備戰(zhàn)2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷02(新高考Ⅰ數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷02（新高考Ⅰ卷專用）第I卷（選擇題）一、單項選擇題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題意得，，則，則，故A錯誤；，或，則，故B正確；又，，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B.2．人們對數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動著數(shù)域的擴展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實數(shù)等等．16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時，首先引進了，17世紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡爾把i稱為“虛數(shù)”，用表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”．若復(fù)數(shù)z滿足方程，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)，因，則，即，而，則，解得，所以.故選：C3．設(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．〖答案〗B〖解析〗因為，所以又，則所以，則，故選：4．已知等比數(shù)列的首項為3，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件〖答案〗B〖解析〗由題意知等比數(shù)列的首項為3，設(shè)公比為q，由，則，即或，當(dāng)時，，即，即“”不是“”的充分條件；當(dāng)時，即，則，即，即，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B5．若對任意的，且當(dāng)時，都有，則實數(shù)的最小值是（

）A． B． C．5 D．〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)知：且，，令且，即在上遞增，所以在上恒成立，而遞減，所以，故實數(shù)的最小值是5.故選：C6．設(shè)直線上存在點到點的距離之比為2．則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，即，整理得到，圓心為，半徑，故直線與圓有交點，即，解得.故選：D.7．已知，若方程在的解為，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，由得，因為，所以，根據(jù)對稱性有，解得，所以.故選：A.8．加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（

）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18〖答案〗D〖解析〗由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；當(dāng)長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和4，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為，圓方程為，B正確；設(shè)矩形的邊長分別為，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以長方形的面積的最大值是20，此時該長方形為正方形，邊長為，C正確，D錯誤．故選：D．二、多項選擇題9．某環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督導(dǎo)，若連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：μg/m3）不超過100，則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)境治理達標(biāo)，否則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)境治理不達標(biāo).根據(jù)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，環(huán)境治理一定達標(biāo)的地區(qū)是（

）A．甲地區(qū)：平均數(shù)為80，眾數(shù)為70B．乙地區(qū)：平均數(shù)為80，方差為40C．丙地區(qū)：中位數(shù)為80，方差為40D．丁地區(qū)：極差為10，80%分位數(shù)為90〖答案〗BD〖解析〗A：10天數(shù)據(jù)如下：滿足平均數(shù)為80，眾數(shù)為70，不符合；B：若表示第天數(shù)據(jù)，則，如果其中一天的數(shù)據(jù)超過100，則，故沒有超過100的數(shù)據(jù)，符合；C：10天數(shù)據(jù)如下：，此時中位數(shù)為80，方差約為40，不符合；D：若其中一天的數(shù)據(jù)超過100，由于極差為10，則最小數(shù)據(jù)超過90，與80%分位數(shù)為90矛盾，故10天沒有超過100的數(shù)據(jù)，符合；故選：BD10．已知大氣壓強隨高度的變化滿足關(guān)系式是海平面大氣壓強，.我國陸地地勢可劃分為三級階梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一級階梯第二級階梯第三級階梯若用平均海拔的范圍直接代表各級階梯海拔的范圍，設(shè)在第一、二、三級階梯某處的壓強分別為，則（

）A． B．C． D．〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)在第一級階梯某處的海拔為，則，即.因為，所以，解得A正確；由，得.當(dāng)時，，即，所以，B錯誤；設(shè)在第二級階梯某處的海拔為，在第三級階梯某處的海拔為，則兩式相減可得.因為，所以，則，即，故均正確.故選:ACD.11．蘇州博物館（圖一）是地方歷史藝術(shù)性博物館，建筑物的頂端可抽象為如圖二所示的上、下兩層等高的幾何體，其中上層是正四棱柱，下層底面是邊長為4的正方形，在底面的投影分別為的中點，若，則下列結(jié)論正確的有（

