河南省洛陽市偃師高級(jí)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期1月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題（教師版）

高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】由，得，解得，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，，，，所以ABD錯(cuò)誤，C正確，故選：C．2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得到方程，解得即可.【詳解】設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，則，解得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C3.已知平面單位向量，，滿足，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得，替換，利用數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，，因?yàn)?，所以平行四邊形為菱形，則為正三角形，所以，且反向，所以，所以，因?yàn)椋?，故選:C.4.已知函數(shù)的定義域?yàn)锽，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，使得恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求得集合，利用分離常數(shù)法、基本不等式求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，所以的定義域，由于，，所以在區(qū)間上恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是.故選：C5.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心．利用對(duì)稱中心的上述定義，研究函數(shù)，可得到（）A.0 B.2023 C.4046 D.4047【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中定義可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，然后根據(jù)對(duì)稱性即可求解.【詳解】的定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.所以.故選：D6.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】首先利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，并得到，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得，并代入后，利用基本不等式，即可求解.【詳解】，其中，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，，即，則，，，，即，因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4.故選：B7.等比數(shù)列中，，數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則滿足的n的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到，之后代入題中式子求得，利用裂項(xiàng)相消法求和，之后求得所滿足的條件，最后確定出的最小值.【詳解】由題意得，所以，所以，令，整理得，解得，故選：A.8.已知過橢圓左焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為，過點(diǎn)且斜率為－1的直線與相交于，兩點(diǎn)，若恰好是的中點(diǎn)，則橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的方程和性質(zhì)及直線與橢圓位置關(guān)系即可解決.【詳解】由過橢圓左焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為，可得橢圓過點(diǎn)，代入方程得.設(shè)則，兩式作差得，即，因?yàn)榍『檬堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)橹本€AB斜率為-1，所以，將它們代入上式得，則聯(lián)立方程解得.所以橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知，，設(shè)，，則以下四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則有最小值 B.若，則有最大值2C.若，則 D.若，則有最小值【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式及二次函數(shù)性質(zhì)求各項(xiàng)對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值，注意取值條件，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】A：，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，錯(cuò)；B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，可得，所以有最大值2，對(duì)；C：，則，又，，則，可得，所以，對(duì)；D：由題設(shè)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，錯(cuò).故選：BC10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.在上值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出的解析式，進(jìn)而判斷AC；利用代入檢驗(yàn)法可判斷B；利用換元法和三角函數(shù)性質(zhì)求出在上的值域可判斷D.【詳解】由圖像可知，，，故A正確；從而，又由，，因?yàn)椋?，從而，故C正確；因?yàn)椋圆皇堑膶?duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，，所以，故，即，從而，即在上的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），平面．下列說法正確的有（）A.異面直線與可能垂直B.直線與平面可能垂直C.與平面所成角的正弦值的范圍為D.若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A，在平面內(nèi)作，交于點(diǎn)，由平面得，所以平面，則；對(duì)B，不可能平行，故與不可能垂直；對(duì)C，則與平面所成角的正弦值的范圍等同于與所成角的余弦值的范圍，求解判斷即可；對(duì)D，由題意知為的中點(diǎn)，可證得，由平面得，所以平面，所以，同理，所以平面，所以平面即平面，三角形即平面截正四棱柱所得截面的多邊形．【詳解】對(duì)A，在平面內(nèi)作，交于點(diǎn)，在正四棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以．故A正確；對(duì)B，不可能平行，故與不可能垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，如圖：連接，，平面，則與平面所成角的正弦值的范圍等同于與所成角的余弦值的范圍，在直角三角形中，，當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向移動(dòng)時(shí)，逐漸增大，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，則，，則，，故C正確，對(duì)D，如圖：由題意知為的中點(diǎn)，連接，，，，，，在直角三角形中，，同理，由題意知，所以，所以，在正四棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，平面，，所以平面，所以平面即平面，三角形即平面截正四棱柱所得截面的多邊形，其周長為，故D錯(cuò)誤.故選：AC．12.已知，，若與圖像的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且這些公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，由題意，作圖，根據(jù)對(duì)稱性以及公共點(diǎn)所在區(qū)間，可得答案；對(duì)于B，由題意，作圖，可得函數(shù)在處相切，可得方程，結(jié)合三角恒等式，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，兩函數(shù)作差構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得答案；對(duì)于D，利用三角函數(shù)的值域與周期性，可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，如下圖，則，，所以，又圖像關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合圖像有，即有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，如下圖，易知在，且，與圖像相切，由當(dāng)時(shí)，，則，，故，從而，所以，故B正確；對(duì)于C，令，顯然有，即是方程的一個(gè)根，又易知，是偶函數(shù)且，因?yàn)?