2023~2024學年廣東省廣州市各區(qū)九年級上學期期末考試數(shù)學試題匯編：二次函數(shù)（含解析）

~2024學年廣東省廣州市各區(qū)九年級上學期期末考試數(shù)學試題匯編：二次函數(shù)一、二次函數(shù)的性質(zhì)1.（2023~2024學年廣東省廣州市海珠區(qū)）關于二次函數(shù)下列說法正確的是（）A.開口向上 B.對稱軸是軸C.有最小值 D.當時，函數(shù)隨的增大而減小2.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.3.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）二次函數(shù)的對稱軸是（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線4.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖是二次函數(shù)的圖象，則不等式的解集是（）A. B.或C. D.或5.（2023~2024學年廣東省廣州市花都區(qū)）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點點A在點B的左側(cè)，動點P從A點出發(fā)，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為A.B.C.D.6.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）二次函數(shù)的圖象上有兩點，，則此拋物線的對稱軸是直線______．7.（2023~2024學年廣東省廣州市花都區(qū)）拋物線的頂點坐標是________．8.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）已知點在二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖像上．若，則m______n．（填“”、“”或“”）．二、二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系1.（2023~2024學年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，拋物線經(jīng)過等腰直角三角形的兩個頂點A，B，點A在y軸上，則的值為()A. B. C. D.2.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）已知點，都在一次函數(shù)（，是常數(shù)，）的圖象上，（）A.若有最大值4，則的值為 B.若有最小值4，則的值為C.若有最大值，則的值為4 D.若有最小值，則的值為43.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，拋物線交軸于兩點，交軸的負半軸于點，頂點為.下列結(jié)論：①；②；③若為該拋物線上兩點且，則；④若是等腰直角三角形，則；⑤若是關于的一元二次方程的兩個根，則.其中正確的是（）.A.①②③ B.③④⑤ C.①④⑤ D.①③④4.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）二次函數(shù)圖象上部分點的坐標滿足下表∶x…01234…y…830m3…下列說法中：①該二次函數(shù)的對稱軸為直線；②；③不等式的解集為；④方程有兩個不相等的實數(shù)根，正確的個數(shù)有（）個．A.1 B.2 C.3 D.45.（2023~2024學年廣東省廣州市黃埔區(qū)）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤6.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，，三點，且．在下列四個結(jié)論中：①；②；③當時，若點在該拋物線上，則；④若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則；其正確結(jié)論的序號是（）．A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④7.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）如圖，拋物線與軸交于點，與軸的交點在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線，則下列結(jié)論：①時，；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知二次函數(shù)的函數(shù)值和自變量的部分對應取值如下表所示：…0123……11…若在這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則的取值范圍是__________.9.（2023~2024學年廣東省廣州市白云區(qū)）如圖，拋物線的開口向上，經(jīng)過點和且與y軸交于負半軸．則下列結(jié)論：①，②；③；④；其中正確的結(jié)論是________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）三、二次函數(shù)的圖像的平移1.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）將拋物線y=3x2向上平移2個單位，得到拋物線的解析式是（）A.y=3x2﹣2 B.y=3x2 C.y=3（x+2）2 D.y=3x2+22.（2023~2024學年廣東省廣州市黃埔區(qū)）在平面直角坐標系中，將拋物線y=3x2先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（）A.y=3（x+1）2+2 B.y=3（x+1）2﹣2C.y=3（x﹣1）2+2 D.y=3（x﹣1）2﹣23.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）在平面直角坐標系中，將拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線頂點坐標是（）．