第2章 對稱圖形-圓 蘇科版數(shù)學九年級上冊素養(yǎng)檢測(含解析)

第2章對稱圖形——圓素養(yǎng)綜合檢測(滿分100分,限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分,共30分)1.(2022江蘇鹽城阜寧期中)下列說法錯誤的是()A.直徑是圓中最長的弦B.長度相等的兩條弧是等弧C.面積相等的兩個圓是等圓D.半徑相等的兩個半圓是等弧2.(2022山東棗莊中考)將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上,使點C在半圓上,點A,B的讀數(shù)分別為86°,30°,則∠ACB的度數(shù)是()A.28°B.30°C.36°D.56°3.(2022山東泰安中考)如圖,AB是☉O的直徑,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,則☉O的半徑為()A.23B.324.【跨學科·藝術(shù)】(2022河北中考)某款“不倒翁”(圖1)的主視圖是圖2,PA,PB分別與AMB所在圓相切于點A,B.若該圓半徑是9cm,∠P=40°,則AMB的長是(M930207)()圖1圖2A.11πcmB.112πcmC.7πcmD.725.(2022內(nèi)蒙古包頭中考)如圖,AB,CD是☉O的兩條直徑,E是劣弧BC的中點,連接BC,DE.若∠ABC=22°,則∠CDE的度數(shù)為()A.22°B.32°C.34°D.44°6.(2022江蘇南京溧水期中)已知☉O的半徑為4,直線l上有一點M.若OM=4,則直線l與☉O的位置關(guān)系是()A.相交B.相離或相交C.相離或相切D.相交或相切7.(2022安徽中考)已知☉O的半徑為7,AB是☉O的弦,點P在弦AB上.若PA=4,PB=6,則OP=()A.14B.4C.23D.58.【教材變式·P91T6】(2022重慶中考A卷)如圖,AB是☉O的直徑,C為☉O上一點,過點C的切線與AB的延長線交于點P,若AC=PC=33,則PB的長為()A.3B.9.(2022四川德陽中考)如圖,點E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長線和△ABC的外接圓☉O相交于點D,與BC相交于點G,則下列結(jié)論:①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°,則∠BEC=120°;③若點G為BC的中點,則∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正確的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.410.(2022江蘇蘇州模擬)如圖,點A,C,N的坐標分別為(-2,0),(2,0),(4,3),以點C為圓心、2為半徑畫☉C,點P在☉C上運動,連接AP,交☉C于點Q,點M為線段QP的中點,連接MN,則線段MN的最小值為()A.21-63C.13二、填空題(每小題3分,共24分)11.(2022湖北襄陽中考)已知☉O的直徑AB等于2,弦AC長為2,那么弦AC所對的圓周角的度數(shù)等于.

12.(2022廣西玉林中考)如圖,在5×7的網(wǎng)格中,各小正方形邊長均為1,點O,A,B,C,D,E均在格點上,點O是△ABC的外心,在不添加其他字母的情況下,除△ABC外,你認為外心也是O的三角形有 (寫出所有符合條件的三角形).

13.【數(shù)學文化】(2022湖南株洲中考)中國元代數(shù)學家朱世杰所著的《四元玉鑒》中記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”.“方田一段,一角圓池占之.”意思是說:“一塊正方形田地,在其一角有一個圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切).”問題:如圖,正方形一條對角線AB與☉O相交于點M、N(點N在點M的右上方),若AB的長度為10,☉O的半徑為2,則BN的長度為.

14.(2022湖北荊州中考)如圖,將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上,測得瓶高AB=20cm,底面圓直徑BC=12cm,球的最高點到瓶底面的距離為32cm,則球的半徑為cm(玻璃瓶厚度忽略不計).

15.(2022江蘇泰州興化月考)如圖,以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O,過點C作直線切半圓于點F,交AD邊于點E,若△CDE的周長為12,則直角梯形ABCE的周長為.(M930206)

16.(2022重慶中考A卷)如圖,菱形ABCD中,分別以點A,C為圓心,AD,CB長為半徑畫弧,分別交對角線AC于點E,F.若AB=2,∠BAD=60°,則圖中陰影部分的面積為.(結(jié)果不取近似值)

17.(2022山東聊城中考)若一個圓錐的底面積是其表面積的14,則其側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為18.(2022江蘇淮安淮陰模擬)如圖,☉O是正方形ABCD的外接圓,AB=2,點E是劣弧AD上任意一點,CF⊥BE于F.點E從點A出發(fā)按順時針方向運動到點D的過程中,AF的取值范圍是.

