內(nèi)蒙古錫林郭勒盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題（教師版）

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.考生答卷前，務(wù)必將自己的姓名?座位號(hào)寫在答題卡上.將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】全集，集合，則，而，所以.故選：A2.復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（）A.6 B. C. D.7【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法，結(jié)合實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的定義求解即得.【詳解】復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，則，由為實(shí)數(shù)，得，解得，又，顯然，由為純虛數(shù)，得，解得，所以.故選：C3.為了鼓勵(lì)學(xué)生積極鍛煉身體，強(qiáng)健體魄，某學(xué)校決定每學(xué)期對(duì)體育成績(jī)?cè)谀昙?jí)前100名的學(xué)生給予專項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì).已知該校高三年級(jí)共有600名學(xué)生，如圖是該年級(jí)學(xué)生本學(xué)期體育測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖.據(jù)此估計(jì)，該校高三年級(jí)學(xué)生體育成績(jī)的中位數(shù)為（）A.70 B.70.5 C.71.25 D.72【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合頻率分布直方圖的中位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由給定的頻率分布直方圖，可得前2個(gè)矩形的面積為，前3個(gè)小矩形的面積為，所以學(xué)生體育成績(jī)的中位數(shù)位于之間，設(shè)學(xué)生體育成績(jī)的總位數(shù)為，可得分.故選：C.4.若，滿足約束條件，則的最大值為（）A.4 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)得到答案.【詳解】由約束條件作出可行域如下圖：由圖可知，，由，可得，由圖可得當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，所以故選：A5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可排除AC，根據(jù)時(shí)可排除D.【詳解】，所以為奇函數(shù)，此時(shí)可排除AC,由于當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)可排除D，故選：B6.若，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將指數(shù)化為對(duì)數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t，可知，且，可知.故選：C.7.已知圓錐PO的母線長(zhǎng)為2，O為底面的圓心，其側(cè)面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓錐側(cè)面積公式求出底面圓半徑，進(jìn)而求出高即可計(jì)算得解.【詳解】設(shè)圓錐PO的底面圓半徑為，由母線長(zhǎng)為2，側(cè)面積等于，得，解得，因此圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選：C8.如圖，已知，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離分別為，，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三垂線定理，即可結(jié)合全等和勾股定理求解.【詳解】由于平面,平面,故,且，,因此,故，又所以,平面，故平面，平面，故,同理可得,又，因此四邊形為正方形，所以,故選：B9.已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出，再利用線段和差關(guān)系建立不等式求解即得.【詳解】點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，令半焦距為c，由及，得，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)取等號(hào)，因此，即，又，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A10.在三棱錐中，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為和所成角，結(jié)合余弦定理求出的余值即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，畫出三棱錐，分別作出的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，，所得圖形如下圖：根據(jù)中位線的性質(zhì)可得：，，且，，所以異面直線與所成角即為和所成銳角，由于，，所以在等邊中，，同理在等邊中，，故，所以為等邊三角形，故，所以在中，，，，故由余弦定理可得：，由于異面直線的夾角范圍為，所以異面直線與所成角為的補(bǔ)角，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：B11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.C.函數(shù)為奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換在，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)（，，）的部分圖象，可得，可得，則，又由，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以A正確；由，可得，又由，所以B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，此時(shí)函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以C正確；由，可得，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：D.12.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)小于0在上有解求解即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，得在上有解，即不等式在上有解，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則，使得成立；若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則，使得成立.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知向量，滿足，，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由向量，滿足，，且，則，所以.故答案為：.14.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件，將弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，算出與的關(guān)系即可.【詳解】對(duì)于雙曲線，其漸近線方程為,對(duì)于圓，有，圓心為，半徑為，漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：,則由則.故答案為：.15.從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的總數(shù)為個(gè)，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：，共有15個(gè)，所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為：.16.已知為銳角三角形，，，，是角，，分別所對(duì)的邊，若；且，則面積的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的值及的范圍，然后通過正弦定理和面積公式，并結(jié)合兩角和與差的正弦公式求得答案.【詳解】在銳角中，由，得，即，由正弦定理得，而，則，又，則有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，則，因此，由，得，即，于，所以面積的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求三角形面積范圍問題，可以利用正弦定理及三角形面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解.三?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）求，，；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式【答案】（1），，（2）是，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，逐一代入即可得解；（2）由題設(shè)條件轉(zhuǎn)化得，從而得以判斷；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.【小問1詳解】由條件可得，將代入，得，而，所以，將代入，得，所以，又，從而，，.【小問2詳解】數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，理由如下：由條件可得，即，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列【小問3詳解】由（2）可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，平面為棱上的一點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，先證明，再利用線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，得到，再利用體積公式即可求解.【小問1詳解】連接交于點(diǎn)，連接.在底面中，因?yàn)?，由，可得，因?yàn)椋矗灾?，，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，由，得為等邊三角形，所以.在等邊三角形中，，所以.所以.19.某地區(qū)為了解在鄉(xiāng)村振興過程中鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)的發(fā)展情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)鄉(xiāng)村，得到這些鄉(xiāng)村今年先對(duì)于去年集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率W的頻數(shù)分布表.分組鄉(xiāng)村數(shù)61030401031（1）估計(jì)這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的鄉(xiāng)村比例；（2）求這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）【答案】（1）（2）平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為，.【解析】【分析】（1）利用頻率分布表中數(shù)據(jù)計(jì)算并估計(jì)得解.（2）利用頻率分布表中數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)及方差即得.【小問1詳解】根據(jù)集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表，得所調(diào)查的100個(gè)鄉(xiāng)村中，集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于的鄉(xiāng)村頻率為，用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，得這個(gè)地區(qū)集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于的鄉(xiāng)村比例為.【小問2詳解】，，.所以這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為，.20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：在上.【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0的解集即得.（2）利用（1）的結(jié)論，求出函數(shù)的最大值，再構(gòu)造函數(shù)并求出最小值即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，于是，即，所以當(dāng)時(shí)，，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和點(diǎn).點(diǎn)在上，且.（1）求的方程；（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量關(guān)系可得，代入拋物線方程運(yùn)算求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意結(jié)合斜率公式分析證明.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，即點(diǎn)，代入方程中，得，所以的方程為.【小問2詳解】因?yàn)榫趻佄锞€上，設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，可得，，所以.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，（1）寫出的普通方程，并指出它是什么曲線；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的極徑與極角的正切值.【答案】（1），曲線是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向上的拋物線.（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將代入，求得曲線的普通方程，并得出軌跡；（2）根據(jù)極坐標(biāo)與直角的互化公式，求得曲線的普通方程，聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而的其極坐標(biāo).【小問1詳解】解：由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，將代入，可得，整理得，所以曲線的普通方程為，該曲線是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向上的拋物線.【小問2詳解】解：因?yàn)椋傻?，根?jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得曲線的普通方程為，聯(lián)立方程組，解