三角函數(shù)誘導(dǎo)公式學(xué)案第二課時(shí)

1.2.2同角三角函數(shù)的關(guān)系編制人：楊云珍李勇黃先鋒【使用說(shuō)明及學(xué)法指導(dǎo)】1.先精讀一遍教材P18—P20，用紅色筆進(jìn)行勾畫(huà)，再針對(duì)導(dǎo)學(xué)案預(yù)習(xí)自學(xué)部分二次閱讀教材并回答提出的問(wèn)題，時(shí)間不超過(guò)50分鐘；2.限時(shí)、認(rèn)真、獨(dú)立完成合作探究設(shè)置的問(wèn)題，對(duì)于加★部分的題目為選做題，沒(méi)加★的題目都要做。3.在預(yù)習(xí)，做練習(xí)過(guò)程中找出自己的疑惑和需要討論的問(wèn)題準(zhǔn)備課堂上討論質(zhì)疑?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握正弦、余弦和正切的誘導(dǎo)公式，并能正確地運(yùn)用這些公式進(jìn)行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與三角恒等式的證明；2．通過(guò)公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，運(yùn)算推理能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式五、六及六個(gè)誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用.難點(diǎn):公式的推導(dǎo)和對(duì)稱變換思想在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的滲透一、預(yù)習(xí)自學(xué)（1）、預(yù)習(xí)目標(biāo)熟記正弦、余弦和正切的誘導(dǎo)公式，理解公式的由來(lái)并能正確地運(yùn)用這些公式進(jìn)行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)（2）、復(fù)習(xí)與預(yù)習(xí)1．利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值；____________________2．誘導(dǎo)公式一及其用途：3、對(duì)于任何一個(gè)內(nèi)的角，以下四種情況有且只有一種成立（其中為銳角）：4、誘導(dǎo)公式二：5、誘導(dǎo)公式三：6、誘導(dǎo)公式四：7、誘導(dǎo)公式五：8、誘導(dǎo)公式六：?jiǎn)栴}1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下前一節(jié)我們學(xué)習(xí)的與、、的角的終邊的對(duì)稱關(guān)系問(wèn)題2：如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，它們的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系呢？若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱呢？識(shí)記：±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).進(jìn)一步可以簡(jiǎn)記為:函數(shù)名改變,符號(hào)看象限.利用公式五或公式六,可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.二、合作探究探究一、利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值例1

求值：（1）

（2）

（3）

（4）思考：我們學(xué)習(xí)了的誘導(dǎo)公式，還知道的誘導(dǎo)公式，那么對(duì)于，又有怎樣的誘導(dǎo)公式呢？探究二：化簡(jiǎn)與證明例2證明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.點(diǎn)評(píng):由公式五及六推得±α的三角函數(shù)值與角α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系,從而進(jìn)一步可以推廣到π(k∈Z)的情形.本例的結(jié)果可以直接作為誘導(dǎo)公式直接使用.例3化簡(jiǎn)變式訓(xùn)練：

