湖南省長沙市湖南師大附中2024屆高三上學期第一次調(diào)研數(shù)學試題（教師版）

長沙市湖南師大附中2024屆高三第一次調(diào)研數(shù)學本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答題卡前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上．3．非選擇題是必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和徐改液，不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．一、單選題（本大題8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先化簡集合，然后求出交集即可.【詳解】，，.故選：A2.如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)，對應的點分別為，，則復數(shù)的虛部為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復數(shù)對應的點求出復數(shù)，，計算，得復數(shù)的虛部.【詳解】在復平面內(nèi)，復數(shù)，對應的點分別為，，則，，得，所以復數(shù)的虛部為.故選：D3.“函數(shù)的圖象關于對稱”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)結合集合間的基本關系判定充分、必要條件即可.【詳解】當函數(shù)的圖象關于對稱時，有，，得，，易知，所以“函數(shù)的圖象關于對稱”是“，”的必要不充分條件．故選：B．4.已知向量，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量夾角的坐標表示計算．【詳解】因為，則，所以.故選：D．5.已知是等差數(shù)列的前n項和，是數(shù)列的前n項和，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設出公差，結合等差數(shù)列求和公式得到為公差為的等差數(shù)列，從而得到方程，求出和，利用等差數(shù)列求和公式得到答案【詳解】設的首項為，公差為，則，則，則，故為公差為的等差數(shù)列，又，所以，解得，又，解得，故故為首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.故選：A6.函數(shù)的圖象不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分，和三種情況討論，結合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點即可得出答案.【詳解】①當時，，此時A選項符合；②當時，，當時，，因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個交點，即函數(shù)在在上有一個零點，當時，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，故B選項符合；③當時，，當時，，因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個交點，即函數(shù)在在上有一個零點，當時，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，故C選項符合，D選項不可能.故選：D.7.已知正方體的棱長為，為的中點，為棱上異于端點的動點，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結合正方體的幾何結構特征，得出當為棱上異于端點的動點，截面為四邊形，點只能在線段上，求得，線段的取值范圍，得到答案.【詳解】在正方體中，平面平面，因為平面，平面，平面平面，則平面與平面的交線過點，且與直線平行，與直線相交，設交點為，如圖所示，又因為平面，平面，即分別為，與平面所成的角，因為，則，且有，當與重合時，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時，即為棱中點；當點由點向點移動過程中，逐漸減小，點由點向點方向移動；當點為線段上任意一點時，平面只與該正方體的4個表而有交線，即可用成四邊形；當點在線段延長線上時，直線必與棱交于除點外的點，又點與不重合，此時，平面與該正方體的5個表面有交線，截面為五邊形，如圖所示．因此．當為棱上異于端點的動點，截面為四邊形，點只能在線段（除點外）上，即，可得，則，所以線段的取值范圍是，所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.故選：B．【點睛】知識方法：對于空間共面、共線問題，以及幾何體的截面問題的策略：1、正面共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證明其余的線（或點）在這個平面內(nèi)；二是證明兩個平面重合；2、證明共線的方法：一是先由兩個點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二是直接證明這些點都在同一條特定直線上；3、空間幾何體中截面問題：一是熟記特殊幾何體（正方體，正四面體等）中的特殊截面的形狀與計算；二是結合平面的基本性質(zhì)，以及空間中的平行關系，以及平面的基本性質(zhì)，找全空間幾何體的截面問題，并作出計算；4、空間幾何體中的動點軌跡等問題：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結合曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；8.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設出橢圓的長半軸長，雙曲線的實半軸長為，然后根據(jù)焦點三角形頂角的余弦定理求解出的關系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，當且僅當，即時等號成立，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查橢圓、雙曲線的離心率的相關計算，涉及到焦點三角形、基本不等式求最值等問題，對學生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題的關鍵點有兩個：（1）運用兩個曲線的定義，找到離心率之間的關系；（2）在已知條件等式的情況下，活用“1”的妙用求最值.