第10章知識資料結(jié)構(gòu)特性矩陣的計(jì)算

第十章高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)特性矩陣的計(jì)算§10.1

彈性特性§10.2質(zhì)量特性§10.3阻尼特性§10.4外荷載§10.5幾何剛度§10.6特性公式的選擇第十章結(jié)構(gòu)特性矩陣的計(jì)算§10.1

彈性特性柔度系數(shù)由j自由度單位荷載引起對應(yīng)i坐標(biāo)的位移（10-1）當(dāng)任意荷載組合下某點(diǎn)1產(chǎn)生的撓度為（10-2）§10.1

彈性特性§10.1

彈性特性圖10-1柔度影響系數(shù)的定義§10.1

彈性特性則全部位移可表示為（10-3）

或者（10-4）

或者（10-5）

§10.1

彈性特性剛度系數(shù)

表示一個自由度發(fā)生單位位移而其它自由度不動時(shí)在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的力.圖10-2剛度影響系數(shù)的定義§10.1

彈性特性結(jié)構(gòu)的基本概念應(yīng)變能----?

應(yīng)變能等于使體系變形所做的功,即將(10-4)代入上式得將式（10-6）轉(zhuǎn)置，并將式（9-6）代入，可得注意（10-6）

（10-7）

（10-8）

（10-9）

§10.1

彈性特性正定/半正定矩陣正定/半正定矩陣§10.1

彈性特性Betti定律（10-13）

結(jié)構(gòu)的變形與加荷次序無關(guān)，應(yīng)變能也相等---唯一性、能量守恒圖10-3兩組獨(dú)立的荷載系與產(chǎn)生的變位§10.1

彈性特性

按相反的次序?qū)Y(jié)構(gòu)施加兩種荷載。第一種情況首先加荷載a再加荷載b，第二種情況則以相反的次序施加荷載，兩者所做的功分別如下：荷載a:荷載b:總和：（10-11）

情況1§10.1

彈性特性情況2:荷載b:荷載a:總和:（10-12）

§10.1

彈性特性顯然（10-14）

（10-15）

它說明了功的互等定理假如對于這二組力和位移寫出式（10-4）代入上式。即剛度矩陣也是對稱的。說明柔度矩陣必定是對稱的，同樣（9-6）代入得（10-13）

§10.1

彈性特性剛度矩陣與柔度矩陣的關(guān)系左乘剛度矩陣與柔度矩陣互逆§10.1

彈性特性有限單元剛度圖10-4由于左端結(jié)點(diǎn)單位位移而產(chǎn)生的梁撓度§10.1

彈性特性

如圖所示變截面直梁段，單元的兩個節(jié)點(diǎn)位于兩端，通過這兩個節(jié)點(diǎn)可以把這類單元組合成結(jié)構(gòu)，假如只考慮橫向平面位移，每一個節(jié)點(diǎn)只有豎向位移和轉(zhuǎn)角兩個自由度。上圖表示單元左端發(fā)生每一種類型的一個單位位移而同時(shí)又將其它三個節(jié)點(diǎn)位移約束時(shí)，所產(chǎn)生的撓度曲線。這些位移函數(shù)可以是任意形狀的，只要它們滿足節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部連續(xù)的要求，但是一般假定這些節(jié)點(diǎn)位移作用下等截面梁上所引起的變形形狀，它們是三次Hermite多項(xiàng)式，表示為§10.1

彈性特性（10-16a）

（10-16b）

（10-16c）

（10-16d）

位移發(fā)生在右端產(chǎn)生的相應(yīng)形狀函數(shù)為§10.1

彈性特性單元的撓曲形狀能用它的節(jié)點(diǎn)位移表示為參照圖10-4，自由度的編號如下（10-17a）

（10-17b）

§10.1

彈性特性圖10-5結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生真實(shí)轉(zhuǎn)角和虛位移的梁§10.1

彈性特性

如上圖，當(dāng)a點(diǎn)發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，給該點(diǎn)以豎向虛位移，并令外力做的功等于內(nèi)力做的功，就能求出這個力的分量。所有其它節(jié)點(diǎn)的虛位移分量為零，只有a點(diǎn)的豎向力分量做了外力功，即由內(nèi)力虛功產(chǎn)生的內(nèi)力矩為（10-18）

