廣東省深圳市龍崗區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省深圳市龍崗區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，解得，所以，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第三象限.故選：C.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.4.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，則，又，，所以，所以，則，又.故選：D.5.已知，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，.故選：D.6.過(guò)圓上一點(diǎn)A作圓的切線，切點(diǎn)為B，則的最小值為（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓與圓的圓心分別為O，C，則，當(dāng)最小時(shí)，最小，由于點(diǎn)A在圓O上，則的最小值為，所以的最小值為.故選：B.7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值是（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以，，所以，得，故選：A8.已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當(dāng)與AD所成角最大時(shí)，三棱錐的體積等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，故當(dāng)時(shí)，與AD所成角最大，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，而平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在直角三角形中，，而，所以，所?故選：A二、多項(xiàng)選擇題9.關(guān)于二項(xiàng)式的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（）A.展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B.展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為C.展開(kāi)式中第5項(xiàng)為 D.展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)：?。?，A錯(cuò)，B選項(xiàng)：展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為，B對(duì)，C選項(xiàng)：由，則時(shí)即為第5項(xiàng)為，C對(duì)，D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)可知恒成立，D對(duì)，故選：BCD.10.已知是夾角為的單位向量，，，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在上的投影向量為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，是夾角為的單位向量，則，故，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以，又，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，在上的投影向量為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD11.下列說(shuō)法中正確的是（）A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有60個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為6的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是C.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23D.若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為32〖答案〗AB〖解析〗A選項(xiàng)，個(gè)體m被抽到的概率為，A正確；B選項(xiàng)，已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則，解得，，則這組數(shù)據(jù)的方差是，B正確；C選項(xiàng)，數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個(gè)數(shù)，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則的方差為64，設(shè)的平均數(shù)為，則，，又，故，則的標(biāo)準(zhǔn)差為，D錯(cuò)誤．故選：AB12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)P的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由拋物線得，設(shè)直線，聯(lián)立，消去x可得，則，選項(xiàng)A：，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；由拋物線得準(zhǔn)線為，則，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，所以直線斜率存在且不為零，故設(shè)直線，聯(lián)立，消去x可得，則，故，，選項(xiàng)C：，故C正確；選項(xiàng)D：，又，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題13.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)______．〖答案〗〖解析〗由，得函數(shù)的最小正周期為.14.有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，則共有___________種不同的選法〖答案〗〖解析〗第一步，先從6人中任選2人承擔(dān)任務(wù)甲，有種選法，第二步，再?gòu)氖Ｓ?人中任選1人承擔(dān)任務(wù)乙，有種選法，第三步，再?gòu)?人中任選1人承擔(dān)任務(wù)丙，有種選法，所以共有種選法.故〖答案〗為:.15.已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足，則的離心率為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗如圖，因，所以可設(shè)，又，所以，由橢圓定義，，即，又，即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)且，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗首先注意到，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，故存在唯一零點(diǎn)，若只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)也必極值點(diǎn)，又此時(shí)，則只需，，，因?yàn)榻獾?；綜上所述，則實(shí)數(shù)的取值范用為．故〖答案〗為：四、解答題17.記的內(nèi)角的A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面積.解：（1）法一：因?yàn)椋?，整理得，所以，又因?yàn)?，所以；法二：因，所以，由正弦定理得，整理得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋?，，所以，即，解得，所以的面積.18.如圖，三棱錐中，平面，，.（1）求證：平面；（2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，所以，在中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面；?）解：（方法一）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，，∴，即與平面所成角的余弦值為．（方法二）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，則為與平面所成角的平面角，在中，，在中，，∴在中，，故，即與平面所成角的余弦值為.19.已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)m，n都有（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）由對(duì)任意整數(shù)均有，取，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以.（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，若，則，且當(dāng)時(shí)，滿足.綜上所述：.20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，的面積為5．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，且，，求證：為定值．（1）解：當(dāng)時(shí)，，，可得．由雙曲線的定義可知，，兩邊同時(shí)平方可得，，所以．①又雙曲線的離心率為，所以．②由①②可得，，，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時(shí)，，，所以，，．當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，由題意知且，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去得，，則，，．易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，可得，所以，同理可得．所以．綜上，為定值．21.某工廠采購(gòu)了一批新的生產(chǎn)設(shè)備．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，設(shè)備正常狀態(tài)下，生產(chǎn)的產(chǎn)品正品率為0.98．為監(jiān)控設(shè)備生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，并檢測(cè)質(zhì)量．規(guī)定：抽檢的10件產(chǎn)品中，若至少出現(xiàn)2件次品，則認(rèn)為設(shè)備生產(chǎn)過(guò)程出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)設(shè)備進(jìn)行檢測(cè)及修理．（1）假設(shè)設(shè)備正常狀態(tài)，記X表示一天內(nèi)抽取的10件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，求，并說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程規(guī)定的合理性；（2）該設(shè)備由甲、乙兩個(gè)部件構(gòu)成，若兩個(gè)部件同時(shí)出現(xiàn)故障，則設(shè)備停止運(yùn)轉(zhuǎn)；若只有一個(gè)部件出現(xiàn)故障，則設(shè)備出現(xiàn)異常．已知設(shè)備出現(xiàn)異常是由甲部件故障造成的概率為p，由乙部件故障造成的概率為．若設(shè)備出現(xiàn)異常，需先檢測(cè)其中一個(gè)部件，如果確認(rèn)該部件出現(xiàn)故障，則進(jìn)行修理，否則，繼續(xù)對(duì)另一部件進(jìn)行檢測(cè)及修理．已知甲部件的檢測(cè)費(fèi)用1000元，修理費(fèi)用5000元，乙部件的檢測(cè)費(fèi)用2000元，修理費(fèi)用4000元．當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)異常時(shí)，僅考慮檢測(cè)和修理總費(fèi)用，應(yīng)先檢測(cè)甲部件還是乙部件，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：．解：（1）由題可知，單件產(chǎn)品為次品的概率為0.02，所以，所以，，所以，由可知，如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一天內(nèi)抽取的10個(gè)零件中，至少出現(xiàn)2個(gè)次品的概率約為0.014，該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為設(shè)備在這一天的生產(chǎn)過(guò)程出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)設(shè)備進(jìn)行檢測(cè)和修理，可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的規(guī)定是合理的.（2）若先檢測(cè)甲部件，設(shè)檢測(cè)費(fèi)和修理費(fèi)之和為元，則的所有可能值為6000，7000，則，，所以，若先檢測(cè)乙部件，設(shè)檢測(cè)費(fèi)和修理費(fèi)之和為元，則的所有可能值為6000，8000，則，，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，，應(yīng)先檢測(cè)乙部