三、解答題(共46分)19.【數(shù)學文化】(2022江蘇鹽城亭湖期末)(10分)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積的公式:弧田面積=12(弦×矢+矢2).如圖,弧田由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.∠AOB為120°,弦長AB=23m的弧田.(1)計算弧田的實際面積;(2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計算所得結(jié)果與(1)中計算的弧田實際面積相差多少平方米?(取π近似值為3,3近似值為1.7)20.【跨學科·歷史】(2022甘肅蘭州中考)(10分)綜合與實踐問題情境:我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法,如侯馬鑄銅遺址出土車軎(wèi)范、芯組成的鑄型(如圖1),它的端面是圓形.圖2是用“矩”(帶直角的角尺)確定端面圓心的方法:將“矩”的直角尖端A沿圓周移動,直到AB=AC,在圓上標記A,B,C三點;將“矩”向右旋轉(zhuǎn),使它左側(cè)邊落在A,B點上,“矩”的另一條邊與圓的交點標記為D點,這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A,B,C,D四點,連接AD,BC相交于點O,即O為圓心. 圖1 圖2 (1)問題解決:請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法,用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O.如圖3,點A,B,C在☉O上,AB⊥AC,且AB=AC,請作出圓心O.(保留作圖痕跡,不寫作法)(2)類比遷移:小梅受此問題的啟發(fā),在研究了用“矩”(帶直角的角尺)確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn),如果AB和AC不相等,用三角板也可以確定圓心O.如圖4,點A,B,C在☉O上,AB⊥AC,請作出圓心O.(保留作圖痕跡,不寫作法)(3)拓展探究:小梅進一步研究,發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差,用平時學的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點A,B,C是☉O上任意三點,請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O.(保留作圖痕跡,不寫作法)請寫出你確定圓心的理由: .

21.(2022山東濟南中考)(12分)已知:如圖,AB為☉O的直徑,CD與☉O相切于點C,交AB延長線于點D,連接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交☉O于點E,過點B作BF⊥CE,垂足為F.(1)求證:CA=CD;(2)若AB=12,求線段BF的長.22.(14分)有這樣一道習題:如圖1,已知OA和OB是☉O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(不與O、A重合),BP的延長線交☉O于Q,過Q點作☉O的切線交OA的延長線于R.求證:RP=RQ.請?zhí)骄肯铝凶兓?變化一:交換題設(shè)與結(jié)論.已知:如圖1,OA和OB是☉O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(不與O、A重合),BP的延長線交☉O于Q,R是OA的延長線上一點,且RP=RQ.求證:RQ為☉O的切線.變化二:運動探究:(1)如圖2,若OA向上平移,變化一中的結(jié)論還成立嗎?(不需要證明)(2)如圖3,如果P在OA的延長線上,BP交☉O于Q,過點Q作☉O的切線交OA的延長線于R,原題中的結(jié)論還成立嗎?為什么?(3)若OA所在的直線向上平移且與☉O無公共點,請你根據(jù)原題中的條件完成圖4,并判斷結(jié)論是否還成立.(不需要證明) 圖1 圖2 圖3 圖4

