第2章-自由振動(dòng)分析

第二章高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)自由振動(dòng)分析§2.1基本動(dòng)力體系的組成§2.2基本動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程§2.3重力的影響§2.4支座激勵(lì)的影響------（第一講）§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析§2.6阻尼自由振動(dòng)§2.7*廣義單自由度體系：剛體集合§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性§2.9*廣義體系的特性的表達(dá)式第二章自由振動(dòng)分析§2.1基本動(dòng)力體系的組成圖2-1理想化單自由度體系（a）基本元件（b）平衡力系

§2.1基本動(dòng)力體系的組成§2.2基本動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程直接平衡法平衡表達(dá)式(2-1)(2-2a)(2-2b)(2-2c)§2.2基本動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程虛功分析體系作的總功(2-4)(2-5)因不為零§2.2基本動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程

（2-3）變分的概念泛函的概念泛函的極值問(wèn)題典型的變分問(wèn)題請(qǐng)大家看一本簡(jiǎn)明變分原理教程《彈性力學(xué)中的變分原理》張振清§2.2基本動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程Hamilton原理的應(yīng)用(2-6a*)(2-6b*)(2-6c*)體系動(dòng)能由彈簧表達(dá)的位能力所作功的變分§2.2基本動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程(2-9*)(2-7*)(2-8*)整理由得到由變分的任意性可得§2.2基本動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程§2.3重力的影響§2.3重力的影響——靜力的影響圖2-2重力對(duì)單自由度體系平衡的影響(2-6)(2-7)(2-8)(2-9)彈簧力得由(2-10)(2-11)總撓度、應(yīng)力即為動(dòng)力結(jié)果與靜力結(jié)果的和§2.3重力的影響圖2-3支座激勵(lì)對(duì)單自由度體系平衡的影響（a）體系的運(yùn)動(dòng);(b)平衡力系§2.4支座激勵(lì)的影響§2.4

支座激勵(lì)的影響體系平衡(2-12)(2-13)(2-14)慣性力得(2-15)(2-16)(2-17)質(zhì)量總位移得§2.4支座激勵(lì)的影響代入支座激勵(lì)的第二種列式得地震測(cè)量為加速度，速度和位移需要積分一次和兩次才可獲得，少用！將質(zhì)量總位移(2-18)§2.4支座激勵(lì)的影響§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析1運(yùn)動(dòng)方程的解2無(wú)阻尼自由振動(dòng)§2.5

無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析1運(yùn)動(dòng)方程的解單自由度運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式（2-19）§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析解的性質(zhì)數(shù)學(xué)上：給定邊界條件下二次微分方程的解；力學(xué)上：荷載與初始條件下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)?！?.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析自由振動(dòng)(2-21)解的形式(2-20)式中G是任意的復(fù)常數(shù)，表示指數(shù)函數(shù)。在后面的討論中將動(dòng)力荷載和反應(yīng)用復(fù)數(shù)表達(dá)往往是方便的，因此現(xiàn)在簡(jiǎn)要地回顧復(fù)數(shù)的概念。或圖2-4復(fù)平面中的復(fù)常數(shù)表示法§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析首先討論復(fù)常數(shù)G，它可以如圖2-4所示用復(fù)平面的一個(gè)矢量來(lái)表示。此圖表明矢量可用實(shí)、虛部cartesian分量來(lái)表示。（2-22a）也可以在極坐標(biāo)中用絕對(duì)值（即矢量的長(zhǎng)度）和自實(shí)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度來(lái)表示：（2-22b）另外，由如圖所示的三角關(guān)系，顯然式（2-22a）可改寫為（2-22c）利用這個(gè)表達(dá)式并注意到及，容易證明一個(gè)矢量和i相乘，是該矢量在復(fù)平面中逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度和90度的結(jié)果。同樣，乘以-i可以看成是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的結(jié)果?，F(xiàn)在令式（2-22c）和式（2-22b）相等，同樣注意到負(fù)的虛部分量對(duì)應(yīng)于負(fù)的矢量角，這可得到用于三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)變換的Euler對(duì)：§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析此外，聯(lián)立求解式（2-23a）,可得Euler方程的逆形式：(2-24)整理得§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析(2-23)(2-25)S的值依賴于阻尼c的值§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析微分方程的解法復(fù)數(shù)解法三角函數(shù)解法§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析(2-26)(2-27)變換為(2-9*)(2-31)引入由(2-33) 2無(wú)阻尼自由振動(dòng)C＝0解得§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析圖2-7無(wú)阻尼自由振動(dòng)反應(yīng)圖2-8自由振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量表示§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析頻率周期也可表為(2-34)(2-35)(2-36)(2-37)(2-38)§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析能量振動(dòng)的過(guò)程中能量是如何變化的?應(yīng)如何理解參數(shù)：Tfω

