數學-專題23函數與矩形存在性問題-【壓軸必刷】2023年中考數學壓軸大題之經典模型培優(yōu)案（原版）

【壓軸必刷】2023年中考數學壓軸大題之經典模型培優(yōu)案專題23函數與矩形存在性問題解題策略解題策略1.矩形的判定:（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個角為直角的四邊形是矩形．2.題型分析矩形除了具有平行四邊形的性質之外，還有“對角線相等”或“一個角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標系中的矩形滿足以下3個等式：因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．下：同時，也可以先根據A、B的坐標求出直線AB的解析式，進而得到直線AD或BC的解析式，從而確定C或D的坐標.經典例題經典例題【例1】（2022春?賓陽縣期中）在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C出發(fā)，以3cm/s的速度向點B同時運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設P，Q運動的時間為ts．（1）若點P和點Q同時運動了6秒，PQ與CD有什么數量關系？并說明理由；（2）在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQBA是矩形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由；（3）在整個運動過程中，是否存在一個時間，使得四邊形PQBA的面積是四邊形ABCD面積的一半，若存在，請直接寫出值；若不存在，請說明理由．

【例2】（2022秋?靖江市校級月考）如圖，直線y＝x與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點，點A的坐標為（m，﹣4），點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC＝3CD．（1）求k的值并直接寫出點B的坐標；（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）點P是坐標軸上的一點，點Q是平面內一點，是否存在點P、Q使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請求出符合條件的所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．【例3】（2022?黔西南州）如圖，在平面直角坐標系中，經過點A（4，0）的直線AB與y軸交于點B（0，4）．經過原點O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；（2）M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當MN∥y軸且MN＝2時，求點M的坐標；（3）P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

28．（2022秋?綿陽校級月考）如圖，拋物線y＝x2﹣4x+3與坐標軸交于A、B、C三點，過點B的直線與拋物線交于另一點E，若經過A、B、E三點的⊙M滿足∠EAM＝45°．（1）求直線BE的解析式；（2）若D點是直線BE下方的拋物線上一動點，連接BD和ED，求△BED面積的最大值；（3）點P在拋物線的對稱軸上，平面內是否存在一點Q，使得以點A，C，P，Q為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出Q點坐標．培優(yōu)訓練培優(yōu)訓練一．解答題1．（2022秋?鐵東區(qū)校級月考）如圖，已知二次函數y＝ax2（a≠0）與一次函數y＝kx﹣2的圖象相交于A（﹣1，﹣1），B兩點．（1）求a，k的值及點B的坐標；（2）在拋物線上求點P，使△PAB的面積是△AOB面積的一半；（寫出詳細解題過程）（3）點M在拋物線上，點N在坐標平面內，是否存在以A，B，M，N為頂點的四邊形是矩形，若存在直接寫出M的坐標，若不存在說明理由．

2．（2022秋?坪山區(qū)校級月考）如圖，直線y＝x與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點，點A的坐標為（m，﹣3），點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接寫出點B的坐標；（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x軸上的點，Q是平面內一點，是否存在點P，Q，使得A，B，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2022?錦州二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，OA＝3，OC＝4，拋物線y＝ax2+bx+4經過點B，且與x軸交于點D（﹣1，0）和點E．（1）求拋物線的表達式；（2）若P是第一象限拋物線上的一個動點，連接CP，PE，當四邊形OCPE的面積最大時，求點P的坐標，此時四邊形OCPE的最大面積是多少；（3）若N是拋物線對稱軸上一點，在平面內是否存在一點M，使以點C，D，M，N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．4．（2022?鐵鋒區(qū)三模）綜合與探究已知：如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象的頂點為D（﹣1，4），與x軸交于B，A兩點，與y軸交于點C（0，3），點E為拋物線對稱軸上的一個動點．（1）求二次函數的解析式；

（2）當△ACE的周長最小時，點E的坐標為；（3）當點E在x軸上方且∠BAE＝∠BDE時，試判斷CE與BD的位置關系，并說明理由；（4）若點N是y軸上的一點，坐標平面內是否存在P，使以D、B、N、P為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．5．（2022?齊齊哈爾三模）綜合與實踐如圖，二次函數y＝﹣x2+c的圖象交x軸于點A、點B，其中點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，2），過點A、C的直線交二次函數的圖象于點D．（1）求二次函數和直線AC的函數表達式；（2）連接DB，則△DAB的面積為；（3）在y軸上確定點Q，使得∠AQB＝135°，點Q的坐標為；（4）點M是拋物線上一點，點N為平面上一點，是否存在這樣的點N，使得以點A、點D、點M、點N為頂點的四邊形是以AD為邊的矩形？若存在，請你直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2022春?大同期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝2x﹣1與x軸，y軸分別交于點A，B，直線l2：y＝﹣x+1與x軸，y軸分別交于點P，C，連接AC，直線l1，l2交于點D．（1）求點D的坐標，并直接寫出不等式2x﹣1＞﹣x+1的解集．

（2）求△ACD的面積．（3）若點E在直線l1上，F(xiàn)為坐標平面內任意一點，試探究：是否存在以點B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2022春?平南縣期末）如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C分別在x軸、y軸上，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，點B的坐標為（﹣2，4）．（1）求直線BD的表達式；（2）求△DEH的面積；（3）點M在x軸上，平面內是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2022春?東川區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝CD＝13cm，BC＝12cm，M、N是線段AB、CD上兩動點，M點從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿AB方向運動，N點從點D出發(fā)，以每秒1cm的速度沿DC方向運動，M、N同時出發(fā)，同時停止，當M運動到點B時，M、N同時停止運動，設運動時間為t秒．（1）求AB的長；（2）當t為何值時，四邊形AMCN為平行四邊形？（3）在M、N運動的過程中，是否存在四邊形MBCN是矩形，若存在，請求出的t

