福建省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則=（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由不等式，解得，所以，又由，所以．故選：C.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，該點位于第一象限．故選：A.3.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為R上的單調(diào)減函數(shù)，為上的單調(diào)增函數(shù)，故，所以,故選:D4.若某等差數(shù)列的前3項和為27，且第3項為5，則該等差數(shù)列的公差為（）A. B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗設(shè)該等差數(shù)列為，則，則，所以公差.故選：B.5.在△中，角的對邊分別是，則=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以．因為，所以，所以．因為，所以，則．故選：B6.已知是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，對于A，因為與均在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，，則為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，，因為，所以，即，故C錯誤；對于D，，則為奇函數(shù)，與均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.7.已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因為，所以為的中點，所以，故直線的斜率.故選：D8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是（）A.0 B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗由題意可得，因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)0時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即.故選：A.二、選擇題9.若函數(shù)則（）A.的最小正周期為10 B.的圖象關(guān)于點對稱C.在上有最小值 D.的圖象關(guān)于直線對稱〖答案〗AD〖解析〗，A正確.因為，所以的圖象不關(guān)于點對稱，B錯誤.因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，D正確.若，則，由的圖象可知，在上有最大值，沒有最小值，C錯誤.故選：AD.10.設(shè)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A錯誤；∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，故B正確；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；∵，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確.故選：BCD.11.已知直線l：與圓C：，點P在圓C上，則（）A.直線l過定點B.圓C的半徑是6C.直線l與圓C一定相交D.點P到直線l的距離的最大值是〖答案〗BC〖解析〗直線l：，即由，解得，則直線l過定點，故A錯誤；圓C：，即，則圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為6，故B正確；因為點與的距離為，則點在圓C的內(nèi)部，所以直線l與圓C一定相交，故C正確；點P到直線l的距離的最大值是，故D錯誤．故選：BC．12.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有3個實數(shù)解，，，且，則（）A.的最小值為4 B.的取值范圍是C.的取值范圍是 D.的最小值是13〖答案〗BCD〖解析〗作出的大致圖象，如圖所示.，其中，所以，則，，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，但，A錯誤.當(dāng)時，是偶函數(shù)，則，所以，，B，C均正確因為，所以.設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題13.若向量、為單位向量，且，則向量與的夾角為______.〖答案〗〖解析〗因為向量、為單位向量，且，則，可得，所以，，因為，故，即向量與的夾角為.故〖答案〗為：.14.的展開式中，含項的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗展開式的通項．令，得，則．故〖答案〗為：15.已知，則____________．〖答案〗〖解析〗∵，，∴，∴，∴.故〖答案〗為：.16.過雙曲線的右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的左頂點為，則的離心率為__________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)為坐標(biāo)原點，的焦距為.過點作垂直于軸，垂足為.雙曲線漸近線方程為：，易得，所以，由可得，即，所以，得，所以，故.故〖答案〗為：2.四、解答題17.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求A;（2）求的取值范圍.解：（1）因為，由正弦定理可得，因為為銳角三角形，可知，則，所以，且，所以.（2）因為，可知，即，且為銳角三角形，則，解得，又因為，由，可知，則，所以.18.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.（1）請估計該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在[40，50）和[70，80]內(nèi)的板栗中抽取10顆，再從這10顆板栗中隨機抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質(zhì)量≥70克）的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）因為，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5．（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆．的所有可能取值為．，，．從而的分布列為01234故．19.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可，∵平面ABC，∴平面，∵平面，∴，∵為的中點，且是等邊三角形，∴，∵平面,,∴平面.（2）解：取的中點，連接，由題意可得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.20.已知點，動點滿足，動點的軌跡記為.（1）求的方程；（2）過點的直線與交于兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.解：（1）因為，所以是以為焦點，且長軸長為4的橢圓.設(shè)的方程為，則，可得.又橢圓焦距為，所以，所以的方程為；（2）由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，則，.由弦長公式可得.點到直線的距離，則的面積，設(shè)，則，因為，在上單調(diào)遞增，此時，即時取等號，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，即面積的最大值為.21.設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由以及可得，所以，，故為