A. B. C. D.4.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）把拋物線向上平移4個單位，所得拋物線的函數(shù)表達式為__________．5.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）把二次函數(shù)的圖象向上平移4個單位，則得到的拋物線解析式為_______．四、二次函數(shù)的應用1.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面時，水面寬，若水面下降，則水面寬度增加________．（結(jié)果可保留根號）2.（2023~2024學年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關系式是．（1）當小球運動的時間是多少時，小球回落到地面處？（2）求小球在運動過程中的最大高度．3.（2023~2024學年廣東省廣州市白云區(qū)）如圖，四邊形的對角線AC，BD互相垂直，AC+BD＝10．當AC，BD的長是多少時，四邊形ABCD面積最大？4.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從工廠以35元/件的進價購進一批紀念“二十大”的鑰匙扣，售價為60元/件時，第一天銷售了25件．該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，第三天的銷售量達到了36件．（1）求每天銷售量的平均增長率．（2）“二十大”臨近結(jié)束時，鑰匙扣還有大量剩余，為了盡快減少庫存，網(wǎng)店打算將鑰匙扣降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，在第三天的銷售量基礎上每天可多售2件，將鑰匙扣的銷售價定為每件多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？5.（2023~2024學年廣東省廣州市海珠區(qū)）某店銷售一種環(huán)保建筑涂料，當每桶售價為300元時，月銷售量為60桶，該店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當該涂料每桶售價每下降5元時，月銷售量就會增加10桶，每售出1桶涂料共需支付廠家及其他費用200元．（1）當每桶售價是280元時，求此時該店的月銷售量為多少桶？（2）求每桶降價多少元時，該店能獲得最大月利潤？最大月利潤為多少元？6.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）2022年教育部正式印發(fā)《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，《勞動》成為一門獨立的課程.某學校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖園（靠墻的一邊不需用籬笆），墻長為16米.（1）當圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為108平方米時，求養(yǎng)殖園的邊的長；（2）求矩形養(yǎng)殖園面積的最大值.7.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）某網(wǎng)店專門銷售杭州第十九屆亞運會吉祥物機器人“江南憶”套裝，成本為每件30元，每天銷售（件）與銷售單價（元）之間存在一次函數(shù)關系，如圖所示，網(wǎng)店每天的銷售利潤為元，網(wǎng)店希望每天吉祥物機器人“江南憶”套裝的銷售量不低于220件（1）求與之間的函數(shù)關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？（3）如果每天的利潤不低于3000元，求銷售單價（元）的取值范圍五、求函數(shù)解析式1.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖是拋物線的圖象．（1）當取何值時，的值隨著的增大而增大？（2）求拋物線與軸的交點坐標．2.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．（1）求b和c的值；（2）自變量x在什么范圍內(nèi)取值時，y隨x的增大而減?。?.（2023~2024學年廣東省廣州市海珠區(qū)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其中圖象與x軸交于點A和點B．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出不等式的解集．4.（2023~2024學年廣東省廣州市花都區(qū)）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點、、．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）觀察函數(shù)圖象，試直接寫出時，的取值范圍．5.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)，圖象經(jīng)過、兩點．（1）求二次函數(shù)的解析式及它的對稱軸；（2）設點是拋物線上的一個動點，橫坐標為，①當，則點的縱坐標的取值范圍是___________；②過點做軸，交直線于，當線段時，請求出m的值．6.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，直線分別交軸，軸于兩點，經(jīng)過兩點的拋物線與軸的正半軸相交于點.（1）求拋物線的解析式；（2）結(jié)合圖象，直接寫出不等式的解集.7.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）已知拋物線和直線，拋物線的對稱軸與直線交于點，點與的頂點的距離是4．（1）求的解析式；（2）若隨著的增大而減小，且與都經(jīng)過軸上的同一點，求的解析式．六、其他1.（2023~2024學年廣東省廣州市黃埔區(qū)）對于拋物線y＝x2﹣4x+3．