安徽省卓越縣中聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1安徽省卓越縣中聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題1.已知，則在下列關(guān)系①；②；③；④中，能作為“”的必要不充分條件的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗對于①，取，滿足，但不滿足，即成立推不出，由于，故，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即成立可推出成立，故不是“”的必要不充分條件；對于②，作出函數(shù)的圖象，如圖曲線，即將的圖像向右平移1個單位得到；則（）表示幾何意義為曲線在第一象限內(nèi)和坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸），則中相應(yīng)的點所在區(qū)域即上述區(qū)域；而表示的幾何意義為直角三角形區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸），顯然直角三角形區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸）對應(yīng)集合為曲線在第一象限內(nèi)和坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸）相應(yīng)集合的真子集，即是的必要不充分條件，對于③，由得，故，（），設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，且，則存在，使得，即時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，而，則在上恒成立，即，故；而當(dāng)成立時，不妨取，成立，但不成立，故是的必要不充分條件；對于④，當(dāng)時，設(shè)，則，顯然在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，又，作出的大致圖象如圖：由圖象可知存在，使得，故當(dāng)時，只有唯一解，若，使得，則，與條件不符，即此時得不出，即不是的必要條件，故能作為“”的必要不充分條件的是②③，故選：B2.已知數(shù)列滿足，，若，則正整數(shù)k的值是（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗B〖解析〗由題意結(jié)合遞推關(guān)系式可得：，，，，.故選：B.3.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，即，又，所以，所以，所以.因為，由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.設(shè)的外接圓的半徑為，所以，解得，所以的外接圓的面積為.故選：B.4.若單位向量滿足，向量滿足，則（）.A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，不妨，所以中點坐標(biāo)為，因為，所以C在以為直徑的圓上，即，所以，令，則，因為，所以，所以.故選：C.5.已知是公比不為1的等比數(shù)列，為其前項和,滿足，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q≠1)，又，即，而，則，解得，則，，，，，A不正確；，B正確；，C不正確；，D不正確.故選：B6.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形，，為的中點.過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗過作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點為，在中過作直線交于兩點，由相交直線確定平面，則四邊形為過的截面.由計算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運算可得，又，可得，所以，由三點共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因為，所以，，得，，由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以，即的最小值為.故選：A.7.設(shè)橢圓的左焦點為，為坐標(biāo)原點，過且斜率為的直線交橢圓于，兩點（在軸上方）.關(guān)于軸的對稱點為，連接并延長交軸于點，若，，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示：設(shè)分別以O(shè)F，EF，OE為底，高為h，則，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，設(shè)直線AB的方程為：，聯(lián)立，消去y得，由韋達(dá)定理得：，直線BD的方程為：，令得，，則，則，即為，則，即，即，解得，則，故選：D8.若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式等價于即，原命題等價于存在實數(shù)，，對任意實數(shù)不等式恒成立，等價于存在實數(shù)，，不等式成立，記，則，（1）當(dāng)時，對任意，恒成立，即在上單調(diào)遞減①當(dāng)，即時，，②當(dāng)，即時，，從而當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（2）當(dāng)時，令，解得，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，①當(dāng)時，此時，