的力學(xué)意義和數(shù)學(xué)意義？§2.5無(wú)阻尼自由振動(dòng)分析§2.6阻尼自由振動(dòng)臨界阻尼條件臨界阻尼(2-40)(2-39)(2-42)(2-43)具有臨界阻尼的反應(yīng)代入條件此時(shí)式（2-39）的兩根相等，也即(2-41)§2.6阻尼自由振動(dòng)圖2-9具有臨界阻尼的自由振動(dòng)反應(yīng)§2.6阻尼自由振動(dòng)低阻尼體系阻尼比(2-44)阻尼振動(dòng)頻率反應(yīng)方程的復(fù)數(shù)形式(2-48)三角函數(shù)形式(2-45)(2-46)(2-47)§2.6阻尼自由振動(dòng)圖2-10頻率比與阻尼比之間的關(guān)系圖2-11低阻尼體系自由振動(dòng)反應(yīng)§2.6阻尼自由振動(dòng)由初始條件得(2-49)旋轉(zhuǎn)矢量表示(2-50)(2-51)§2.6阻尼自由振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減率當(dāng)較小時(shí)(3-34*)(2-52)§2.6阻尼自由振動(dòng)當(dāng)較小時(shí)當(dāng)非常小時(shí)(2-59)一個(gè)小例題！P24(2-56)(2-57)§2.6阻尼自由振動(dòng)超阻尼體系(2-60)當(dāng)時(shí)反應(yīng)方程(2-62)(2-61)§2.6阻尼自由振動(dòng)將廣義單自由度結(jié)構(gòu)區(qū)分為二類：（1）剛體的集合，在這種集合中彈性變形完全限定于在局部的彈簧元件中發(fā)生；（2）體系具有分布彈性，在這個(gè)體系里變形可以在整個(gè)結(jié)構(gòu)上或它的某些元件上連續(xù)?！?.7*廣義單自由度體系：剛體集合§2.7*

廣義單自由度體系：剛體集合均質(zhì)桿及均質(zhì)板的質(zhì)量及質(zhì)量慣性矩§2.7*廣義單自由度體系：剛體集合2.8*廣義單自由度體系：分布柔性假定這個(gè)體系只能按唯一的形狀撓屈(2-23*)(2-24*)(2-25*)形狀函數(shù)塔動(dòng)能§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性(2-26*)(2-27*)(2-28*)彎曲變形位能塔頂豎向位移分量軸向力N的位能Hamilton原理表示為綜上得§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性存在下列關(guān)系

(2-30*)

得(2-31*)

§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性積分(2-32*)(2-33*)§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性運(yùn)動(dòng)方程(2-34*)(2-35*)體系聯(lián)合廣義剛度§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性單自由度臨界壓屈荷載Rayleigh法（近似）

（2-36*）為什么是近似的？近似程度取決于什么？§2.8*廣義單自由度體系：分布柔性§2.9*廣義體系的特性的表達(dá)式任意單自由度體系得運(yùn)動(dòng)方程可表示為位移用廣義坐標(biāo)表示則廣義質(zhì)量為(2-37*)(2-38*)廣義阻尼§2.9*

廣義體系的特性的表達(dá)式廣義剛度(2-39*)幾何剛度(2-40*)沿軸改變時(shí)為(2-40a*)§2.9*廣義體系的特性的表達(dá)式與橫向荷載聯(lián)系得廣義力(2-41*)廣義剛度