（1）它與x軸交點的坐標為，與y軸交點的坐標為，頂點坐標為；（2）在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；x……y……（3）結(jié)合圖象直接回答：當0＜x＜3時，則y的取值范圍是．2.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）校藝術節(jié)上，甲同學用腰長為的等腰直角三角形卡紙裁剪出如圖所示的矩形紙片，且矩形的四個頂點都在的邊上．（1）若甲裁剪出來的矩形紙片周長是紙片周長的一半，那么這個矩形紙片的寬是___________cm；（2）設的長度為，矩形的面積為，①求關于的函數(shù)解析式；②求矩形的面積的最大值．3.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，那么的面積S隨出發(fā)時間t而變化．（1）求出S關于t的函數(shù)解析式，寫出t的取值范圍；（2）當t取何值時，S最大？最大值是多少？2023~2024學年廣東省廣州市各區(qū)九年級上學期期末考試數(shù)學試題匯編：二次函數(shù)答案解析一、二次函數(shù)的性質(zhì)1.（2023~2024學年廣東省廣州市海珠區(qū)）關于二次函數(shù)下列說法正確的是（）A.開口向上 B.對稱軸是軸C.有最小值 D.當時，函數(shù)隨的增大而減小【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項判斷即可，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關鍵．【詳解】解：拋物線中，，拋物線開口向下，對稱軸是軸，故A錯誤，B正確；函數(shù)有最大值，當當時，函數(shù)隨的增大而增大，故C、D錯誤，故選：B．2.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的頂點坐標，掌握的頂點坐標是是解題的關鍵．【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，故選B．3.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）二次函數(shù)的對稱軸是（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線【答案】A【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點坐標為，對稱軸為直線．根據(jù)頂點式的對稱軸為直線求解即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線．故選A．4.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖是二次函數(shù)的圖象，則不等式的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】本題考查利用二次函數(shù)圖象求不等式的解集，求出點關于對稱軸的對稱點，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出的解集．【詳解】解：由圖可知二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，與y軸的交點坐標為，由二次函數(shù)圖象的對稱性可知，點也在函數(shù)的圖象上，由圖可知，當或時，對應的y值小于3，因此的解集為：或．故選：D．5.（2023~2024學年廣東省廣州市花都區(qū)）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點點A在點B的左側(cè)，動點P從A點出發(fā)，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意求得點A與B的坐標，求得拋物線的對稱軸，然后作點A關于拋物線的對稱軸x=的對稱點A′，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點是E，與x軸的交點是F，而且易得A′B′即是所求的長度．【詳解】解：如圖∵拋物線y=x2-x-與直線y=x-2交于A、B兩點，∴x2-x-=x-2，解得：x=1或x=，當x=1時，y=x-2=-1，當x=時，y=x-2=-，∴點A的坐標為（，-），點B的坐標為（1，-1），∵拋物線對稱軸方程為：x=-=作點A關于拋物線的對稱軸x=的對稱點A′，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，則直線A′B′與對稱軸（直線x=）的交點是E，與x軸的交點是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴點P運動的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延長BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，∴A′B′=．∴點P運動的總路徑的長為．故選A．【點睛】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用．注意找到點P運動的最短路徑是解此題的關鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應用．6.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）二次函數(shù)的圖象上有兩點，，則此拋物線的對稱軸是直線______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的對稱性，掌握拋物線上函數(shù)值相等的點關于拋物線對稱軸對稱是解題的關鍵．根據(jù)拋物線上函數(shù)值相等的點關于拋物線對稱軸對稱可求得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，∴該拋物線的對稱軸是直線故答案為：7.（2023~2024學年廣東省廣州市花都區(qū)）拋物線的頂點坐標是________．