當(dāng)即時，，當(dāng)即時，，從而當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以；令，則，，記，則，當(dāng)時，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，即；②當(dāng)時，此時，當(dāng)即時，，當(dāng)即時，，從而當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；（3）當(dāng)時，對任意，恒成立，即上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時，，②當(dāng)，即時，，從而當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；綜上所述，，所以.故選：A二?多項選擇題9.甲罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球；乙罐中有5個紅球，3個白球和2個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列的結(jié)論：其中正確結(jié)論的為（）A. B.C.事件與事件不相互獨立 D.，，是兩兩互斥的事件〖答案〗BCD〖解析〗甲罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球；乙罐中有5個紅球，3個白球和2個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以、和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，對A，，故A錯誤；對B，，故B正確；對C，當(dāng)發(fā)生時，，當(dāng)不發(fā)生時，，事件與事件不相互獨立，故C正確；對D，，，不可能同時發(fā)生，故是兩兩互斥的事件，故D正確；故選：BCD．10.已知函數(shù)，則（）A.是的周期B.的圖象有對稱中心，沒有對稱軸C.當(dāng)時，D.對任意，在上單調(diào)〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：因為，則是的周期，所以A選項正確；對于B選項：因為，且，所以，，則的圖象關(guān)于點成中心對稱，關(guān)于直線成軸對稱，所以B選項錯誤；對于C選項：當(dāng)時，易知，，且，即，則，所以，則，所以C選項正確；對于D選項：由A選項知：是的周期，所以只需考慮，即可，當(dāng)時，，所以和均單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以和均單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，所以D選項正確.故選：ACD．11.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗已知，則，有，由，得，則，即，所以，A選項正確；函數(shù)，有，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，，即，時等號成立，已知，由，所以，B選項正確；已知，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，所以，有，得，C選項錯誤；設(shè)，有，則，，有，設(shè)，有，設(shè)，則，所以，即，，所以，在上恒成立，得在上單調(diào)遞增，，即，D選項正確.故選：ABD.12.在三棱錐中，，，且，則（）A.當(dāng)為等邊三角形時，，B.當(dāng)，時，平面平面C.的周長等于的周長D.三棱錐體積最大為〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A：分別取的中點，連接，可知：，且，因為，可知為矩形，可得，若為等邊三角形，則，因為，則，又因為為對應(yīng)棱的中點，則，可得，即，所以，同理可證：，故A正確；對于選項B：若，，可得，同理可得，且，則，可知與不相互垂直，反證：假設(shè)平面平面，則存在直線平面，使得平面，由平面，可得，因為平面，且，可知，所以，這與與不相互垂直相矛盾，所以假設(shè)不成立，故B錯誤；如圖，以的中點建立空間直角坐標(biāo)系，則，若，設(shè)，則，整理得，即點到定點的距離為，所以點均在以點為球心，半徑為的球面上（不與共線），對于選項C：因為，則在與直徑垂直的圓面上，因，且，可知，且，則，即，所以的周長等于的周長，故C正確；對于選項D：取的中點，連接，則，可得，所以三棱錐體積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以三棱錐體積最大為，故D正確；故選：ACD.三?填空題13.已知，且，記隨機變量為x，y，z中的最大值，則______.〖答案〗17〖解析〗由題意可得：的可能取值為，用隔板法可求得：事件總情況為種，若，三個正整數(shù)為或，則有種，故；若，三個正整數(shù)為或，則有種，故；若，三個正整數(shù)為或，則有種，故；若，三個正整數(shù)為，則有種，故；若，三個正整數(shù)為，則有種，故；故的分布列為：45678故.所以故〖答案〗為：.14.在棱長為3的正方體中，點E滿足，點F在平面內(nèi)，則|的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗以點D為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，因為，，且，則平面，又因為平面，所以，同理得平面，因為平面，所以，因為，且平面，所以平面，記與平面交于點H，連接，，，且，則，可得，由得點關(guān)于平面對稱的點為，所以的最小值為.故〖答案〗為：.15.在空間直角坐標(biāo)系下，由方程所表示的曲面叫做橢球面（或稱橢圓面）.