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法中，正確的是（）A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體被抽到的概率是0.1B.一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14C.若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2D.將總體劃分為2層，通過分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，若，則總體方差【答案】AC【解析】【分析】由古典概型的概率可判斷A，根據(jù)百分位數(shù)定義可判斷B，由數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的定義可判斷C,D.【詳解】選項A：個體m被抽到的概率為，故A正確；選項B：由于，第六個數(shù)為14，第七個數(shù)為16，則第60百分位數(shù)為，故B錯誤；選項C：設數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，故C正確；選項D：設第一層數(shù)據(jù)為，第二層數(shù)據(jù)為，則，，所以，，，總體平均數(shù)，總體方差因為，則，所以，故D錯誤.故選：AC.10.如圖，點是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若將函數(shù)的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數(shù)的圖像，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得解析式，再逐項驗證BCD選項.【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯誤.當時，，因為在為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11.已知直線：與圓：，若存在點，過點向圓引切線，切點為，，使得，則可能的取值為（）A.2 B.0 C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先確定出直線所過的定點以及圓心和半徑，根據(jù)條件分析出，由此確定出所滿足的不等關系，則的取值范圍可求，故的可取值可確定.【詳解】因為即，令，解得，所以過定點，圓，圓心為，半徑為，由切線性質(zhì)可知：當時，，，因為存在使得，所以，記到的距離為，又因為，當最大時，此時，所以，所以，所以，解得，又因為，所以可取，故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與圓位置關系的綜合運用，涉及圓的切線相關問題，著重考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，難度較大.解答問題的關鍵在于分析的取值范圍并將其正弦值與圓心到直線的距離聯(lián)系在一起，從而求出參數(shù)的可取值.12.已知函數(shù)，，則（）A.與的定義域不同，與的值域只有1個公共元素B.在與的公共定義域內(nèi)，的單調(diào)性與的單調(diào)性完全相反C.的極小值點恰好是的極大值點，的極大值點恰好是的極小值點D.函數(shù)既無最小值也無最大值，函數(shù)既有最小值也有最大值【答案】BC【解析】【分析】首先確定定義域為、定義域為，再應用導數(shù)研究與符號，進而判斷其單調(diào)性、極值點情況；判斷、奇偶性，研究它們在上的性質(zhì)；根據(jù)的值域情況及研究最值、及函數(shù)值是否有公共元素.【詳解】定義域，對于有，即，故定義域不同，由，，且，故在相同的區(qū)間內(nèi)與符號相反，即對應、單調(diào)性相反，B正確；由上，、的極值點恰好相反，的極大值點為極小值點，的極小值點為極大值點，C正確；由，，均為偶函數(shù)，只需研究在上、的性質(zhì)：由且，則，故遞增，則，故，而在上連續(xù)，且函數(shù)值在范圍內(nèi)波動，即函數(shù)值為正、負的區(qū)間交替出現(xiàn)，結合知：取0時趨向于無窮大（含正負無窮），無最值；D錯誤；極小值，則為極大值，極大值，則為極小值，所以、值域不可能存在公共點，A錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點點睛：利用導數(shù)研究、單調(diào)性、極值情況，注意函數(shù)的波動性及值域范圍，結合研究最值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.一組數(shù)據(jù)為3，5，1，6，8，2，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，則二項式展開式的常數(shù)項為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算方法，求得，求得二項展開式的通項為，即可求解.【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排成一列為：，由，所以這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)為，所以二項式為，則二項展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，設數(shù)列的前項和為，則=________【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推關系求出，再利用等差數(shù)列前項和公式求出即可.【詳解】數(shù)列滿足，當時，，兩式相減得，因此，而滿足上式，于是，顯然，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故答案為：15.在正三棱臺中，，，側(cè)棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內(nèi)切球，則此正三棱臺的體積為______．