【答案】(2,1)【解析】【分析】利用配方法得出二次函數(shù)頂點式形式，即可得出二次函數(shù)頂點坐標．【詳解】=，拋物線開口向上，當x=2時，y最小=1，頂點坐標是：(2,1)，故答案為：(2,1)．【點睛】此題主要考查了配方法求二次函數(shù)頂點坐標，根據(jù)題意正確的將二次函數(shù)進行配方是解決問題的關鍵．8.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）已知點在二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖像上．若，則m______n．（填“”、“”或“”）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判定．【詳解】解：二次函數(shù)的解析式為，該拋物線對稱軸為，．當時，隨的增大而減小，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能求出對稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關鍵．二、二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系1.（2023~2024學年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，拋物線經(jīng)過等腰直角三角形的兩個頂點A，B，點A在y軸上，則的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應用，過點作于點，得到點坐標為，將點代入解析式進行求解即可．解題的關鍵是求得點的坐標．【詳解】解：∵，當時，，∴，∴，過點作于點，∵等腰直角三角形，∴，∴點坐標為，∵點在拋物線上，∴，∴，∴；故選C．2.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）已知點，都在一次函數(shù)（，是常數(shù)，）的圖象上，（）A.若有最大值4，則的值為 B.若有最小值4，則的值為C.若有最大值，則的值為4 D.若有最小值，則的值為4【答案】D【解析】【分析】則點，都在一次函數(shù)的圖象上，求得，，得到，推出當時，有最小值，當時，有最大值，根據(jù)四個選項即可求解．【詳解】解：∵點，都在一次函數(shù)的圖象上，∴，，即，∴，當時，有最小值，當時，有最大值，A、若有最大值，解得，故本選項不符合題意；B、若有最小值，解得，故本選項不符合題意；C、若有最大值，則的值為4，故本選項不符合題意；D、若有最小值，則，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．3.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，拋物線交軸于兩點，交軸的負半軸于點，頂點為.下列結(jié)論：①；②；③若為該拋物線上兩點且，則；④若是等腰直角三角形，則；⑤若是關于的一元二次方程的兩個根，則.其中正確的是（）.A.①②③ B.③④⑤ C.①④⑤ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，交軸的負半軸于點，得出，，，即可判斷①；由頂點為得出，從而得到，再將代入拋物線解析式得出，得出，即可判斷②；判斷出離對稱軸大于離對稱軸的距離，即可判斷③；由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，再由待定系數(shù)法求出的值，即可判斷④；由題意可得：，從而得出，即可判斷⑤．【詳解】解：拋物線開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，交軸的負半軸于點，，，，，，故①正確，符合題意；頂點為，對稱軸為直線，，，，拋物線交軸于，，，，故②錯誤，不符合題意；，，，離對稱軸大于離對稱軸的距離，，故③正確，符合題意；拋物線交軸于兩點，對稱軸為，，，是等腰直角三角形，，，，解得：（不符合題意，舍去）或，，設拋物線的解析式為，把代入解析式得：，解得：，故④正確，符合題意；由題意可得：，，，，故⑤錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①③④，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求拋物線解析式，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關鍵．4.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）二次函數(shù)圖象上部分點的坐標滿足下表∶x…01234…y…830m3…下列說法中：①該二次函數(shù)的對稱軸為直線；②；③不等式的解集為；④方程有兩個不相等的實數(shù)根，正確的個數(shù)有（）個．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與方程、不等式的關系．利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程、不等式的關系逐個進行判斷．【詳解】由表可知，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，，，∴，解得，∴二次函數(shù)為，∵，∴該二次函數(shù)的對稱軸為直線，故①正確；∵，∴，故②錯誤；把代入二次函數(shù)中，得，∴∵二次函數(shù)的圖象開口向上，與x軸的交點坐標為，，∴不等式的解集為，故③正確；∵方程即為，整理為，解得，，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故④正確．綜上所述，說法正確的共有3個．故選：C5.