究性問題】【例7】（2022春?成華區(qū)期末）將長為20cm，寬為10cm的長方形白紙，按如圖所示的方法粘合起來，粘合部分寬為2cm．（1）根據(jù)題意，將表格補(bǔ)充完整．白紙張數(shù)12345…紙條長度2038567492…（2）設(shè)x張白紙粘合后的總長度為ycm，則y與x之間的關(guān)系式是什么？請(qǐng)求出50張白紙粘合后的總長度；（3）若粘合后的總長度為2018cm，問需要多少張白紙？【分析】（1）根據(jù)圖形可知每增加一張白紙，長度就增加18cm可求空格；（2）x張白紙粘合起來時(shí)，紙條長度y（cm）在20cm的基礎(chǔ)上增加了（x﹣1）個(gè)18cm的長度，依此可得y與x的關(guān)系式；（3）把y＝2018代入（2）的結(jié)論，列方程求得x的值即可．【解答】解：（1）根據(jù)圖形可知每增加一張白紙，長度就增加18cm，20+18＝38；74+18＝92．故答案為：38；92；（2）根據(jù)題意和所給圖形可得出：y＝20+（20﹣2）（x﹣1）＝18x+2，令x＝50，則y＝18×50+2＝902（cm）；（3）令y＝2018，則2018＝18x+2，解得x＝112，∴需要112張白紙．【變式7-1】（2022春?玉門市期末）如圖，自行車每節(jié)鏈條的長度為2.5cm，交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm．（1）觀察圖形，填寫下表：鏈條的節(jié)數(shù)/節(jié)234…鏈條的長度/cm4.25.97.6…（2）如果x節(jié)鏈條的長度為y，那么y與x之間的關(guān)系式是什么？（3）如果一輛某種型