§10.1

彈性特性（10-19）

（10-20）

（10-21）

令（10-18）與（10-19）相等，該剛度系數(shù)表示成因此內(nèi)力功為與梁彎曲相應(yīng)的任一剛度系數(shù)為§10.1

彈性特性直接剛度法的概念（10-23）

當(dāng)結(jié)構(gòu)全部單元的剛度系數(shù)求出后，只要適當(dāng)疊加各單元的剛度系數(shù)就能得到整個結(jié)構(gòu)的剛度，這叫做直接剛度法。假如單元m、n和p都與結(jié)構(gòu)的i節(jié)點(diǎn)相連，該節(jié)點(diǎn)的剛度系數(shù)是§10.2

質(zhì)量特性集中質(zhì)量矩陣

假定全部質(zhì)量集中在某些需要計(jì)算平動的點(diǎn)上，將結(jié)構(gòu)分割成段，以節(jié)點(diǎn)作為連接點(diǎn)，每一段的質(zhì)量在它的節(jié)點(diǎn)上各自集聚成點(diǎn)質(zhì)量，整個結(jié)構(gòu)上任一節(jié)點(diǎn)集聚的總質(zhì)量等于該節(jié)點(diǎn)連接的各段分配給此節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量和。

對于只須確定平移自由度的體系，集中質(zhì)量矩陣具有對角形式，其中對角線的項(xiàng)數(shù)等于自由度數(shù)。

假如在任一節(jié)點(diǎn)處有幾個平動自由度，則用同樣的點(diǎn)質(zhì)量與這個節(jié)點(diǎn)的每一自由度相對應(yīng)。因?yàn)榧俣ㄙ|(zhì)量集中在點(diǎn)上沒有轉(zhuǎn)動慣量，所以與任何一轉(zhuǎn)動自由度相關(guān)聯(lián)的質(zhì)量為零。所以一般說來，集中質(zhì)量矩陣為對角矩陣，其中包括與轉(zhuǎn)動自由度相對應(yīng)的零對角元素?！?0.2

質(zhì)量特性一致質(zhì)量矩陣圖10-7結(jié)點(diǎn)承受真實(shí)的角加速度和虛的位移§10.2

質(zhì)量特性

如圖所示的變截面梁，它的自由度是兩端的平移和轉(zhuǎn)動，假定由用于推導(dǎo)單元剛度中同樣的插值函數(shù)來確定跨度內(nèi)的位移。假定梁左端受單位加速度作用，沿梁長加速度分布為（10-25）

抵抗這個加速度的慣性力為（10-26）

§10.2

質(zhì)量特性把影響與此加速度相關(guān)聯(lián)的質(zhì)量影響系數(shù)定義為此加速度所產(chǎn)生的慣性力，利用虛位移原理得（10-27）

（10-28）

用插值函數(shù)表示內(nèi)部虛位移，并代入（10-26）可導(dǎo)出任意梁段的任何一個質(zhì)量影響系數(shù)為§10.2

質(zhì)量特性

這個等式的對稱形式說明質(zhì)量矩陣是對稱的，當(dāng)計(jì)算質(zhì)量系數(shù)采用同樣的插值函數(shù)時(shí)，所得的質(zhì)量矩陣叫一致質(zhì)量矩陣。常用三次Hermite多項(xiàng)式。利用單元剛度矩陣疊加得到整個單元集合體的質(zhì)量矩陣。一致質(zhì)量體系動力分析的計(jì)算工作量一般要比集中質(zhì)量體系大得多?！?0.3阻尼特性任何單元體系的阻尼系數(shù)為（10-30）

單元的阻尼影響系數(shù)被確定以后，整個結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣就能夠應(yīng)用與直接剛度法相同的疊加過程來求得。然而阻尼特性實(shí)際上是算不出來的。因此常常根據(jù)類似結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)方法所確定的阻尼比來表示阻尼，而不用顯式的阻尼矩陣。§10.3阻尼特性§10.4外荷載靜力的合力

節(jié)點(diǎn)力可以當(dāng)作一組與分布荷載靜力等效的集中荷載來確定。實(shí)際上這種分析方法就相當(dāng)于把實(shí)際荷載通過支撐于節(jié)點(diǎn)上的一系列簡支梁加到結(jié)構(gòu)上，而支座處產(chǎn)生的反力就變成作用在結(jié)構(gòu)上的集中節(jié)點(diǎn)力?！?0.4外荷載§10.4外荷載一致節(jié)點(diǎn)荷載圖10-8承受側(cè)向荷載梁的結(jié)點(diǎn)虛位移§10.4外荷載