（2023~2024學年廣東省廣州市黃埔區(qū)）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤【答案】D【解析】【詳解】解：①∵函數(shù)開口方向向上，∴a＞0；∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴a、b異號，∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），∴當x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯誤；③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），∴當x=﹣1時，y==0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對稱軸為直線x=1，∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣=4?a?（﹣3a）﹣=＜0，∵8a＞0，∴4ac﹣＜8a，故③正確；④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞，故④正確；⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c，故⑤正確．故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系，熟練掌握圖像與系數(shù)的關系，數(shù)形結(jié)合來進行判斷是解題的關鍵．6.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，，三點，且．在下列四個結(jié)論中：①；②；③當時，若點在該拋物線上，則；④若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則；其正確結(jié)論的序號是（）．A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④【答案】B【解析】【分析】把代入得，即可判斷①正確；根據(jù)圖象經(jīng)過，，且拋物線與軸的一個交點一定在或的右側(cè)，判斷出拋物線的開口一定向下，即，繼而得出拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)，得出拋物線的頂點在點的右側(cè)，得出1，根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)即可得出即可判斷②正確；根據(jù)拋物線對稱軸在直線的右側(cè)，得出到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，根據(jù)，拋物線開口向下，距離拋物線的對稱軸越近的函數(shù)值越大，即可得出③錯誤；根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)解，得出，由，即，求出，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出，即，根據(jù)，得出，求出的取值范圍，即可判斷④正確．【詳解】解：圖象經(jīng)過，則把代入，得：，故①正確；圖象經(jīng)過，，即拋物線與軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則拋物線與軸的交點都在的左側(cè)，∵中，∴拋物線與軸的一個交點一定在或的右側(cè)，∴拋物線的開口一定向下，即，∵，即∵，，∴，，∴方程的兩個根的積大于0，即，∵，∴，∴，即拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)，∴拋物線的頂點在點的右上方，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴當時，，∴拋物線對稱軸在直線的右側(cè)，∴到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，∵，拋物線開口向下，∴距離拋物線越近的函數(shù)值越大，∴，故③錯誤；方程可變?yōu)?，∵方程有兩個相等的實數(shù)解，∴．∵，即∴，即，∴，∴，即，∵，在拋物線上，∴，為方程的兩個根，∴，∴，∵，∴，∴．故④正確．綜上，正確結(jié)論有：①②④．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，拋物線與軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是解題的關鍵．7.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）如圖，拋物線與軸交于點，與軸的交點在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線，則下列結(jié)論：①時，；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，對稱性和特殊點判斷①，對稱軸判斷②，對稱軸和特殊點求出的關系，判斷③，對稱軸與特殊點判斷④；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關鍵．【詳解】解：∵拋物線與軸交于點，對稱軸為直線，∴，拋物線與軸的另一個交點坐標為，∴，當，故①正確；∵拋物線的開口向下，∴，∴；故②正確；∵拋物線與軸交于點，∴，∴，∴，∵拋物線與軸的交點在和之間（不包括這兩點），∴，∴；故③正確；由圖象可知，當時，，∴，∴；故④正確；綜上：正確的有4個；故選：D．8.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知二次函數(shù)的函數(shù)值和自變量的部分對應取值如下表所示：…0123……11…若在這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則的取值范圍是__________.【答案】##【解析】【分析】本題考察了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)：先由表格數(shù)據(jù)得到，結(jié)合這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，得，把代入，化簡計算，即可作答．