已知方程sin(3)=2cos(4)，求的值三．課堂效果檢測(cè)1．cos2（－α）+cos2（+α）的值為（）A．1B．－1C．D．－2．若n∈Z，在①sin（nπ+）；②sin（2nπ±）；③sin[nπ+（－1）n]；④cos[2nπ+（－1）n]中，與sin相等的是（）A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③3．已知sin（π－α）=－2sin（+α），則sinαcosα=__________．4．已知cos（+φ）=，且|φ|<，則tanφ=________．5．化簡(jiǎn)：eq\f(sin2(2－)＋cos2(－)＋sin(－2)sin(－),cos2(eq\f(3,2)-)＋cos2(＋)－sin(eq\f(,2)＋)cos(－2))．6．已知sin（α－π）=－2cos（2π－α），求的值．★★自主拓展探究一誘導(dǎo)公式在求值問(wèn)題中的應(yīng)用例1．計(jì)算sin（π－α）+cos（π－α）（n∈Z）的值，其結(jié)果為_(kāi)_________．點(diǎn)評(píng)：本例中方法一通過(guò)對(duì)n∈Z的奇數(shù)與偶數(shù)兩種不同的情況加以分開(kāi)討論，在各自不同分類(lèi)情況下，再結(jié)合誘導(dǎo)公式加以直接求解，也可以達(dá)到目的．但在方法二中，直接分析兩個(gè)角之間的關(guān)系，直接通過(guò)誘導(dǎo)公式加以求解，顯然更為方便快捷，方法更加巧妙．變式練習(xí)1：設(shè)＝2，則sincos＝________．★★自主拓展探究二：誘導(dǎo)公式在化簡(jiǎn)（或證明）問(wèn)題中的應(yīng)用例2．若f（n）=sin（π+α），試化簡(jiǎn)f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于比較復(fù)雜的代數(shù)式可以先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后再尋找它們之間的聯(lián)系，得以化簡(jiǎn)．通過(guò)誘導(dǎo)公式加以化簡(jiǎn)再運(yùn)算，顯得方便快捷，方法更加巧妙．變式練習(xí)2：化簡(jiǎn)：．★★自主拓展探究三：誘導(dǎo)公式在解決三角形問(wèn)題中的應(yīng)用例3．若方程（m+5）x2－（2m+5）x+4=0的兩根是直角△ABC的兩個(gè)銳角A、B的正弦值，試求實(shí)數(shù)m的值．點(diǎn)評(píng)：在三角形的相應(yīng)求值問(wèn)題中，要注意結(jié)合三角形中各內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的限制條件，顯然直角△ABC的兩個(gè)銳角A、B的正弦值均要在范圍（0，1）內(nèi)，由此對(duì)相應(yīng)的值加以檢驗(yàn)．變式練習(xí)3：已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，試證明：sin=cos．四．【課堂小結(jié)】1.知識(shí)方面2.數(shù)學(xué)思想方面★★自主拓展探究一例1．計(jì)算sin（π－α）+cos（π－α）（n∈Z）的值，其結(jié)果為_(kāi)_________．思路導(dǎo)析：按照常規(guī)思維，由于n∈Z的任意性，對(duì)于不同的n的值，可能導(dǎo)致不同的結(jié)果，因而要加以分類(lèi)討論．但實(shí)際上，角π－α與角π－α存在著特殊的關(guān)系，如果能夠觀察出來(lái)，可以非常巧妙地利用誘導(dǎo)公式加以簡(jiǎn)單處理．解析：方法一：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k+1（k∈Z），原式=sin[π－α]+cos[π－α]=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos[+（π－α）]=sin（π－α）－sin（π－α）=0；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k（k∈Z），原式=sin（π－α）+cos（π－α）=sin（－π－α）+cos（π－α）=－sin（π+α）+cos[－（π+α）]=－sin（π+α）+sin（π+α）=0；綜上分析可知，原式=0．方法二：由于π－α=+（π－α），那么sin（π－α）+cos（π－α）=sin（π－α）+cos[+（π－α）]=sin（π－α）－sin（π－α）=0，即其結(jié)果為0．點(diǎn)評(píng)：本例中方法一通過(guò)對(duì)n∈Z的奇數(shù)與偶數(shù)兩種不同的情況加以分開(kāi)討論，在各自不同分類(lèi)情況下，再結(jié)合誘導(dǎo)公式加以直接求解，也可以達(dá)到目的．但在方法二中，直接分析兩個(gè)角之間的關(guān)系，直接通過(guò)誘導(dǎo)公式加以求解，顯然更為方便快捷，方法更加巧妙．變式練習(xí)1：設(shè)＝2，則sincos＝________．自主拓展探究二：誘導(dǎo)公式在化簡(jiǎn)（或證明）問(wèn)題中的應(yīng)用例2．若f（n）=sin（π+α），試化簡(jiǎn)f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）．思路導(dǎo)析：先利用誘導(dǎo)公式逐個(gè)化簡(jiǎn)，然后代入通過(guò)乘積與加法運(yùn)算加以求值與化簡(jiǎn)．解析：由于f（n）=sin（π+α），那么f（n+2）=sin（π+α）=sin（+π+α）=cos（π+α），f（n+4）=sin（π+α）=sin（π+π+α）=－sin（π+α），f（n+6）=sin（π+α）=sin（+π+α）=－cos（π+α），所以f（n）f（n+4）+f（n+2）f（n+6）=sin（π+α）[－sin（π+α）]+cos（π+α）[－cos（π+α）]=－sin2（π+α）－cos2（π+α）=－1．