第2章-自由振動分析

第二章高等結(jié)構動力學自由振動分析§2.1基本動力體系的組成§2.2基本動力體系的運動方程§2.3重力的影響§2.4支座激勵的影響------（第一講）§2.5無阻尼自由振動分析§2.6阻尼自由振動§2.7*廣義單自由度體系：剛體集合§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性§2.9*廣義體系的特性的表達式第二章自由振動分析§2.1基本動力體系的組成圖2-1理想化單自由度體系（a）基本元件（b）平衡力系

§2.1基本動力體系的組成§2.2基本動力體系的運動方程直接平衡法平衡表達式(2-1)(2-2a)(2-2b)(2-2c)§2.2基本動力體系的運動方程虛功分析體系作的總功(2-4)(2-5)因不為零§2.2基本動力體系的運動方程單自由度體系的運動方程

（2-3）變分的概念泛函的概念泛函的極值問題典型的變分問題請大家看一本簡明變分原理教程《彈性力學中的變分原理》張振清§2.2基本動力體系的運動方程Hamilton原理的應用(2-6a*)(2-6b*)(2-6c*)體系動能由彈簧表達的位能力所作功的變分§2.2基本動力體系的運動方程(2-9*)(2-7*)(2-8*)整理由得到由變分的任意性可得§2.2基本動力體系的運動方程§2.3重力的影響§2.3重力的影響——靜力的影響圖2-2重力對單自由度體系平衡的影響(2-6)(2-7)(2-8)(2-9)彈簧力得由(2-10)(2-11)總撓度、應力即為動力結(jié)果與靜力結(jié)果的和§2.3重力的影響圖2-3支座激勵對單自由度體系平衡的影響（a）體系的運動;(b)平衡力系§2.4支座激勵的影響§2.4

支座激勵的影響體系平衡(2-12)(2-13)(2-14)慣性力得(2-15)(2-16)(2-17)質(zhì)量總位移得§2.4支座激勵的影響代入支座激勵的第二種列式得地震測量為加速度，速度和位移需要積分一次和兩次才可獲得，少用！將質(zhì)量總位移(2-18)§2.4支座激勵的影響§2.5無阻尼自由振動分析1運動方程的解2無阻尼自由振動§2.5

無阻尼自由振動分析1運動方程的解單自由度運動方程的普遍形式（2-19）§2.5無阻尼自由振動分析解的性質(zhì)數(shù)學上：給定邊界條件下二次微分方程的解；力學上：荷載與初始條件下結(jié)構的反應?！?.5無阻尼自由振動分析自由振動(2-21)解的形式(2-20)式中G是任意的復常數(shù)，表示指數(shù)函數(shù)。在后面的討論中將動力荷載和反應用復數(shù)表達往往是方便的，因此現(xiàn)在簡要地回顧復數(shù)的概念。或圖2-4復平面中的復常數(shù)表示法§2.5無阻尼自由振動分析首先討論復常數(shù)G，它可以如圖2-4所示用復平面的一個矢量來表示。此圖表明矢量可用實、虛部cartesian分量來表示。（2-22a）也可以在極坐標中用絕對值（即矢量的長度）和自實軸逆時針轉(zhuǎn)過的角度來表示：（2-22b）另外，由如圖所示的三角關系，顯然式（2-22a）可改寫為（2-22c）利用這個表達式并注意到及，容易證明一個矢量和i相乘，是該矢量在復平面中逆時針旋轉(zhuǎn)弧度和90度的結(jié)果。同樣，乘以-i可以看成是順時針旋轉(zhuǎn)90度的結(jié)果?，F(xiàn)在令式（2-22c）和式（2-22b）相等，同樣注意到負的虛部分量對應于負的矢量角，這可得到用于三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)變換的Euler對：§2.5無阻尼自由振動分析此外，聯(lián)立求解式（2-23a）,可得Euler方程的逆形式：(2-24)整理得§2.5無阻尼自由振動分析(2-23)(2-25)S的值依賴于阻尼c的值§2.5無阻尼自由振動分析微分方程的解法復數(shù)解法三角函數(shù)解法§2.5無阻尼自由振動分析(2-26)(2-27)變換為(2-9*)(2-31)引入由(2-33) 2無阻尼自由振動C＝0解得§2.5無阻尼自由振動分析圖2-7無阻尼自由振動反應圖2-8自由振動旋轉(zhuǎn)矢量表示§2.5無阻尼自由振動分析頻率周期也可表為(2-34)(2-35)(2-36)(2-37)(2-38)§2.5無阻尼自由振動分析能量振動的過程中能量是如何變化的?應如何理解參數(shù)：Tfω

的力學意義和數(shù)學意義？§2.5無阻尼自由振動分析§2.6阻尼自由振動臨界阻尼條件臨界阻尼(2-40)(2-39)(2-42)(2-43)具有臨界阻尼的反應代入條件此時式（2-39）的兩根相等，也即(2-41)§2.6阻尼自由振動圖2-9具有臨界阻尼的自由振動反應§2.6阻尼自由振動低阻尼體系阻尼比(2-44)阻尼振動頻率反應方程的復數(shù)形式(2-48)三角函數(shù)形式(2-45)(2-46)(2-47)§2.6阻尼自由振動圖2-10頻率比與阻尼比之間的關系圖2-11低阻尼體系自由振動反應§2.6阻尼自由振動由初始條件得(2-49)旋轉(zhuǎn)矢量表示(2-50)(2-51)§2.6阻尼自由振動對數(shù)衰減率當較小時(3-34*)(2-52)§2.6阻尼自由振動當較小時當非常小時(2-59)一個小例題！P24(2-56)(2-57)§2.6阻尼自由振動超阻尼體系(2-60)當時反應方程(2-62)(2-61)§2.6阻尼自由振動將廣義單自由度結(jié)構區(qū)分為二類：（1）剛體的集合，在這種集合中彈性變形完全限定于在局部的彈簧元件中發(fā)生；（2）體系具有分布彈性，在這個體系里變形可以在整個結(jié)構上或它的某些元件上連續(xù)?！?.7*廣義單自由度體系：剛體集合§2.7*

廣義單自由度體系：剛體集合均質(zhì)桿及均質(zhì)板的質(zhì)量及質(zhì)量慣性矩§2.7*廣義單自由度體系：剛體集合2.8*廣義單自由度體系：分布柔性假定這個體系只能按唯一的形狀撓屈(2-23*)(2-24*)(2-25*)形狀函數(shù)塔動能§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性(2-26*)(2-27*)(2-28*)彎曲變形位能塔頂豎向位移分量軸向力N的位能Hamilton原理表示為綜上得§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性存在下列關系

(2-30*)

得(2-31*)

§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性積分(2-32*)(2-33*)§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性運動方程(2-34*)(2-35*)體系聯(lián)合廣義剛度§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性單自由度臨界壓屈荷載Rayleigh法（近似）

（2-36*）為什么是近似的？近似程度取決于什么？§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性§2.9*廣義體系的特性的表達式任意單自由度體系得運動方程可表示為位移用廣義坐標表示則廣義質(zhì)量為(2-37*)(2-38*)廣義阻尼§2.9*

廣義體系的特性的表達式廣義剛度(2-39*)幾何剛度(2-40*)沿軸改變時為(2-40a*)§2.9*廣義體系的特性的表達式與橫向荷載聯(lián)系得廣義力(2-41*)廣義剛度