【詳解】解：∵表格數(shù)據(jù)中，時所對應的∴對稱軸∴∵這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，∴，為非正數(shù)則開口向上把，代入，則∴則解得根據(jù)開口向上∴故答案為：9.（2023~2024學年廣東省廣州市白云區(qū)）如圖，拋物線的開口向上，經(jīng)過點和且與y軸交于負半軸．則下列結(jié)論：①，②；③；④；其中正確的結(jié)論是________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，綜合應用相關知識分析問題、解決問題的能力是關鍵．由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】拋物線過，a＋b＋c＝0，故①正確；觀察圖象得：拋物線開口向上，對稱軸，且與y軸交于負半軸，，，，故②錯誤，觀察圖象得：，，，，故③正確，拋物線經(jīng)過點和，，，故④正確．故答案為：．三、二次函數(shù)的圖像的平移1.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）將拋物線y=3x2向上平移2個單位，得到拋物線的解析式是（）A.y=3x2﹣2 B.y=3x2 C.y=3（x+2）2 D.y=3x2+2【答案】D【解析】【詳解】試題解析：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=3x2向上平移2單位，得到的拋物線的解析式是y=3x2+2．故選D．考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．2.（2023~2024學年廣東省廣州市黃埔區(qū)）在平面直角坐標系中，將拋物線y=3x2先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（）A.y=3（x+1）2+2 B.y=3（x+1）2﹣2C.y=3（x﹣1）2+2 D.y=3（x﹣1）2﹣2【答案】C【解析】【詳解】∵拋物線y=3x2的對稱軸為直線x=0，頂點坐標為（0，0），∴拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點坐標為（1，2），∴平移后拋物線的解析式為y=3（x﹣1）2+2．故選C．【點睛】考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．3.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）在平面直角坐標系中，將拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線頂點坐標是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖像的平移，掌握函數(shù)圖像平移的法則“上加下減，左加右減”是解答本題的關鍵．根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【詳解】解：∵，∴拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位后所得拋物線的解析式為，∴得到的拋物線頂點坐標是．故選A．4.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）把拋物線向上平移4個單位，所得拋物線的函數(shù)表達式為__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“左加右減，上加下減”即可求解．【詳解】解：拋物線向上平移4個單位，所得拋物線的函數(shù)表達式為，故答案為：．5.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）把二次函數(shù)的圖象向上平移4個單位，則得到的拋物線解析式為_______．【答案】##【解析】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關鍵．根據(jù)“上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：把二次函數(shù)的圖象向上平移4個單位，則得到的拋物線解析式為：，即．故答案為：．四、二次函數(shù)的應用1.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面時，水面寬，若水面下降，則水面寬度增加________．（結(jié)果可保留根號）【答案】【解析】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，是解決問題的關鍵．【詳解】解：建立平面直角坐標系，設橫軸通過水面，縱軸通過中點且通過點，則通過畫圖可得知為原點，則拋物線以軸為對稱軸，且經(jīng)過，兩點，可知，則拋物線頂點坐標為，設頂點式，代入點坐標，得：，所以拋物線解析式為，把代入拋物線解析式得出：，解得：，所以水面寬度增加到，比原先的寬度當然是增加了，故答案為：．2.（2023~2024學年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關系式是．（1）當小球運動的時間是多少時，小球回落到地面處？（2）求小球在運動過程中的最大高度．【答案】（1）當小球運動的時間是時，小球回落到地面處（2）小球再運動過程中點額最大高度為【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，解答此題的關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)就能求出結(jié)果．（1）求出時的值即可；（2）求出頂點坐標即可得出答案．【小問1詳解】解：在中，令，則，解得：，，，當小球運動的時間是時，小球回落到地面處；【小問2詳解】解：，當時，最大，為，小球再運動過程中點額最大高度為．3.（2023~2024學年廣東省廣州市白云區(qū)）如圖，四邊形的對角線AC，BD互相垂直，AC+BD＝10．當AC，BD的長是多少時，四邊形ABCD面積最大？【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知設四邊形ABCD面積為S，AC為x,則BD=10-x,進而求出，再求出最值即可．