2024年廣東省深圳市福田區(qū)重點(diǎn)學(xué)校直升適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（含答案）

年廣東省深圳重點(diǎn)學(xué)校直升適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷八．?dāng)?shù)學(xué)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)是正確的）1．（3分）實(shí)數(shù)﹣2的相反數(shù)是（）A．﹣2 B．2 C． D．2．（3分）已知a＝，b＝2，c＝，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a3．（3分）函數(shù)y＝的大致圖象是（）A． B． C． D．4．（3分）小明同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)y＝（a、b為常數(shù)）的圖象如圖所示，由學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可以推斷常數(shù)a、b的值滿足（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜05．（3分）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)y＝（k1＞0，x＞0）的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)A、B，交函數(shù)y＝（k2＞0，x＞0）的圖象于點(diǎn)C、D，連接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列結(jié)論：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①九．?dāng)?shù)學(xué)填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）6．（3分）用半徑為24cm，面積為120πcm2的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為cm．7．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為．8．（3分）平面上5個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)部分．9．（3分）如圖，四邊形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，則AB＝．10．（3分）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)B是x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥AB，垂足為A，且AC?AB＝6．當(dāng)點(diǎn)B從坐標(biāo)原點(diǎn)O起沿x軸向右運(yùn)動到終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑的長度是．十一．?dāng)?shù)學(xué)解答題（本大題共4小題，共30分）11．（3分）計(jì)算：．12．（9分）【問題情境】在綜合實(shí)踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30°的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，設(shè)AB＝2．【操作探究】如圖1，先將△ADB和△A′D′C的邊AD、A′D′重合，再將△A′D′C繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），旋轉(zhuǎn)過程中△ADB保持不動，連接BC．（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，BC＝；當(dāng)BC＝2時(shí)，α＝°；（2）當(dāng)α＝90°時(shí)，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；（3）如圖2，取BC的中點(diǎn)F，將△A′D′C′繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動路徑長為．13．（9分）如圖，已知點(diǎn)A（1，2）、B（5，n）（n＞0），點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P．小明說：“點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B的過程中，k值逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A位置時(shí)k值最小，在點(diǎn)B位置時(shí)k值最大．”（1）當(dāng)n＝1時(shí)．①求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式．②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請說明理由；若不完全同意，也請說明理由，并求出正確的k的最小值和最大值．（2）若小明的說法完全正確，求n的取值范圍．14．（9分）定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）理解應(yīng)用：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是垂等四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）綜合探究：如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，C，D兩點(diǎn)在該拋物線上．若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是垂等四邊形．設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為n，且m＞n，求m的值．參考答案與試題解析八．?dāng)?shù)學(xué)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)是正確的）1．（3分）實(shí)數(shù)﹣2的相反數(shù)是（）A．﹣2 B．2 C． D．【解答】解：﹣2的相反數(shù)是2．故選：B．2．（3分）已知a＝，b＝2，c＝，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵3＜4＜5，∴＜＜，即＜2＜，則a＞b＞c，故選：C．3．（3分）函數(shù)y＝的大致圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：由函數(shù)y＝可知，函數(shù)是雙曲線，它的兩個(gè)分支分別位于第一、二象限，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大．故選：A．4．（3分）小明同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)y＝（a、b為常數(shù)）的圖象如圖所示，由學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可以推斷常數(shù)a、b的值滿足（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0【解答】解：由圖象可知，當(dāng)x＞0時(shí)，y＜0，∴a＜0；x＝﹣b時(shí)，函數(shù)值不存在，∴﹣b＜0，∴b＞0；故選：C．5．（3分）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)y＝（k1＞0，x＞0）的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)A、B，交函數(shù)y＝（k2＞0，x＞0）的圖象于點(diǎn)C、D，連接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列結(jié)論：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①【解答】解：∵PB⊥y軸，PA⊥x軸，點(diǎn)P在上，點(diǎn)C，D在上，設(shè)P（m，），則C（m，），A（m，0），B（0，），令，則，即D（，），∴PC＝，PD＝，∵＝＝，＝＝，即，又∠DPC＝∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC＝∠PBA，∴CD∥AB，故①正確；△PDC的面積＝＝，故③正確；S△OCD＝S四邊形OAPB﹣S△OCA﹣S△OBD﹣S△DPC＝＝，故②錯(cuò)誤；故選：B．九．?dāng)?shù)學(xué)填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）6．（3分）用半徑為24cm，面積為120πcm2的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為5cm．【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，則×2πr×24＝120π，解得：r＝5，故答案為：5．7．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為．．