福建省百校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省百校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得，即，而，則，所以.故選：B.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，即，則，所以，故.故選：C.3.已知為單位向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為單位向量，，所以，則，所以.故選：D.4.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)（）A.1 B.0 C. D.2〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為，由為偶函數(shù)，得，則，整理得，而不恒為0，于是，即，解得，所以實數(shù).故選：D.5.芻薨是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示，其底面為矩形，頂棱和底面平行，書中描述了芻薨的體積計算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是芻薨的高，即頂棱到底面的距離），已知和均為等邊三角形，若二面角和的大小均為，則該芻薨的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令點在平面的投影分別為，取的中點，連接，由平面，平面，得，由正，得，平面，則平面，同理平面，由四邊形為矩形，得，于是平面，而面，平面，則，顯然，有，且都在平面，因此點共線，顯然，而平面，平面平面，平面，則，四邊形為平行四邊形，，由，，得是二面角的平面角，即，則，又，因此，同理，而，則，所以該芻薨的體積為.故選：A6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，又，所以.故選：B7.設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗C〖解析〗等比數(shù)列的公比為，且，當(dāng)時，，因此；當(dāng)時，有，即，而，則，又，，于是，即，又，因此，所以甲是乙充要條件.故選：C.8.已知雙曲線，點，若上存在三個不同的點滿足，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由點，，得，整理得，由消去得，即，解得或，依題意，，則有，因此雙曲線的離心率，所以的離心率的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題9.已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.若和外離，則或B.若和外切，則C.當(dāng)時，有且僅有一條直線與和均相切D.當(dāng)時，和內(nèi)含〖答案〗ABC〖解析〗依題意，，對于A，若和外離，則，解得或，故A正確；對于B，若和外切，，解得，故B正確；對于C，當(dāng)時，和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；對于D，當(dāng)時，和相交，故D錯誤；故選：ABC.10.已知正實數(shù)滿足，則（）A. B.C.的最大值為0 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗對于A，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故A錯誤；對于B，由，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故正確；對于C，由，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故C正確；對于D，，當(dāng)?shù)忍柍晌模煽芍?，，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為前后兩次不等式取等條件不一致，所以，故D錯誤.故選：BC.11.已知，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，所以，又其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，故A正確；由A可知，所以，故B正確；因為單調(diào)遞增，且，根據(jù)零點存在定理，有，故C錯誤；因為，又二次函數(shù)的對稱軸為1，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故D正確，故選：ABD.12.在三棱錐中，平面為內(nèi)的一個動點（包括邊界），與平面所成的角為，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.有且僅有一個點，使得 D.所有滿足條件的線段形成的曲面面積為〖答案〗ACD〖解析〗因為平面，平面，所以，又，所以，取的中點，則，所以平面，過作于，因為平面，所以，又平面，所以平面，所以為與平面所成的角的平面角，因為平面，平面，則，又在中，，則，所以，因為，所以，，所以點軌跡是以為圓心，以為半徑的圓在內(nèi)部的一部分，如圖，所以的最小值為，故正確；由于軌跡圓部分在平面外部，所以的最大值不等于，故B錯誤；因為平面，平面，所以，若，則點在線段上，有且僅有一個點滿足題意，故C正確；動線段形成的曲面為圓錐側(cè)面積的一部分，易知三棱錐是正三棱錐，平面，故為等邊的中心，所以，因為，所以，因為，所以曲面面積為圓錐側(cè)面面積，圓錐側(cè)面積為，所以所有滿足條件的動線段形成的曲面面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，則______．〖答案〗〖解析〗令等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)，且為曲線的一條切線，則______．〖答案〗2〖解析〗設(shè)與曲線相切的切點，由求導(dǎo)得，切線斜率為，因此切線方程為，依題意，，且，聯(lián)立消去得，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，，則時，，所以.故〖答案〗為：215.設(shè)是橢圓的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，為上一個動點，且的取值范圍為，則橢C的長軸長為______．〖答案〗〖解析〗橢圓的半焦距為c，為的中點，，顯然，于是，因此，即，解得，，即，所以橢圓C的長軸長為.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若，且，則______．〖答案〗〖解析〗由可知，當(dāng)時，取得最大值，所以，則，又，即，所以，因為，又，則，所以，則，即，解得（負(fù)值舍去），故，所以，則，則.故〖答案〗為：.四、解答題17.記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且．（1）求的外接圓的半徑；（2）若，且，求邊上的高．解：（1）在中，，解得，由正弦定理得的外接圓的半徑.（2）由（1）知，，由余弦定理得，則，令邊上的高為，則，即，所以邊上的高為.18.設(shè)為數(shù)列的前項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明：．（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式相減得，則，當(dāng)時，，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，顯然符合，所以數(shù)列的通項公式是.（2）證明：由（1）知，，所以.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，設(shè)分別為的極大值點、極小值點，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，則當(dāng)時，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，由（1）知，，，因此，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以的取值范圍是.20.如圖，在四棱錐中，，設(shè)分列為棱的中點．（1）證明：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接，則，且，又，且，于是，四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中點，連接，由，得，又是的中點，則，又是的中點，則，而平面，于是平面，平面，，又平面，因此平面，不妨設(shè)，以點為坐標(biāo)原點，直線、過點平行于的直線、直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，由為的中點，得，由（1）知，，直線與平面所成角即為直線與平面所成角，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù)．（1）證明：有唯一的極值點；（2）若，求的取值范圍．（1）證明：函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，取，且，顯然，因此存在唯一，使得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得極小值，無極大值，所以有唯一極值點.（2）解：由（1）知，，即，依題意，，將代入整理得，，設(shè)，求導(dǎo)得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，解得，因此，解得，所以的取值范圍是.22.已知拋物線為的焦點，在上，且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與交于兩點（分別位于直線的兩側(cè)），且直線的斜率之和為0，（?。┣笾本€的斜率；（ⅱ）求的面積的最大值．解：（1）拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線的定義得，解