【詳解】解：設AC=x,四邊形ABCD面積為S，則BD=10-x,，∴拋物線開口向下，當時，，即當AC=5，BD=5時，四邊形ABCD面積最大，最大值為．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知正確得出二次函數(shù)關系是解題關鍵4.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從工廠以35元/件的進價購進一批紀念“二十大”的鑰匙扣，售價為60元/件時，第一天銷售了25件．該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，第三天的銷售量達到了36件．（1）求每天銷售量的平均增長率．（2）“二十大”臨近結(jié)束時，鑰匙扣還有大量剩余，為了盡快減少庫存，網(wǎng)店打算將鑰匙扣降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，在第三天的銷售量基礎上每天可多售2件，將鑰匙扣的銷售價定為每件多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？【答案】（1）（2）將鑰匙扣的銷售價定為每件56.5元時，每天可獲得最大利潤，最在利潤是9元【解析】【分析】（1）設平均增長率為，根據(jù)增長率問題列方程解應用題；（2）鑰匙扣每件降價y元銷售，利潤為W元，列出二次函數(shù)求最值解題．【小問1詳解】每天銷售量的平均增長率為，根據(jù)題意得：解得：，(不合題意，舍去)∴每天銷售量的平均增長率為【小問2詳解】設將鑰匙扣每件降價y元銷售，利潤為W元，∴∵∴當時，∴將鑰匙扣的銷售價定為每件元時，每天可獲得最大利潤，最在利潤是元．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，二次函數(shù)的實際問題，分析題意列出等量關系是解題的關鍵．5.（2023~2024學年廣東省廣州市海珠區(qū)）某店銷售一種環(huán)保建筑涂料，當每桶售價為300元時，月銷售量為60桶，該店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當該涂料每桶售價每下降5元時，月銷售量就會增加10桶，每售出1桶涂料共需支付廠家及其他費用200元．（1）當每桶售價是280元時，求此時該店的月銷售量為多少桶？（2）求每桶降價多少元時，該店能獲得最大月利潤？最大月利潤為多少元？【答案】（1）100桶（2）每桶降價35元時，該店能獲得最大月利潤，且最大月利潤為8450元【解析】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除的應用、二次函數(shù)的應用等知識點，求得每月利潤y與每桶降價x的函數(shù)解析式是解題的關鍵；（1）根據(jù)題意列出算式，然后運用有理數(shù)的乘除混合運算法則計算即可；（2）設每桶降價x元，月銷售利潤為y，然后求得每月利潤y與每桶降價x的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【小問1詳解】解：設當每桶售價是280元時，該店的月銷售量桶．【小問2詳解】解：設每桶降價x元，月銷售利潤為y，則售價利潤為元，銷售量為桶，由題意可得：，整理得，∵，∴每桶降價35元時，該店能獲得最大月利潤，且最大月利潤為8450元．6.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）2022年教育部正式印發(fā)《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，《勞動》成為一門獨立的課程.某學校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖園（靠墻的一邊不需用籬笆），墻長為16米.（1）當圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為108平方米時，求養(yǎng)殖園的邊的長；（2）求矩形養(yǎng)殖園面積的最大值.【答案】（1）12米（2）平方米【解析】【分析】本題考查了一元二次方程、二次函數(shù)的實際應用：（1）設養(yǎng)殖園的邊的長為，則，根據(jù)圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為108平方米，即可列式計算作答．（2）設矩形養(yǎng)殖園面積為，建立關于x的式子表達，化為頂點式，再結(jié)合開口方向，即可作答．【小問1詳解】解：∵用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖園（靠墻的一邊不需用籬笆），墻長為16米.∴設養(yǎng)殖園的邊的長為，則，那么解得∵墻長為16米.∴∴養(yǎng)殖園的邊的長為米；【小問2詳解】解：設矩形養(yǎng)殖園面積為，∴∵∴開口向下，在時，有最大值，且平方米．7.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）某網(wǎng)店專門銷售杭州第十九屆亞運會吉祥物機器人“江南憶”套裝，成本為每件30元，每天銷售（件）與銷售單價（元）之間存在一次函數(shù)關系，如圖所示，網(wǎng)店每天的銷售利潤為元，網(wǎng)店希望每天吉祥物機器人“江南憶”套裝的銷售量不低于220件（1）求與之間的函數(shù)關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？（3）如果每天的利潤不低于3000元，求銷售單價（元）的取值范圍【答案】（1）（2）當銷售單價為50元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是4000元（3）【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）利用總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)表達式，求最值即可；（3）先求出利潤等于3000元時的銷售單價，結(jié)合網(wǎng)店希望每天吉祥物機器人“江南憶”套裝的銷售量不低于220件，求出銷售單價（元）的取值范圍即可．