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時(shí)除以ac得：＝+1，令＝x，則有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），當(dāng)x＝時(shí)，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案為：．8．（3分）平面上5個(gè)圓最多能把平面分成22個(gè)部分．【解答】解：1個(gè)圓最多把平面分成2部分，如圖1所示；2個(gè)圓最多把平面分成1×2+2＝4部分，如圖2所示；3個(gè)圓最多把平面分成（1+2）×2+2＝8個(gè)部分，如圖3所示；…，以此類推，n個(gè)圓最多把平面分成（1+2+3+…+n﹣1）×2+2個(gè)部分；∴5個(gè)圓最多把平面分成（1+2+3+4）×2+2＝22個(gè)部分．故答案為：22．9．（3分）如圖，四邊形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，則AB＝2．【解答】解：過點(diǎn)D作DE垂直BC的延長線于點(diǎn)E，∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°，∵∠ACD＝45°，∴∠DCE＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE，∵CD＝3，∴2DE2＝CD2，即2DE2＝（3）2，解得DE＝3，∴CE＝DE＝3，∵BC＝2，∴BE＝BC+CE＝2+3＝5，∴BD＝＝＝，∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴點(diǎn)A、B、C、D在以AB為直徑的圓上，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝，∴AB＝＝＝2．10．（3分）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)B是x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥AB，垂足為A，且AC?AB＝6．當(dāng)點(diǎn)B從坐標(biāo)原點(diǎn)O起沿x軸向右運(yùn)動到終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑的長度是π．【解答】解：如圖，作AH⊥OD于H，作AG⊥y軸于G，在AG上截取AF＝2，設(shè)AC的延長線交y軸于E，∵A（3，3），D（6，0），∴AH＝OH＝DH＝3，∴OA＝AD，∠DAO＝90°，∠AOD＝∠ADO＝45°，∴∠AOE＝∠ADO＝45°，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝∠DAO，∴∠CAO＝∠BAD，∴△AOE≌△ADB（ASA），∴AE＝AB，∴AC?AB＝AC?AE＝6，∵AF?AG＝6，∠CAF＝∠EAG，∴△ACF∽△AGE，∴∠ACF＝∠AGE＝90°，∴當(dāng)點(diǎn)B從坐標(biāo)原點(diǎn)Q起沿x軸向右運(yùn)動到終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動的路線是半圓，∵AF＝2，∴半圓WV的長是π，故答案為：π．十一．?dāng)?shù)學(xué)解答題（本大題共4小題，共30分）11．（3分）計(jì)算：．【解答】解：原式＝＝＝4+1＝5．12．（9分）【問題情境】在綜合實(shí)踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30°的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，設(shè)AB＝2．【操作探究】如圖1，先將△ADB和△A′D′C的邊AD、A′D′重合，再將△A′D′C繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），旋轉(zhuǎn)過程中△ADB保持不動，連接BC．（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，BC＝2；當(dāng)BC＝2時(shí)，α＝30或210°；（2）當(dāng)α＝90°時(shí)，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；（3）如圖2，取BC的中點(diǎn)F，將△A′D′C′繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動路徑長為2π．【解答】解：（1）如圖：∵∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，∴∠BAD＝∠D'AC＝60°，∴當(dāng)α＝60°時(shí)，A，D'，B共線，A，D，C共線，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝2；當(dāng)BC＝2時(shí)，過A作AH⊥BC于H，如圖：∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝，∴sin∠BAH＝＝，∴∠BAH＝45°，∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，∴α＝120°﹣90°＝30°；如圖：同理可得∠BAC＝90°，∴α＝60°+90°+60°＝210°，∴當(dāng)BC＝2時(shí)，α＝30°或210°；故答案為：2，30或210；（2）如圖：∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，∴AD＝1，∵α＝90°，∴∠BAC＝60°+60°﹣90°＝30°，∴∠QAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，∴DQ＝＝，∴S△ADQ＝×1×＝，∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，∴四邊形ADPD'是正方形，∴DP＝AD＝1，∴S△APD＝×1×1＝，∴S△APQ＝﹣，同理S△AD'R＝﹣，∴兩塊三角板重疊部分圖形的面積為1﹣；（3）連接AF，如圖：∵AB＝AC，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，∴∠AFB＝90°，∴F的運(yùn)動軌跡是以AB為直徑的圓，∴點(diǎn)F的運(yùn)動路徑長為2π×＝2π．故答案為：2π．13．（9分）如圖，已知點(diǎn)A（1，2）、B（5，n）（n＞0），點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P．小明說：“點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B的過程中，k值逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A位置時(shí)k值最小，在點(diǎn)B位置時(shí)k值最大．”（1）當(dāng)n＝1時(shí)．①求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式．②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請說明理由；若不完全同意，也請說明理由，并求出正確的k的最小值和最大值．（2）若小明的說法完全正確，求n的取值范圍．【解答】解：（1）①當(dāng)n＝1時(shí)，B（5，1），設(shè)線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n，把A（1，2）和B（5，1）代入得：，解得：，則線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+；②不完全同意小明的說法，理由為：k＝xy＝x（﹣x+）＝﹣（x﹣）2+，∵1≤x≤5，∴當(dāng)x＝1時(shí)，kmin＝2；當(dāng)x＝時(shí)，kmax＝，則不完全同意；（2）當(dāng)n＝2時(shí)，A（1，2），B（5，2），符合；當(dāng)n≠2時(shí)，y＝x+，k＝x（x+）＝（x﹣）2+，當(dāng)n＜2時(shí)，k隨x的增大而增大，則有≥5，此時(shí)≤n＜2；當(dāng)n＞2時(shí)，k隨x的增大而增大，則有≤1，此時(shí)n＞2，綜上，n≥．14．（9分）定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）理解應(yīng)用：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是垂等四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4）．（2）綜合探究：如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，C，D兩點(diǎn)在該拋物線上．若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是垂等四邊形．設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為n，且m＞n，求m的值．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），∴OE＝b，BE＝a，∵∠BOE+∠OCA＝90°，∠CAO+∠OCA＝90°，∴∠BOE＝∠CAO，∵∠BEO＝∠COA＝90°，AC＝OB，∴△BEO≌△COA（AAS），∴BE＝OC＝3，OE＝OA＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4）；故答案為（3，4）；（2）把y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），若點(diǎn)C，