第一章高等數(shù)學（四）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第2章函數(shù)、極限、延續(xù)第一節(jié)函數(shù)1．函數(shù)的概念（1）定義：設是兩個變量，是給定的實數(shù)集，倘若有一個對應法則，使得對于每一個實數(shù)，變量都有惟一決定的數(shù)值與之對應，則稱變量是變量的函數(shù)，記為其中稱為自變量，稱為函數(shù)。集合稱為該函數(shù)的定義域。當時，對應的取值稱為函數(shù)值，函數(shù)值的全體構成的集合稱為該函數(shù)的值域。（2）函數(shù)的定義域是使得該函數(shù)存心義的實數(shù)全體，倘若函數(shù)有實際意義，定義域由實際意義決定。（3）一元函數(shù)還可表為隱函數(shù)，和參數(shù)式。2.函數(shù)基本性質（1）單調性：倘若函數(shù)對于區(qū)間內的隨意兩點，都有或則稱函數(shù)在區(qū)間內單調增強（或單調減少）。（2）有界性：倘若函數(shù)對于區(qū)間內的一切，都有其中是一個正常數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)間內有界。在囫圇定義域內有界的函數(shù)稱為有界函數(shù)。（3）奇偶性：倘若函數(shù)對于區(qū)間內的一切，都有則稱為偶函數(shù)；對于區(qū)間內的一切，都有則稱為奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關于軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。（4）周期性：倘若函數(shù)對于定義域內的一切，都有則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為函數(shù)的周期，實際中常指最小正周期?！纠}2-1】設，則：(A)為偶函數(shù)，值域為(B)為奇函數(shù)，值域為(C)為奇函數(shù)，值域為(D)為奇函數(shù)，值域為解：，為奇函數(shù)。又的定義域為，在定義域內，，故是單增調的，又,，所以值域為，應選(C)【例題2-2】函數(shù)是定義域內的：(A)有界函數(shù)(B)無界函數(shù)(C)單調函數(shù)(D)周期函數(shù)解：是有界函數(shù)，與復合后仍是有界的。其余選項都不對，應選A。3.基本初等函數(shù)（1）基本初等函數(shù)：冪函數(shù)（為實數(shù)）指數(shù)函數(shù)（）對數(shù)函數(shù)（），（）三角函數(shù)反三角函數(shù)（2）常用結論對數(shù)運算法則：三角函數(shù)公式：4.初等函數(shù)（1）函數(shù)的復合：設是的函數(shù)，而又是的函數(shù)，倘若對于的定義域中的某些值所對應的值，函數(shù)有定義，則通過的聯(lián)系也是的函數(shù)，稱為由及復合而成的函數(shù)，記為，其中稱為中間變量。例如：是由這三個容易函數(shù)復合而成。初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算、有限次復合步驟所構成，且可用一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。第二節(jié)：極限1.數(shù)列的極限（1）定義：對于數(shù)列，倘若當無限增大時，通項無限趨近于某個決定的常數(shù)，則稱常數(shù)為數(shù)列的極限。記為（2）結論：1）單調有界數(shù)列必有極限。2）收斂數(shù)列的任一子列都是收斂的。2.函數(shù)極限概念定義1：倘若當無限增大時，函數(shù)無限趨近于某個決定的常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)當?shù)臉O限，記為同理可定義當?shù)臉O限，且有且定義2：設函數(shù)在函數(shù)無限趨近于某個決定的常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)當?shù)臉O限，記為同理可定義當?shù)臉O限，稱為在該點的左、右極限，且有【例題2-3】函數(shù)在時,的極限是:(A)2(B)3(C)0(D)不存在解：由,，在左右極限存在但不相等，故時,的極限不存在,應選(D).3.無窮小和無窮大（1)定義:無窮?。喝?，則稱為對應極限過程下的無窮小量無窮大：若，則稱為對應極限過程下的無窮大量（2）無窮大與無窮小互為倒數(shù)關系。（3）無窮小的性質1）有限個無窮小的和（積）仍為無窮??；2）有界量與無窮小的乘積仍是無窮小。（研究極限）（4）無窮小比較倘若當時，和都是無窮小，則若，是的高階無窮??；若(為常數(shù))，和是同階無窮小；若，和是等價無窮小，記為。（5）等價無窮小代換1）倘若當時，則2）當時，常用的等價無窮小有，【例題2-4】設，則當時，下列結論中準確的是：（A）與是等價無窮?。˙）是的高階無窮?。–）是低階無窮?。―）與是同階無窮小但不是等價無窮小解：因，故與是同階無窮小但不是等價無窮小，應選(D).4．求極限的幾個重要結論（1）兩個重要極限，（）【例題2-5】下列極限計算中，錯誤的是：（A）（B）（C）（D）解:因為，而是有界量，按照無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量，知，故錯誤，應選(B)。因為利，知（A)選項是準確的。又，知（C)和(D)選項都是準確的。（2）有理式的極限設，，1）當時，倘若，則若且，則；若且，則為未定式，可用羅比達法則或通過去零因子來求極限。2）當時，有以下結論【例題2-6】若，則與的值是：(A)為隨意實數(shù)(B)；(C)；(D)解：由，分子的冪次必須高于分母的冪次，故有為隨意實數(shù)，應選(A)。（3）羅必達法則當時，；1）在點某去心鄰域內（或當時）及都存在且；2）存在（或為無窮大），則【例題2-7】求極限時，下列各種解法中準確的是：（A）用羅比達法則后，求得極限為0（B）因為不存在，所以上述極限不存在（C）原式=（D）因為不能用羅比達法則，故極限不存在解:因為（無窮小與有界量的乘積），而，，故應選（C）。因為，當時極限不存在，故不能用羅比達法則，但求導后極限不存在不能得出原極限不存在，所以選項（A）和（D）都不對；又，（B）選項錯?！纠}2-8】下列極限式中，能夠使用洛必達法則求極限的是