【答案】【解析】【分析】取BC和的中點分別為P，Q，上、下底面的中心分別為，，設，內(nèi)切球半徑為r，根據(jù)題意求出側(cè)棱長以及，，再根據(jù)切線的性質(zhì)及等腰梯形和梯形的幾何特點列方程組求出半徑即可.【詳解】如圖，取BC和的中點分別為P，Q，上、下底面的中心分別為，，設，內(nèi)切球半徑為r，因為，棱臺的高為2r，所以，，同理．因為內(nèi)切球與平面相切，切點在上，所以①，等腰梯形中，②，由①②得．在梯形中，③，由②③得，代入得，則棱臺的高，所以棱臺的體積為．故答案為：.16.已知函數(shù)，若，則關于的不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】計算出，函數(shù)關于點中心對稱，得到有唯一的解，求出函數(shù)的單調(diào)性，結合題目條件得到，進而得到分段函數(shù)解析式，計算出，故，結合函數(shù)單調(diào)性得到不等式.【詳解】由題意，得，，所以，即函數(shù)關于點中心對稱．因為恒成立，所以當時，，當時，．所以有唯一的解．，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，故在R上單調(diào)遞增，，由對稱性可知，下面證明，過程如下：若時，則，且，則，，，此時，同理可得當時，，當，即時，，，滿足，即．故，當時，，當時，令，解得，當時，，又不等式，所以．由，得．由，得．所以原不等式的解集為．故答案為：【點睛】函數(shù)的對稱性：若，則函數(shù)關于中心對稱，若，則函數(shù)關于對稱四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟．17.在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，進而得到，即可求解；（2）由，求得，結合余弦定理，得到，進而求得的周長.【小問1詳解】解：因為，可得，即，由正弦定理得，即，又因為，可得，所以，因為，可得，所以，又因為，所以.【小問2詳解】解：因為的面積，可得，可得，又因為，由余弦定理，可得，所以，則，所以，所以的周長為.18.記為數(shù)列的前項和，已知，且，.（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求的通項公式；（3）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）將原式兩邊同時除以，構造等差數(shù)列即可；（2）由（1）可得，根據(jù)得到與的關系式，再利用累乘法求解即可；（3）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】，，，，數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列；【小問2詳解】，即，，兩式作差得，即，，即，，，；【小問3詳解】，，，，.19.如圖，在三棱錐中，和都是正三角形，E是的中點，點F滿足．（1）求證：平面平面；（2）若，且平面，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可證得結果，（2）取的中心為O，證明平面，建立空間直角坐標系，由線面平行利用向量法列式可得結果.【小問1詳解】如圖，連接，因為，所以．所以A，E，D，F(xiàn)四點共面．因為在三棱錐中，和都是正三角形，E是的中點，所以，．因為平面，，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問2詳解】如圖，記的中心為O，連接，由（1）得．同理可證，且,所以平面，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為是正三角形，，所以，，．所以，，，，．所以，．設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以．因為，，所以．因為平面，所以，即，解得，此時．故DF的長為6．20.某學校有1000人，想通過驗血的方式篩查出某種病毒的攜帶者，如果對每個人的血樣逐一化驗，需要化驗1000次，統(tǒng)計專家提出了一種方法：隨機地按10人一組分組，然后將各組10個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這10個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一個人呈陽性，就需要對這組的每個人再分別化驗一次．假設某學校攜帶病毒的人數(shù)有10人．（）（1）用樣本的頻率估計概率，若5個人一組，求一組混合血樣呈陽性的概率；（2）用統(tǒng)計專家這種方法按照5個人一組或10個人一組，問哪種分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗次數(shù)較少？為什么？【答案】（1）（2）10個人一組的分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗次數(shù)較少，理由見解析【解析】【分析】（1）由對立事件概率的求法結合題給數(shù)據(jù)即可求解.（2）設5個人一組和10個人一組，每組需要化驗的次數(shù)分別為隨機變量，由題中數(shù)據(jù)可知它們服從兩點分布，可求得各自的期望，進而求解.【小問1詳解】由已知可得，該單位每個人攜帶病毒的概率為．所以5個人一組，該組混合血樣不是陽性的概率為，所以，一組混合血樣呈陽性的概率為．【小問2詳解】設5個人一組，每組需要化驗的次數(shù)為隨機變量，則．由（1）知，5個人一組，需要重新化驗的概率為0.05，則X的分布列為16所以，，總的化驗次數(shù)為；設10個人一組，每組需要化驗的次數(shù)為隨機變量，則．10個人一組，該組混合血樣不是陽性的概率為0.9，則10個人一組，需要重新化驗的概率為0.1，則Y的分布列為111所以，總的化驗次數(shù)為，所以，10個人一組的分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗次數(shù)較少．21.已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左、右和上頂點，直線交直線于點，且點的橫坐標為2．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于第二象限內(nèi)兩點，且在之間，與直線交于點，試判斷直線與是否平行，并說明理由．【答案】（1）（2）直線與平行，理由見解析【