江蘇省南通市2024屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（教師版）

南通市2024屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)2024.01.24注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由集合的交集運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2.已知，則（）A.25 B.16 C.9 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算計算即得.詳解】由，得，所以.故選：A3.若向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由向量平行的充要條件結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題意，則“”是“”的充要條件.故選：C．4.設(shè)為等比數(shù)列，，則（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)和已知條件求出公比，然后代入即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，，即，所以，所以，由，故選：B．5.從正方體的八個頂點(diǎn)中選擇四個頂點(diǎn)構(gòu)成空間四面體，則該四面體不可能（）A.每個面都是等邊三角形B.每個面都是直角三角形C.有一個面是等邊三角形，另外三個面都是直角三角形D.有兩個面是等邊三角形，另外兩個面是直角三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)和四面體的特征，結(jié)合圖形逐個分析判斷即可.【詳解】如圖，每個面都是等邊三角形，A不選；每個面都是直角三角形，B不選；三個面直角三角形，一個面等邊三角形，C不選，選D．故選：D.6.已知直線與拋物線相切于M點(diǎn)，則M到C的焦點(diǎn)距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】將直線與拋物線聯(lián)立方程組，求出，得點(diǎn)坐標(biāo)得解.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，聯(lián)立，消可得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，則，，，，.故選：B.7.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：設(shè)利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，從而求解；方法二：設(shè)特例法得解.詳解】方法一：∵，∴,設(shè)則在上單調(diào)遞減，所以，，即，故C正確．方法二：設(shè)又，C正確．故選：C8.某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生制作一個矩形框架的工藝品．要求將一個邊長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個頂點(diǎn)分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知作圖如圖所示，設(shè)，利用三角函數(shù)表示各邊長，借助三角函數(shù)性質(zhì)計算可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，，令，則，則，，則周長，故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的定義表示出所求周長，再利用三角恒等變換即可得解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運(yùn)動員的5次成績（單位：環(huán)），得到如下數(shù)據(jù)：運(yùn)動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則（）A.甲成績的樣本極差小于乙成績的樣本極差B.甲成績的樣本平均值等于乙成績的樣本平均值C.甲成績的樣本中位數(shù)等于乙成績的樣本中位數(shù)D.甲成績的樣本標(biāo)準(zhǔn)差小于乙成績的樣本標(biāo)準(zhǔn)差【答案】BC【解析】【分析】由中位數(shù)、極差的概念即可判斷AC，由平均數(shù)、方程計算公式即可驗(yàn)算BD.【詳解】甲的極差，乙的極差，A錯．甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，B對．甲的中位數(shù)90，乙的中位數(shù)90，C對．甲的標(biāo)準(zhǔn)差，乙的標(biāo)準(zhǔn)差，D錯.故選：BC．10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性及奇偶性可得是周期為4的函數(shù)，然后結(jié)合條件即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又，則的圖象關(guān)于對稱，所以，則，為周期函數(shù)且周期為，B對．所以，A對．而，C錯．由上可知，，所以，則，D對．故選：ABD．11.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.C.存在點(diǎn)，使得 D.【答案】ABD【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而判斷A、B，設(shè)，若，推出恒成立，即可判斷C、D.【詳解】圓即，圓心，半徑，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以存在點(diǎn)，使得，故A對．因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，又，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)與圓相切時，取最大值，此時，所以，故B對．對于D，設(shè)，若，又點(diǎn)在圓上，一定成立，故D對，C錯.故選：ABD．12.我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出一條原理：“冪勢既同，則積不容異”，即兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．