如果用坐標(biāo)平面分別截橢球面，所得截面都是橢圓（如圖所示），這三個截面的方程分別為，，上述三個橢圓叫做橢球面的主截線（或主橢圓）.已知橢球面的軸與坐標(biāo)軸重合，且過橢圓與點，則這個橢球面的方程為________.〖答案〗〖解析〗設(shè)橢球面的方程為：，橢球面過點，，解得：，橢球面的方程為：.故〖答案〗為：.16.已知，關(guān)于的方程有且僅有一個解，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，且，則，即，設(shè)，則，即有且僅有一個解，因為解的個數(shù)解的個數(shù)（且），所以下面討論解的個數(shù)；由，得其中，（1）當(dāng)時，得，令，，則，即，因為，所以為增函數(shù)，所以，令，，則，令得，當(dāng)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)，，即單調(diào)遞增，所以，（?。┊?dāng)，即時，方程無解，即函數(shù)與的圖像沒有交點；（ⅱ）當(dāng)，即時，方程有一解，即函數(shù)與的圖像有一個交點；（ⅲ）當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以方程有兩解，即函數(shù)與的圖像有兩個交點；（2）當(dāng)時，由①②消去，得③，由于，且，故，即，對③式兩邊取自然對數(shù)，得，即，兩邊取自然對數(shù)，得，令，，則，由得，令，，則，由得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以當(dāng)時，；（ⅰ）當(dāng)，即時，恒成立，所以，因為，，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)，且時等號成立；所以在上為減函數(shù)，又因為當(dāng)時，；時，，所以方程恰有一解，此時函數(shù)與的圖像有一個交點；（ⅱ）當(dāng)時，即時，因為當(dāng)時；時，所以存在，，使得，所以，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：負(fù)正負(fù)減增減由上表可知，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，下面證明，；，令，則當(dāng)時，，所以在內(nèi)是增函數(shù)，所以，即；，，令，，易證為減函數(shù)，所以當(dāng)，，即；因為，所以，又因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間，，各有一個解，此時函數(shù)與的圖像有三個交點；綜上所述，函數(shù)與（且）圖像交點情況如下：當(dāng)時，沒有交點；當(dāng)時，有1個交點；當(dāng)時，有2個交點；當(dāng)時，有1個交點；當(dāng)時，有3個交點；所以或，即或，故〖答案〗為：．四?解答題17.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸?軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為，記作．（1）若，，求的斜60°坐標(biāo)；（2）在平行六面體中,,，N為線段D1C1的中點．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．①求的斜60°坐標(biāo)；②若，求與夾角的余弦值．解：（1）由，，知，，所以，所以；（2）設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，則，，，①，.②因為，所以，則，∵，.∴，，所以與的夾角的余弦值為18.已知橢圓：的短軸長為2，左右焦點分別為，，為橢圓上一點，且軸，.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線（且）與橢圓交于，兩點，點關(guān)于原點的對稱點為?關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸交于點，若與的面積相等，求的值.解：（1）因為短軸長為2，所以，因為，，所以，，又因為軸，所以，，且，解得，∴.（2），，，聯(lián)立直線和橢圓方程得，整理得，，，，直線：令，，，，的中點坐標(biāo)為，由中點在上，可得，，，解得，，所以.19.設(shè)數(shù)列的前n項之積為，滿足（）.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項之和為，證明：.（1）解：∵數(shù)列的前n項之積為，滿足（），時，，解得.∴時，，化為，變形為，又，∴，，數(shù)列是首項為4公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）證明：先證明左邊：即證明，由（1）可得：，解得，又由，解得，又，所以，再證明右邊：.∴，下面證明，即證明，設(shè)，，則，即證明，.設(shè)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，，∴.∴.20.七選五型選擇題組是許多類型考試的熱門題型.為研究此類題型的選拔能力，建立以下模型.有數(shù)組和數(shù)組，規(guī)定與相配對則視為“正確配對”，反之皆為“錯誤配對”.設(shè)為時，對于任意都不存在“正確配對”的配對方式數(shù)，即錯排方式數(shù).（1）請直接寫出的值；（2）已知.①對和進(jìn)行隨機配對，記為“正確配對”的個數(shù).請寫出的分布列并求；②試給出的證明.解：（1）；（2）①，，，012345，②分三類情況，和全錯配,1.和配對，余下和（或）.余下部分屬于n個時的錯配，故總共，2.和配對，且與配對.此時余下部分屬于n-1個時的錯配，故總共，3.和配對，且與不配對.此時