，所以時(shí)，沒有零點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，，又過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是在原點(diǎn)的切線，如圖，所以時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，與的圖像在軸右側(cè)的前個(gè)周期中，每個(gè)周期均有個(gè)公共點(diǎn)，共有個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：對(duì)于選項(xiàng)A和D，處理的關(guān)鍵在于，借助函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像的對(duì)稱性和周期性解決問題；對(duì)于選項(xiàng)B和D，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來解決問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c垂直，所以，即，，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)，若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】換元后利用參變分離，最后用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】由題意得：有解令有解，即有解，顯然無意義,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故答案為：.15.已知函數(shù)（，）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】令，得，由題意方程在上有且僅有兩個(gè)實(shí)根，由，得，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知數(shù)列中，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)累積法求得，再用裂項(xiàng)相消法求得，最后根據(jù)不等式恒成立可求解.詳解】由得，則有，化簡(jiǎn)得，即，所以，所以，所以不等式恒成立，則有.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角，（，）的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)，分別在角，的終邊上.（1）設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的值域；（2）若點(diǎn)在角的終邊上，且線段的長度為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由任意角三角函數(shù)的定義結(jié)合的取值范圍確定的大小，再求的值域（2）先由任意角三角函數(shù)的定義結(jié)合的取值范圍確定的大小，從而求出的大小，再利用余弦定理，求出的長度，確定出點(diǎn)在上的位置之后，即可求的面積【小問1詳解】∵的終邊過點(diǎn)，∴，.∵，∴.則，∵，∴，∴，∴，即的值域是.【小問2詳解】∵的終邊過點(diǎn)，∴，.∵，∴，∴.由余弦定理可得，，∴，解得.∵，∴為的中點(diǎn)，∴則的面積18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，.（1）求，；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用求得，通過計(jì)算的首項(xiàng)和公比，由此求得.（2）結(jié)合錯(cuò)位相減法、分組求和法求得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，又，滿足，∴.，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由于，所以解得，，.∴.【小問2詳解】由（1），得.令，的前n項(xiàng)和為，則.，∴，∴.令，是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則，∴.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段PD交于點(diǎn)F.（1）證明：F為PD的中點(diǎn)；（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線BE與平面PAD所成角的正弦值.條件①：三角形BCF的面積為；條件②：三棱錐的體積為1.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定證面，再由線面平行的性質(zhì)可證，進(jìn)而有△中為中位線，即可證結(jié)論；（2）由線面垂直的性質(zhì)、判定證兩兩垂直，且面，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)所選條件求得，進(jìn)而求直線方向向量和面的法向量，利用線面角夾角的向量求法求其正弦值.【小問1詳解】由底面ABCD是矩形，則，而面，面，所以面，又E是PC的中點(diǎn)，面ABE與線段PD交于點(diǎn)F，即面面，而面，則，故，△中為中位線，故F為PD的中點(diǎn)；【小問2詳解】由底面ABCD，面，則，又，由，面，則面，由面，故，即△為直角三角形，且；由面，則面面，同理有面面；又面，故，又，所以兩兩垂直，可構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，選①，則，故，而，選②，由，而，所以；此時(shí)，，，則，又是面的一個(gè)法向量，若直線BE與平面PAD所成角為，所以20.過拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．（1）若，求；（2）若，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．【答案】（1）24（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線的方程可得關(guān)于的一元二次方程，從而可得，，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到的坐標(biāo)表示，同理可得，求解即可；（2）結(jié)合（1），根據(jù)拋物線的定義得，，進(jìn)而可得，即可得到圓的半徑，從而可得到圓的方程，同理也可得到圓的方程，兩圓方程相減即可得到直線的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．【小問1詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)為，且其在拋物線內(nèi)部，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，同理可得的坐標(biāo)為，，于是，又，所以．【小問2詳解】結(jié)合（1），由拋物線的定義得，，所以，所以圓的半徑，所以圓的方程為化簡(jiǎn)得，同理可得圓的方程為，于是圓與圓的公共弦所在直線的方程為，又，則直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，故當(dāng)時(shí)，取最小值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答小問（2）的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的定義求得，，進(jìn)而可得，從而得到圓的半徑，可得到圓的方程，同理可得到圓的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解．21.某疫苗生產(chǎn)單位通過驗(yàn)血的方式檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗(yàn)，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗(yàn)1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對(duì)每份血液樣本再分別化驗(yàn)一次，檢驗(yàn)總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，每份樣本有抗體的概率均為．（1）現(xiàn)有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．①若，求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；②已知，以檢驗(yàn)總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗(yàn)方式更好？參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）分為兩種情況，一種是前三次檢驗(yàn)中，其中兩次檢驗(yàn)出抗體，第四次檢驗(yàn)出抗體，二是前四次均無抗體，再結(jié)合概率公式即可求解；（2）①由已知得，的所有可能取值為1，，求出相應(yīng)的概率，再由可求得P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；②由得（且），構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解其單調(diào)區(qū)間，討論可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來為事件，事件分為兩種情況，一種是前三次檢驗(yàn)中，其中兩次檢驗(yàn)出抗體，第四次檢驗(yàn)出抗體，二是前四次均無抗體，所以，所以恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把有抗體血液樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為，【小問2詳解】①由已知得，的所有可能取值為1，，所以，，所以，若，則，所以，，所以，得，所以P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式（且）②由①知，，