答案全解全析1.BA.直徑是圓中最長的弦,所以本選項的說法正確,不符合題意;B.在同圓或等圓中,長度相等的兩條弧是等弧,所以本選項的說法錯誤,符合題意;C.面積相等的兩個圓的半徑相等,則它們是等圓,所以本選項的說法正確,不符合題意;D.半徑相等的兩個半圓是等弧,所以本選項的說法正確,不符合題意.故選B.2.A連接OA,OB(圖略).由題意得,∠AOB=86°-30°=56°,∴∠ACB=12∠AOB=28°,故選A3.D方法一:如圖1,連接CO并延長交☉O于點E,連接AE,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠ACD=∠CAB,∴∠ACD=∠ACO,∴AE=AD=2,∵CE是直徑,∴∠EAC=90°,在Rt△EAC中,AE=2,AC=4,∴EC=22+42=25 圖1 圖2方法二:如圖2,連接BC,∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∵∠ACD=∠CAB,∴AD=BC,∴BC=在Rt△ABC中,AB=AC∴☉O的半徑為5.故選D.4.A作OA⊥PA,OB⊥PB,OA,OB交于點O,如圖,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠P=40°,∴∠AOB=140°,∴優(yōu)弧AMB對應(yīng)的圓心角為360°-140°=220°,∴優(yōu)弧AMB的長是220π×9180=11π(cm),故選A5.C連接OE,∵OC=OB,∠ABC=22°,∴∠OCB=∠ABC=22°,∴∠BOC=180°-22°×2=136°,∵E是劣弧BC的中點,∴CE=∴∠COE=12×136°=68°,∴∠CDE=12∠COE=12×68°=34°,6.D當OM垂直于直線l,即圓心O到直線l的距離為4時,☉O與直線l相切;當OM不垂直于直線l,即圓心O到直線l的距離小于4時,☉O與直線l相交.故直線l與☉O的位置關(guān)系是相切或相交.故選D.7.D如圖,過點O作OC⊥AB于點C,連接OB,則OB=7,∵PA=4,PB=6,∴AB=PA+PB=10,∵OC⊥AB,∴AC=BC=5,∴PC=PB-BC=1,在Rt△OBC中,根據(jù)勾股定理得OC2=OB2-BC2=72-52=24,在Rt△OPC中,根據(jù)勾股定理得OP=OC2+P8.D如圖,連接OC,∵PC是☉O的切線,∴∠PCO=90°,∵OC=OA,∴∠A=∠OCA,∵AC=PC,∴∠P=∠A,設(shè)∠A=∠OCA=∠P=x°,在△APC中,∠A+∠P+∠PCA=180°,∴x+x+90+x=180,∴x=30,∴∠P=30°,∴OP=2OC,設(shè)☉O的半徑為r,在Rt△POC中,OP2=OC2+PC2,∴4r2=r2+(33)2,∴r=3,∴PB=OP-OB=2r-r=r=3.故選D.9.D∵E是△ABC的內(nèi)心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,故①正確;如圖,連接BE,CE,∵E是△ABC的內(nèi)心,∴∠EBC=12∠ABC,∠ECB=12∠∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-12(∠ABC+∠ACB)=120°,故②正確連接OD,∵∠BAD=∠CAD,∴BD=DC,∴OD⊥∵點G為BC的中點,∴G一定在OD上,∴∠BGD=90°,故③正確;∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∵∠DBC=∠DAC=∠BAD,∴∠DBC+∠EBC=∠EBA+∠EAB,∴∠DBE=∠DEB,∴BD=DE,故④正確.∴一定正確的是①②③④,共4個.故選D.10.B如圖1,連接CM,OM,圖1∵A(-2,0),C(2,0),∴AC=4,O是AC的中點,∵M是QP的中點,∴CM⊥QP,∴∠AMC=90°,∴OM=12AC∴點M在以O(shè)為圓心,2為半徑的☉O上,如圖2,當O、M、N三點共線時,MN有最小值,圖2∵N(4,3),∴ON=42∵OM=2,∴MN=ON-OM=5-2=3,∴線段MN的最小值為3,故選B.11.答案45°或135°解析如圖,∵OA=OC=1,AC=2,∴OA2+OC2=AC2,∴∠AOC=90°,∴∠ADC=45°,∴∠AD'C=135°,故答案為45°或135°.12.答案△ABD,△ACD,△BCD解析由題圖可知,OA=12+22=5,OB=12+22=5,∴OA=OB=OC=OD≠OE,∴△ABD,△ACD,△BCD的外心都是點O,故答案為△ABD,△ACD,△BCD.13.答案8-22解析如圖,設(shè)正方形的一邊與☉O的切點為C,連接OC,則OC⊥AC,∵四邊形是正方形,AB是對角線,∴∠OAC=45°,∴△AOC為等腰直角三角形,∴OA=AC∴BN=AB-AN=10-22-2=8-214.答案7.5解析如圖,連接AD,設(shè)球心為O,過O作OM⊥AD于M,連接OA,設(shè)球的半徑為rcm,由題意得AD=12cm,OM=32-20-r=(12-r)cm,由垂徑定理得AM=DM=12AD在Rt△OAM中,由勾股定理得AM2+OM2=OA2,即62+(12-r)2=r2,解得r=7.5,即球的半徑為7.5cm,故答案為7.5.15.答案14解析設(shè)AE的長為x,正方形ABCD的邊長為a,∵CE與半圓O相切于點F,∴AE=EF,BC=CF,∵EF+FC+CD+ED=12,∴AE+ED+CD+BC=12,∵AD=CD=BC=AB,∴正方形ABCD的邊長為4.在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4-x)2+42=(4+x)2,解得x=1,∴AE+EF+FC+BC+AB=14,∴直角梯形ABCE的周長為14.16.6解析如圖,連接BD交AC于點O,則AC⊥BD,∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴∠BAC=∠DAC=30°,AB=BC=CD=DA=2,∴在Rt△AOB中,BO=12AB=1,AO=A∴AC=2OA=23,BD=2BO=2,∴S菱形ABCD=12∴S陰影=S菱形ABCD-2S扇形ADE=23-17.答案120°解析設(shè)底面圓的半徑為r,側(cè)面展開圖扇形的半徑為R,扇形的圓心角為n°.由題意得底面積=πr2,底面周長=2πr,∵這個圓錐的底面積是其表面積的14∴S扇形=3πr2,扇形弧長=2πr.∵S扇形=12×2πr·R,∴3πr2=12×2πr·R,∴R∵扇形弧長=nπR180,∴2πr=nπ·故答案為120°.18.答案5-1≤解析如圖,∵CF⊥BE,∴∠CFB=90°,∴點F的運動軌跡是以BC為直徑的☉O',連接AO'交☉O'于M.在Rt△ABO'中,AO'=22+12=5∴點E從點A出發(fā)按順時針方向運動到點D的過程中,AF的最小值為5-1,最大值為2,∴5-1≤AF≤2.19.解析(1)∵OD⊥AB,OD為半徑,∴AC=12∠AOC=12∠AOB=12×120°=60∴∠OAC=30°,設(shè)OC=xm,則AO=2xm,在Rt△ACO中,OC2+AC2=OA2,即x2+(3)2=(2x)2,解得x=1(舍負),∴OA=2m,∴弧田的實際面積=S扇形AOB-S△OAB=120π×22360(2)∵圓心到