【數學】河南省焦作市2024屆高三一模試題（解析版）

河南省焦作市2024屆高三一模數學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，，所以，.故選：A2.已知復數滿足，則的虛部為（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，所以的虛部為．故選：B3.若圓與軸相切，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】D【解析】的圓心為，半徑為，因為圓與軸相切，所以且，解得故選：D4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，顯然，則，解得或．所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.已知所在平面內一點滿足，則的面積是的面積的（）A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍【答案】A【解析】設的中點為，因為，所以，所以，所以點是線段的五等分點，所以,所以的面積是的面積的5倍．故選：A.6.小明將1，4，0，3，2，2這六個數字的一種排列設敒為自己的六位數字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數字，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數為（）A.48 B.32 C.24 D.16【答案】C【解析】1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數，共有種排法，再把組合好的數全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C7.已知函數有兩個極值點p，q，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，則，因為，所以，顯然，，兩式相除得，則，代入中，解得，則．故選：D8.已知雙曲線的右焦點為，過且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知的漸近線方程為，不妨設直線，，聯立方程得，解得，，所以，又，而，，得到，解得，故，代入中，得，得到，又，得到，解得，故所求的漸近線方程為，故選：C.二、多項選擇題9.已知函數，則（）A.為的一個周期 B.的圖象關于直線對稱C.為偶函數 D.在上單調遞增【答案】AB【解析】因為的最小正周期，所以為的一個周期，故A正確；因為，故B正確；因為，不具有奇偶性，故C錯誤；因為，則，且在內單調遞減，所以在上單調遞減，故D錯誤．故選：AB.10.已知正三棱臺中，的面積為，的面積為，，棱的中點為，則（）A.該三棱臺的側面積為 B.該三棱臺的高為C.平面 D.二面角的余弦值為【答案】BCD【解析】對于A，根據條件可得，，分別過點、在平面內作，，垂足分別為點、，因為，，，所以，，則，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，則，即等腰梯形的高為，其面積為，所以該三棱臺的側面積為，故A錯誤；對于B，設的中心為，的中心為，可知是直角梯形，過點在平面內作，垂足為點，因為，，，則四邊形為矩形，因為，解得，同理可得，所以，，，所以，，則，所以，，故B正確；對于C，分別延長棱、、交于點，因為，，則，可得，則，同理可得，所以，四面體為正四面體，延長交于點，則，所以，，且，即，則為的中點，又因為，則為正的中心，故平面，故C正確；對于D，二面角即正四面體相鄰側面的夾角，因為為的中點，為等邊三角形，則，且，因為是邊長為的等邊三角形，則，且，故二面角的平面角為，因為平面，平面，則，則，故二面角的余弦值為，故D正確．故選：BCD.11.甲是某公司的技術研發(fā)人員，他所在的小組負責某個項目，該項目由三個工序組成，甲只負責其中一個工序，且甲負責工序的概率分別為，當他負責工序時，該項目達標的概率分別為,則下列結論正確的是（）A.該項目達標的概率為0.68B.若甲不負責工序C，則該項目達標的概率為0.54C.若該項目達標，則甲負責工序A的概率為D.若該項目未達標，則甲負責工序A的概率為【答案】ACD【解析】記甲負責工序事件，甲負責工序為事件，甲負責工序為事件，該項目達標為事件．對于選項A，該項目達標的概率為，故選項A正確；對于選項B，，故選項B錯誤；對于選項C，，所選項C正確；對于選項D，，所以選項D正確，故選：ACD.12.已知拋物線的準線，直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，則下列結論正確的是（）A.若，則以為直徑的圓與相交B.若，則為坐標原點C.過點分別作拋物線的切線，，若，交于點A，則D.若，則點到直線的距離大于等于【答案】BCD【解析】由題可得拋物線，設，，對于選項A，當時，直線過的焦點，此時，又的中點到準線的距離為，則以為直徑的圓與相切，故選項A錯誤；對于選項B，當時，直線，將代入，得，則，又易知，所以，故選項B正確；對于選項C，由題可設拋物線在點處的切線方程為，由，消得到，由，得到，又，所以，得到，所以在點處的切線方程為，整理得到，同理可得拋物線在點處的切線方程為，聯立，解得，故，故選項C正確；對于選項D，由拋物線的對稱性，可知當軸時，點到直線的距離最小，由，不妨取，代入，得到，所以，點到直線的距離為，故選項正確．故選：BCD.三、填空題13.已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側面展開圖對應的扇形的圓心角為_________．【答案】【解析】設圓錐（如圖所示）的高為．因為，所以，母線．將圓錐沿展開所得扇形的弧長為底面周長，根據弧長公式，所以圓心角.故答案為：.14.已知數列中，，且，則的前12項和為_________．【答案】【解析】依題意，故，,所以，，，…，故的前12項和為．故答案為：15.已知正實數m，n滿足，則的最大值為_________．【答案】2【解析】依題意得，則，即，則，解得，則的最大值為2．當且僅當時取得最大值.故答案為：2.16.若函數在上沒有零點，則實數的取值范圍為_________．【答案】【解析】因為，則，令，顯然，則，令，，則，令，得，，列表如下：增極大值減減極小值增所以，函數的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、，且極大值為，極小值為．當時，，當時（從左邊趨于），；當時（從右邊趨于），，當時（從右邊趨于），.由圖象可知，當時，直線與曲線沒有交點，即在上沒有零點．因此，實數的取值范圍是，故答案為：.四、解答題17.已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，求的值．（1）證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡得．（2）解：由得，化簡得，又，故，所以，故．18.如圖所示，在三棱錐中，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為，所以，同理可得，故，因為，平面，所以平面因為平面，故平面平面．（2）解：以C為坐標原點，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為則，，，，，所以，，．設為平面的法向量，則即令，得．設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知數列中，，．（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前n項和．解：（1）由，可得，又，故數列是以1為首項，為公差的等差數列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．20.為了驗證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實驗室中進行了次試驗，假設小王每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨立．（1）若小王某天進行了4次試驗，且，求小王這一天試驗成功次數的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止試驗，，以表示停止試驗時試驗的總次數，求．（結果用含有的式子表示）解：（1）依題意，，則，，，，故的分布列為：X01234P故．（2）方法一：設“停止試驗時試驗總次數不大于”，則，“次試驗中，成功了0次或1次”，“次試驗中，成功了0次”的概率；“次試驗中，成功了1次”的概率．所以．方法二：事件“”表示前次試驗只成功了1次，且第次試驗成功，故，所以，令，則，兩式相減得：，則．即21.（1）求函數的極值；（2）若，證明：當時，．（1）解：依題意，，令，解得，所以當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，而，故的極小值為0，無極大值．（2）證明：由（1）可知，當時，，則．令，則，易知在上單調遞增．因為，所以，，故，使得，即①．當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故②．由①可得，代入②，得，而，故，故，即原命題得證．22.已知橢圓的離心率為，直線過的上頂點與右頂點且與圓相切．（1）求的方程．（2）過上一