值；若不存在，請說明理由．9．（2022春?鄂城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C是線段OA上一點，把△COB沿直線BC翻折，點O恰好落在AB上的點D處，BC為折痕．（1）求線段AB的長；（2）求直線BC的解析式；（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標平面內是否存在點P，使以A，B，M，P為頂點的四邊形是以AB為一邊的矩形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．10．（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標軸上，B點坐標（﹣1，2），△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉90°得到，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F．（1）求直線BD的解析式；（2）求△BCF的面積；（3）點M在坐標軸上，平面內是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

11．（2022春?梁子湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B．點C是線段OA上一點，把△COB沿直線BC翻折，點O恰好落在AB上的點D處，BC為折痕．（1）求線段AB的長；（2）求直線BC的解析式；（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標平面內是否存在點P，使以A，B，M，P為頂點的四邊形是以AB為一邊的矩形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2022?牡丹江）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD，A在y軸的正半軸上，B，C在x軸上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于點E，交AC于點F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的長分別是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個根，且OB＞OC．請解答下列問題：（1）求點B，C的坐標；（2）若反比例函數y＝（k≠0）圖象的一支經過點D，求這個反比例函數的解析式；（3）平面內是否存在點M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N為頂點的四邊形是邊長比為2：3的矩形？若存在，請直接寫出在第四象限內點N的坐標；若不存在，請說明理由．13．（2022春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝mx+6交y軸于點C，交x軸于點D，且AD＝OD，以OA和OC為鄰邊作矩形OABC，已知點B（﹣4，6），點E是直線AB上一動點．（1）求m的值；

（2）如圖1，若∠EDC＝45°，求點E的坐標；（3）若點M為射線DB上一點，點N為坐標平面內任意一點，是否存在以C，D，M，N為頂點的四邊形是矩形，若存在，直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由．14．（2022春?槐蔭區(qū)期末）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線y＝kx+15（k≠0）經過點C（3，6），與x軸交于點A，與y軸交于點B．線段CD平行于x軸，交直線y＝x于點D，連接OC，AD．（1）填空：k＝，點A的坐標是；（2）求證：四邊形OADC是平行四邊形；（3）動點P從點O出發(fā)，沿對角線OD以每秒1個單位長度的速度向點D運動，直到點D為止；動點Q同時從點D出發(fā)，沿對角線DO以每秒1個單位長度的速度向點O運動，直到點O為止．設兩個點的運動時間均為t秒．①當t＝1時，△CPQ的面積是；②是否存在t的值使得四邊形CPAQ為矩形，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．15．（2022?武功縣模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線L1：y＝﹣x2+bx+c（b、c為常數）與x軸交于

A（﹣6，0）、B（2，0）兩點．（1）求拋物線L1的函數表達式；（2）將該拋物線L1向右平移4個單位長度得到新的拋物線L2，與原拋物線L1交于點C，點D是點C關于x軸的對稱點，點N在平面直角坐標系中，請問在拋物線L2上是否存在點M，使得以點C、D、M、N為頂點的四邊形是以CD為邊的矩形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2022?陽明區(qū)校級模擬）如圖，直線AB，CD分別與x軸交于B，C兩點，與y軸交于A，D兩點，且∠EAD＝∠EDA，線段OB，OC的長分別是方程x2﹣8x+12＝0的兩根，并且OB＝OA．（1）求點D的坐標；（2）求過點E的反比例函數解析式；（3）若點M在坐標軸上，平面是否存在點N，使得以A，E，M，N為頂點的四邊形為矩形？若存在，請寫出滿足條件的點N的個數，并任意寫3個滿足條件的點N的坐標；若不存在，說明理由．17．（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經過A（﹣2，0），B（0，4）兩點，直線x＝3與x軸交于點C．（1）求a，c的值；（2）經過點O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；（3）P是拋物線上位于第一象限的一個動點，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

18．（2022?平定縣模擬）綜合與探究如圖，拋物線與y軸交于點A（0，8），與x軸交于點B（6，0），C，過點A作AD∥x軸與拋物線交于另一點D．（1）求拋物線的表達式；（2）連接AB，點P為AB上一個動點，由點A以每秒1個單位長度的速度沿AB運動（不與點B重合），運動時間為t，過點P作PQ∥y軸交拋物線于點Q，求PQ與t的函數關系式；（3）點M是y軸上的一個點，點N是平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M，N，使得以B，D，M，N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．19．（2022?榆次區(qū)一模）綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A，C的坐標分別為（﹣2，0），（0，4），連接AC，BC．點P是y軸右側的拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的函數表達式，并直接寫出點B的坐標；（2）連接PA，交直線BC于點D，當線段AD的值最小時，求點P的坐標；（3）點Q是坐標平面內一點，是否存在點Q，使得以點A，C，P，Q

為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．20．（2022春?泰興市校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線C1：y＝﹣（其中m為常數，且m＜0）關于原點對稱得到拋物線C2，拋物線C1，C2的頂點分別為M，N．（1）請直接寫出拋物線C2的表達式；（用含有m的式子表示）（2）若拋物線C1與x軸的交點從左到右依次為A，B，拋物線C2與x軸的交點從左到右依次為C，D．①若A，B，C，D四點從左到右依次排列，且AD＝3BC，求m的值；②是否存在這樣的m，使以點M，A，N，D為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；（3）在拋物線C1對稱軸右側的部分任取一點G，設直線MG，NG分別與y軸相交于P，Q兩點，且GM＝pGP，GN＝qGQ，求p﹣q的值．21．（2022?黔東南州）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DM⊥x軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．22．（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