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于比較復(fù)雜的代數(shù)式可以先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后再尋找它們之間的聯(lián)系，得以化簡(jiǎn)．通過(guò)誘導(dǎo)公式加以化簡(jiǎn)再運(yùn)算，顯得方便快捷，方法更加巧妙．變式練習(xí)2：化簡(jiǎn)：．自主拓展探究三：誘導(dǎo)公式在解決三角形問(wèn)題中的應(yīng)用例3．若方程（m+5）x2－（2m+5）x+4=0的兩根是直角△ABC的兩個(gè)銳角A、B的正弦值，試求實(shí)數(shù)m的值．思路導(dǎo)析：根據(jù)方程中的根與系數(shù)的關(guān)系，還有直角三角形中相應(yīng)角的關(guān)系及誘導(dǎo)公式，建立相關(guān)的關(guān)系式，并結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式加以解決相應(yīng)的參數(shù)問(wèn)題．解析：根據(jù)題意可得，sinA+sinB=且sinAsinB=，又A+B=，則B=－A，那么有sinB=sin（－A）=cosA，∴sinA+cosA=且sinAcosA=，那么（sinA+cosA）2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+=（）2，整理可得3m2+2m－40=0，解得m=－4或m=，而當(dāng)m=－4時(shí)，sinAsinB==4，顯然不滿足題目條件，應(yīng)舍去，故實(shí)數(shù)m的值為．點(diǎn)評(píng)：在三角形的相應(yīng)求值問(wèn)題中，要注意結(jié)合三角形中各內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的限制條件，顯然直角△ABC的兩個(gè)銳角A、B的正弦值均要在范圍（0，1）內(nèi)，由此對(duì)相應(yīng)的值加以檢驗(yàn)．變式練習(xí)3：已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，試證明：sin=cos課堂效果檢測(cè)1．A；解析：原式=cos2[－（+α）]+cos2（+α）=sin2（+α）+cos2（+α）=1；2．B；解析：sin（nπ+）=；sin（2nπ±）=sin；sin[nπ+（－1）n]=sin；cos[2nπ+（－1）n]=sin；3．－；解析：由sin（π－α）=－2sin（+α）得sinα=－2cosα，代入sin2α+cos2α=1得cos2α=，那么sinαcosα=－2cos2α=－；4．－；解析：由cos（+φ）=，得－sinφ=，即sinφ=－，又|φ|<，∴cosφ=，∴tanφ==－；5．解析：原式＝eq\f(sin2＋cos2－sin2,sin2＋cos2－cos2)＝eq\f(cos2,sin2)=．6．解析：由已知可得－sinα=－2cosα，即sinα=2cosα，那么===．補(bǔ)充資料例1(1)已知f(cosx)=cos17x,求證:f(sinx)=sin17x;(2)對(duì)于怎樣的整數(shù)n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?活動(dòng):對(duì)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用需要較多的思維空間,善于觀察題目特點(diǎn),要靈活變形.觀察本例條件與結(jié)論在結(jié)構(gòu)上類(lèi)似,差別在于一個(gè)含余弦,一個(gè)含正弦,注意到正弦、余弦轉(zhuǎn)化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于觀察條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征,找出它們的共性與差異;要注意誘導(dǎo)公式可實(shí)現(xiàn)角的形式之間及互余函數(shù)名稱之間的轉(zhuǎn)移.證明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=故所求的整數(shù)n=4k+1(k∈Z).點(diǎn)評(píng):正確合理地運(yùn)用公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.變式訓(xùn)練已知cos(-α)=m(m≤1),求sin(-α)的值.解:∵-α-(-α)=,∴-α=+(-α).∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.點(diǎn)評(píng):(1)當(dāng)兩個(gè)角的和或差是的整數(shù)倍時(shí),它們的三角函數(shù)值可通過(guò)誘導(dǎo)公式聯(lián)系起來(lái).(2)化簡(jiǎn)已知與所求,然后探求聯(lián)系,這是解決問(wèn)題的重要思想方法.例2已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α為第三象限角,求的值.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生先確定sinα的值再化簡(jiǎn)待求式,從而架起已知與未知的橋梁.解:∵5x2-7x-6=0的兩根x=2或x=,∵-1≤x≤1,∴sinα=.又∵α為第三象限角,∴cosα==.∴tanα=.∴原式==tana=點(diǎn)評(píng):綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決綜合問(wèn)題.變式訓(xùn)練若函數(shù)f(n)=sin(n∈Z),則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.解:∵=sin(+2π)=sin,∴f(n)=f(n+12).從而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］=2+.例3已知函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零實(shí)數(shù),又知f(2003)=-1,求f(2004)的值.