）A．該幾何體的表面積為B．將該幾何體放置在一個球體內(nèi)，則該球體體積的最小值為C．直線與平面所成角的正弦值為D．點到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)在平面的投影分別為的中點，由于，，所以到平面的距離為,由于上、下兩層等高，所以到平面的距離為2，又，由于,所以,所以≌,同理可得≌≌≌，≌≌≌，則點B到FG的距離為，則的面積為，的面積為．故該幾何體的表面積．A正確．將該幾何體放置在一個球體內(nèi)，要使該球體體積最小，則球心在該幾何體上下底面中心所連直線上，且均在球面上，設(shè)球心到下底面的距離為x，由于四邊形為邊長為的正方形，四邊形為邊長為4的正方形，則其對角線長度分別為4，，則，解得，則該球體的半徑為，體積為．B不正確．以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，平面的一個法向量為，則，設(shè)直線與平面所成角為，則故直線與平面所成角的正弦值為．C正確．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則點到平面的距離為．D正確．故選：ACD12．已知定義在上的函數(shù)可導(dǎo)，且不恒為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．的周期為4B．的圖象關(guān)于直線對稱C．D．〖答案〗AC〖解析〗為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于對稱.又為偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱，所以，可得，則的周期為4，故A選項正確；又，則的圖象關(guān)于對稱，故選項B錯誤；又，所以，故選項C正確；由以上可知，，但是不知道等于多少，函數(shù)的周期為4，則，故D錯誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題13．古鎮(zhèn)旅游是近年旅游的熱點，某旅游短視頻博主準(zhǔn)備到江西婺源古村落、瑤里古鎮(zhèn)、驛前古鎮(zhèn)、河口古鎮(zhèn)、密溪古村五個地方去打卡，每個地方打卡一次，則先去婺源古村落打卡，且瑤里古鎮(zhèn)不最后去打卡的方法數(shù)為.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗先去婺源古村落打卡，且瑤里古鎮(zhèn)不最后去打卡的方法數(shù)為.故〖答案〗為：.14．在棱長為1的正方體中，點、分別是線段、（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面.若，則四面體的體積為.〖答案〗〖解析〗如下圖所示：

由線段平行于平面，且平面，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，由可得，又正方體棱長為1，可得所以的面積為，設(shè)到平面的距離為，易知到平面的距離為，由可得；所以四面體的體積為.故〖答案〗為：15．已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有兩個零點，則的取值范圍為.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，由，得由，得；由在上恰有兩個零點可得，解得.故〖答案〗為：16．定義：點為曲線外的一點，為上的兩個動點，則取最大值時，叫點對曲線的張角.已知點為拋物線上的動點，設(shè)對圓的張角為，則的最小值為.〖答案〗〖解析〗如圖，，要使最小，則最大，即需最小.設(shè)，則，∴當(dāng)，即時，，，此時或，.故〖答案〗為：.四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且．(1)求B；(2)若，且的面積為，求b.解：(1)，由正弦定理得，即，由余弦定理，得.因為，所以.(2)由(1)得，所以的面積為，得，由及正弦定理，得，所以.由余弦定理，得，所以.18．（12分）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點分別在棱、上·(1)若P是的中點，證明：；(2)若平面，且平面PQD與平面AQD的夾角的余弦值為，求四面體的體積．解：(1)以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若是的中點，則，，，于是，∴，即．(2)由題設(shè)知，，，是平面內(nèi)的兩個不共線向量．設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得．又平面的一個法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時．設(shè)，而，由此得點，，∵PQ∥平面，且平面的一個法向量是，∴，即，解得，從而．將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積．19．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．(1)求的〖解析〗式；(2)當(dāng)時，求證：；(3)若對任意的恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.(1)解：由題可得，∵曲線在處的切線方程為，∴，即，∴．(2)證明：令，則，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，∴，∴．(3)解：∵對任意的恒成立，∴對任意的恒成立，令，，則，由(2)可知當(dāng)時，恒成立，令，可得；令，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴實數(shù)k的取值范圍為．20．已知等差數(shù)列的前項和為，，為整數(shù)，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，且數(shù)列前項和為，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，可知，，即因為為整數(shù)，所以，結(jié)合不等式組解得，所以.(2)由(1)可知.當(dāng)為偶數(shù)時，.又，即對任意偶數(shù)都成立，所以.同理，當(dāng)為奇數(shù)時，，又，即對任意奇數(shù)都成立，易知當(dāng)奇數(shù)時，函數(shù)取得最小值-15，故.綜上，.21．設(shè)有甲?乙?丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外都相同的5個球，其中甲箱有3個藍球和2個黑球，乙箱有4個紅球和1個白球，丙箱有2個紅球和3個白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個球，若從甲箱中摸出的2個球顏色相同，則從乙箱中摸出1個球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個球；若從甲箱中摸出的2個球顏色不同，則從丙箱中摸出1個球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個球.(1)若最后摸出的2個球顏色不同，求這2個球是從丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每個紅球記2分，每個白球記1分，用隨機變量表示最后摸出的2個球的分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：(1)從甲箱中摸出2個球顏色相同的概率為，記事件A為最后摸出的2個球顏色不同，事件B為這2個球是從丙箱中摸出的，則，，，所以；(2)X的所有可能取值為2，3，4，則，，，故X的分布列如表：X234P故.22．已知平面內(nèi)動點，P到定點的距離與P到定直線的距離之比為，(1)記動點P的軌跡為曲線C，求