2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)冬季競賽模擬試題（附答案）

2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)冬季競賽模擬試題本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共3頁，滿分150分，考試時間140分鐘．選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（）A．B．0C．1D．22．平面向量,則（）A．3B．5C．7D．113．已知實數(shù)x,y滿足約束條件該約束條件在坐標(biāo)平面上表示的區(qū)域如圖所示，則y的取值范圍是（）A．B．C．D．4．已知等比數(shù)列滿足,若,則（）A．2B．3C．4D．55．設(shè),集合．則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6．某考試評定考生成績時，采取賦分制度：只有原始分排名前3%的同學(xué)才能賦分97分及以上．若這些學(xué)生的原始分的最大值為a,最小值為b,令為滿足的一次函數(shù)．對于原始分為的學(xué)生，將的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分．已知小趙原始分96，賦分100；小葉原始分81，賦分97；小林原始分89，他的賦分是（）A．97B．98C．99D．98或997．在中，角所對的邊分別是．已知,則（）A．B．C．1D．8．隨機事件A,B,C滿足,則的取值范圍是（）A．B．C．D．非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．9．函數(shù)的最小正周期是_____________．10．橢圓經(jīng)過雙曲線的焦點，則_____________．11．已知圓錐的高等于底面半徑r，則圓錐與半徑為r的球的表面積之比是_____________．12．若數(shù)列滿足對任意,數(shù)列的前項至少有n項大于n,且，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．若存在具有性質(zhì)的數(shù)列,使得其前n項和恒成立，則整數(shù)的最小值是_____________．三、解答題：本大題共5小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．13．（本題滿分15分）如圖，已知三棱柱,平面．D,E分別是的中點．（Ⅰ）證明：平面;（Ⅱ）設(shè)與平面所成角的大小是,若,證明：．14．（本題滿分15分）設(shè),函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）是否存在a,使得是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)？若存在，試求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．15．（本題滿分20分）設(shè)M是由復(fù)數(shù)組成的集合，對M的一個子集A,若存在復(fù)平面上的一個圓，使得A的所有數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點都在圓內(nèi)或圓周上，且中的數(shù)對應(yīng)的點都在圓外，則稱A是一個M的“可分離子集”．（Ⅰ）判斷是否是的“可分離子集”，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,其中分別表示z的實部和虛部．證明：是的“可分離子集”當(dāng)且僅當(dāng)．16．（本題滿分20分）已知A是拋物線上一點（異于原點），斜率為的直線與拋物線恰有一個公共點A（與x軸不平行）．（Ⅰ）當(dāng)時，求點A的縱坐標(biāo)；（Ⅱ）斜率為的直線與拋物線交于B,C兩點，且是正三角形，求的取值范圍．17．（本題滿分20分）春節(jié)將至，又是一年萬家燈火的團圓之時．方方正正的小城里，住著戶人家，恰好構(gòu)成了坐標(biāo)平面上集合的所有點．夜里，小城的人家掛上大紅燈籠，交相輝映，將小城的夜晚編織成發(fā)光的大網(wǎng)．在坐標(biāo)平面上看，A中的每個點均獨立地以概率p被點亮，或以的概率保持暗滅．若A中兩個點的距離為1，則這兩個點被稱為是相鄰的．若A中的n個被點亮的點構(gòu)成一依次相鄰的點列,則稱這n個點組成的集合是長度為n的“相鄰燈籠串”．規(guī)定空集是長度為0的“相鄰燈籠串”．（Ⅰ）給定A中3個依次相鄰的點,記隨機變量X為集合包含的“相鄰燈籠串”的長度的最大值，試直接寫出隨機變量X的分布列（用p表示）；（Ⅱ）若,證明：存在長度為1000的“相鄰燈籠串”的概率小于0.01；（Ⅲ）若,證明：存在長度為1000的“相鄰燈籠串”的概率大于0.99．

答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，共40分．1．D2．B3．A4．C5．C6．D7．C8．D二、填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，共20分．9．10．111．12．2三、解答題：本大題共5小題，共90分．13．本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成角等基礎(chǔ)知識，同時考查直觀想象素養(yǎng)．滿分15分．（Ⅰ）由D,E分別是的中點知．又因為是三棱柱，故,又不在平面上，因此平面．（Ⅱ）設(shè)銳二面角的平面角的大小是,連接,由平面知．又,故,因此．由是的中點知．又,而，得,故．14．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運算及其運用，同時考查數(shù)學(xué)運算，邏輯推理等素養(yǎng)．滿分15分．（Ⅰ）當(dāng)時，．，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（Ⅱ）不存在，理由如下：假設(shè)存在a,使得是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)．令,則是上的單調(diào)遞增函數(shù)．又也是上的單調(diào)遞增函數(shù)，令,則是上的單調(diào)遞增函數(shù)．但由（Ⅰ）知函數(shù)在上不單調(diào)．故不存在a,使得是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)．15．本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和運算，復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，同時考查數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運算，邏輯推理等素養(yǎng)．滿分20分．（Ⅰ）是，理由如下：取復(fù)平面上的圓，則復(fù)數(shù)1,2,3在復(fù)平面上對應(yīng)的點都在圓內(nèi)．而,故復(fù)數(shù)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在圓外．因此，是的“可分離子集”．（Ⅱ）必要性：當(dāng)時，令復(fù)數(shù)，取復(fù)平面上的圓，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點在圓周上，又，故1在復(fù)平面上對應(yīng)的點在圓外．由，，知．故在復(fù)平面上對應(yīng)的點在圓外．因此，當(dāng)時，是的“可分離子集”．充分性：只需證當(dāng)時，不是的“可分離子集”．假設(shè)存在復(fù)平面上的一個圓，使得在復(fù)平面上對應(yīng)的點在圓內(nèi)或圓周上，且1，在復(fù)平面上對應(yīng)的點在圓外．設(shè)圓心表示的復(fù)數(shù)為．再設(shè)．由知，故．由知,故．進而,,由知,故,進而．這與矛盾，故所假設(shè)的圓在復(fù)平面上不存在．即當(dāng)時，不是的“可分離子集”．16．本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率與方程等基礎(chǔ)知識，同時考查數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運算，邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．滿分20分．（Ⅰ）由題意可設(shè),直線,代入拋物線得．由題意，方程有兩個相等的實根，故．又,所以點A的縱坐標(biāo)．（Ⅱ）由題意可設(shè)直線,代入拋物線得,故．設(shè)直線,同理可得．由知，不妨設(shè)A,B,C是繞著的重心逆時針排列的，則由知，代入化簡得，結(jié)合及時與同號可知，又，進而，代入化簡得．得．當(dāng)時，易知軸，B位于坐標(biāo)原點，此時．而均不符合題意．因此，的取值范圍是．17．本題主要考查離散型隨機變量及其分布列，古典概型中事件的概率等基礎(chǔ)知識，同時考查數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運算，邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．滿分20分．（Ⅰ）X的分布列為：X0123P（Ⅱ）長度為1000的“相鄰燈籠串”的所有點的選法小于種．因此，P（存在長度為1000的“相鄰燈籠串”）．（Ⅲ）現(xiàn)定義，若A中兩個點的距離不大于，則這兩個點被稱為是相接的；若A中的m個暗滅的點構(gòu)成一依次相接的點列,則稱這m個點組成的集合是長度為m的“暗滅燈籠串”．若不存在長度為1000的“相鄰燈籠串”，則不