利用該原理可以證明：一個底面半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等．現(xiàn)有一個半徑為R的球，被一個距離球心為d（）的平面截成兩部分，記兩部分的體積分別為，則（）A. B.C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】【分析】對于A，，化簡即可驗(yàn)算；對于B，化簡即可驗(yàn)算；對于C，，將代入即可判斷；對于D，求的最小值即可.【詳解】（同底等高），，A對．，B錯．對于C，，，C對．對于D，時，，，在，，D對．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先得到，然后通過換元求導(dǎo)得函數(shù)最小值即可驗(yàn)證，從而順利得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)定義域代入計算可得答案.【詳解】.故答案為：.14.已知，則________，________．【答案】①.8②.16【解析】【分析】由二項(xiàng)展開式結(jié)合分配律可得第一空答案，由賦值法可得第二空答案.【詳解】，的系數(shù)為，令，，即；，，.故答案為：8；16.15.已知函數(shù)，若的最小值為，則________．【答案】【解析】【分析】由題意得或，結(jié)合題意可得，然后代入求值即可.【詳解】，，所以，或，，所以．故答案為：.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P，Q是E上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線．若則E的離心率為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義用表示，再利用余弦定理可解.【詳解】設(shè)，則，又由橢圓定義，得，所以又因?yàn)?，所以，所以．故答案為?四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是圓錐的底面直徑，C是底面圓周上的一點(diǎn)，，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形三線合一得，由線面垂直的性質(zhì)得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，然后利用向量夾角公式即得.【小問1詳解】為底面圓周上一點(diǎn)，，又，又為中點(diǎn)，，又底面，底面，，又底面，平面．【小問2詳解】底面，底面，所以，又因?yàn)?，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，設(shè)平面的一個法向量，由，，取，所以，而平面的一個法向量，設(shè)二面角平面角為，顯然為銳角，．18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）求A和c；（2）若點(diǎn)D在邊上，且，求．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由兩角和正切得，進(jìn)一步得，結(jié)合正弦定理即可求解.（2）由結(jié)合余弦定理即可求解.【小問1詳解】，且，，在中，．【小問2詳解】設(shè)，，或14，，，即．19.記正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足1，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)集合，求集合A．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）首先根據(jù)條件和等差數(shù)列的定義，得是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得；（2）由（1）得，，根據(jù)為正奇數(shù)，得到為正整數(shù)即可解出.【小問1詳解】成等差數(shù)列，①，②，，，因?yàn)?，所以，且，所以是?為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，．【小問2詳解】由（1）得，為正奇數(shù)，又為正奇數(shù)，為正整數(shù)．所以，或，當(dāng)時，時，，．20.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，離心率為．過點(diǎn)的直線l與C的右支交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為．（1）若，求；（2）證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意，求得雙曲線，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可解；（2）利用兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合雙曲線方程求得，再結(jié)合（1）中結(jié)論即可得證.【小問1詳解】由題意知，雙曲線：．易知直線的斜率不為零，所以設(shè)直線的方程為，，，，得，則，則，，．【小問2詳解】因?yàn)?，為定值?21.某商場在元旦期間舉行摸球中獎活動，規(guī)則如下：一個箱中有大小和質(zhì)地相同的3個紅球和5個白球，每一位參與顧客從箱中隨機(jī)摸出3個球，若摸出的3個球中至少有2個紅球，則該顧客中獎．（1）若有三位顧客依次參加活動，求僅有最后一位顧客中獎的概率；（2）現(xiàn)有編號為1~n的n位顧客按編號順序依次參加活動，記X是這n位顧客中第一個中獎?wù)叩木幪?，若無人中獎，則記．證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求一位顧客中獎的概率，然后求僅有最后一位顧客中獎的概率；（2）欲求隨機(jī)變量X的分布列，需先求隨機(jī)變量X可取的數(shù)值，然后求得其相應(yīng)的概率，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式求得隨機(jī)變量X的期望.【小問1詳解】一位顧客中獎的概率為，僅有最后一位顧客中獎的概率．【小問2詳解】的所有可能取值為，的分布列如下：X012nP令①，②，①-②．22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若a＞0，記為的零點(diǎn)，．①證明：；②探究與的大小關(guān)系．【答案】（1）答案見解析（2）①證明見解析；②．【解析】【分析】（1）求導(dǎo)討論和兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到單