讀懂題意，正確的列出函數(shù)表達式，是解題的關鍵．【小問1詳解】解：設，由圖象可知，直線過點，則：，解得：，∴；【小問2詳解】由題意，得：，∵，∴當時，有最大值為，∴當銷售單價為50元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是4000元；【小問3詳解】∵，∴當時，，解得：，∵每天的利潤不低于3000元，拋物線的開口向下，∴，∵網(wǎng)店希望每天吉祥物機器人“江南憶”套裝的銷售量不低于220件，∴，∴，∴．五、求函數(shù)解析式1.（2023~2024學年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖是拋物線的圖象．（1）當取何值時，的值隨著的增大而增大？（2）求拋物線與軸的交點坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像即可判斷；（2）將點代入函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求出解析式，將代入解析式，即可求出點的坐標．【小問1詳解】解：由圖象可知，頂點坐標為，∵該拋物線開口向下，當時，y隨x的增大而增大；【小問2詳解】解：由圖象可知，拋物線經(jīng)過點和將點和代入拋物線中，解得：，，所以該拋物線解析式為：；把代入得故拋物線與軸的交點坐標為．2.（2023~2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．（1）求b和c的值；（2）自變量x在什么范圍內(nèi)取值時，y隨x的增大而減?。俊敬鸢浮浚?），（2）當時，隨的增大而減小【解析】【分析】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．（1）把已知兩點坐標代入拋物線解析式求出與的值即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定出滿足題意的范圍即可．【小問1詳解】解：將，代入，得：，解得：，∴，；【小問2詳解】由（1）可知：，則拋物線的對稱軸為直線，，開口向上，∴當時，隨的增大而減?。?.（2023~2024學年廣東省廣州市海珠區(qū)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其中圖象與x軸交于點A和點B．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出不等式的解集．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與不等式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．（1）將已知點坐標代入，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得答案．【小問1詳解】解：由已知，函數(shù)圖象經(jīng)過，將點A，B坐標代入，得，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】由已知，二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標分別為，不等式的解集為或．4.（2023~2024學年廣東省廣州市花都區(qū)）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點、、．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）觀察函數(shù)圖象，試直接寫出時，的取值范圍．【答案】（1）（2）當時，的取值范圍為：或【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)圖象即可得出答案．小問1詳解】解：二次函數(shù)圖象經(jīng)過點、、，，解得：，二次函數(shù)的解析式為：；【小問2詳解】解：由圖象可得：當時，的取值范圍為：或．5.（2023~2024學年廣東省廣州市南沙區(qū)）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)，圖象經(jīng)過、兩點．（1）求二次函數(shù)的解析式及它的對稱軸；（2）設點是拋物線上的一個動點，橫坐標為，①當，則點的縱坐標的取值范圍是___________；②過點做軸，交直線于，當線段時，請求出m的值．【答案】（1），稱軸為直線（2），【解析】【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解一元二次方程．（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，即可求解；（2）①當時，，當時包含頂點，即可求解；②求出，再分類求解即可．【小問1詳解】解：由題意得:，解得：，則拋物線的表達式為：；其對稱軸為直線；【小問2詳解】①∵，∴當時有最大值，即；又∵離對稱軸最遠，∴當時，，∴當，則點的縱坐標的取值范圍是，故答案為：；②設直線解析式為，把、代入得：，解得，∴，∵點的坐標為，∴點的坐標為，∴，當時方程無解；當時，解得，．6.（2023~2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，直線分別交軸，軸于兩點，經(jīng)過兩點的拋物線與軸的正半軸相交于點.（1）求拋物線的解析式；（2）結(jié)合圖象，直接寫出不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題：（1）先根據(jù)，求出B點的坐標，再把B點的坐標，代入，即可作答．（2）求出點C坐標，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點坐標，結(jié)合圖象，即可作答．【小問1詳解】解：∵直線分別交軸，軸于兩點∴，則∴∵經(jīng)過兩點的拋物線與軸的正半軸相交于點.∴把和代入得解得∴；【小問2詳解】解：∵∴∴∵∴結(jié)合圖象，的解集為7.（2023~2024學年廣東省廣州市荔灣區(qū)）已知拋物線和直