建立計(jì)算各節(jié)點(diǎn)自由度相對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力，采用虛位移原理導(dǎo)出的節(jié)點(diǎn)力為一致節(jié)點(diǎn)荷載。如圖所示當(dāng)對應(yīng)于虛位移的廣義力是（10-31）

§10.4外荷載因此，單元廣義荷載一般能表示為（10-32）

（10-33）

上式中所用的插值函數(shù)必須與計(jì)算單元剛度系數(shù)時(shí)所用的相同，假如改用線性插值函數(shù)，式（10-32）將給出靜力的節(jié)點(diǎn)合力?！?0.4外荷載某些情況下所施加的荷載可以具有特殊的形式，荷載分布形式不隨時(shí)間變化而只是它的幅值變化，這種情況下的廣義力為它說明廣義力與所施加的荷載具有同樣的時(shí)間變化規(guī)律。（10-34a）

（10-34b）

§10.5幾何剛度線性近似§10.5幾何剛度圖10-9梁的理想化軸向承載機(jī)理§10.5幾何剛度

計(jì)算幾何剛度特性的方法最簡單的近似由上可得，假定全部軸力作用在鉸結(jié)剛性桿組成的輔助結(jié)構(gòu)上，鉸位于真梁橫向位移自由要確定的點(diǎn)上，通過傳遞橫向力而無軸力分量的連桿與主梁相連。 由于輔助體系中撓曲和軸向力的作用，在連接輔助體系和主梁的連桿中產(chǎn)生了力。即要求主梁具有足夠的抗力以保持輔助體系的穩(wěn)定?！?0.5幾何剛度

維持輔助體系中的一個代表性區(qū)段i平衡所需要的力，如圖10-10，橫向分量取決于段中的軸向力分量和該段的斜率。力沿著主梁下位移方向作用時(shí)為正，寫成矩陣形式為圖10-10由于輔助連桿中的軸向荷載產(chǎn)生的平衡力§10.5幾何剛度用符號表示為（10-35）（10-37）§10.5幾何剛度一致幾何剛度圖10-11承受軸向荷載的梁，其結(jié)點(diǎn)具有真實(shí)轉(zhuǎn)動和虛線位移§10.5幾何剛度

承受軸向荷載的作用而產(chǎn)生任意變化的軸向力N(x)，圖中給出左端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角的梁。根據(jù)定義，與此位移分量相關(guān)的節(jié)點(diǎn)力是相應(yīng)的幾何剛度影響系數(shù)。這些系數(shù)可由虛位移原理以及外功等于內(nèi)功的方法求得?！?0.5幾何剛度

正的幾何剛度系數(shù)對應(yīng)于正的位移，建立內(nèi)力虛功需要從圖11-11的體系中取出長dx的微段，放大如圖11-12。虛位移過程中軸力N(x)在該段上的做功為（10-38）（10-39）外力虛功為§10.5幾何剛度用插值函數(shù)橫向位移并積分得（10-40）圖10-12圖10-11變形梁的微段§10.5幾何剛度如果在推導(dǎo)幾何剛度系數(shù)時(shí)使用了Hermite插值函數(shù)，所得的矩陣為幾何剛度矩陣。假如上式中使用線性插值函數(shù)，且整個單元上軸力是常數(shù)，則導(dǎo)出（10-35）所示的單元幾何剛度矩陣。一致幾何剛度矩陣可以表示平移和轉(zhuǎn)動自由度，而線性近似只能涉及平移。一般形式為（10-41）（10-42）令內(nèi)功等于外功，得幾何剛度系數(shù)為§10.5幾何剛度

各特性矩陣的特性

對一致特性和近似特性的評價(jià)

“一致”特性“近似”特性§10.6特性公式的選擇

計(jì)算所有其它特性時(shí)如果不考慮轉(zhuǎn)動自由度，則在寫出運(yùn)動方程前將其從剛度矩陣中排除。這個過程叫做靜力凝聚。假定轉(zhuǎn)動和平移自由度已經(jīng)分離，（9-5）能寫成分塊形式：（10-44）§10.6特性公式的選擇§10.6特性公式的選擇