課題名稱二項式定理

PAGEPAGE4課題名稱《二項式定理》泉州七中賴呈杰一、概述二項式定理是在學(xué)習(xí)了計數(shù)原理之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，一方面二項式定理的證明要用到計數(shù)原理，可作為計數(shù)原理的一個應(yīng)用；另一方面二項式定理為學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布作準(zhǔn)備。此外二項式定理可導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，可以加深對組合數(shù)的認(rèn)識?？傊?，二項式定理是綜合性較強(qiáng)的，具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識。二項式定理的教學(xué)需3課時，本節(jié)課是第一課時。主要讓學(xué)生掌握二項式定理的公式推導(dǎo)，了解公式的證明，掌握公式的特點，會用公式解決實際問題。二、教學(xué)目標(biāo)分析從知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀三個維度對該課題預(yù)計要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)做出一個整體描述。1．知識與技能目標(biāo)理解二項式定理及其推導(dǎo)方法，識記二項展開式的有關(guān)特征，能對二項式定理進(jìn)行簡單應(yīng)用．2..過程與方法目標(biāo)通過教師指導(dǎo)下的探究活動，經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維過程，熟悉理解“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識，獲得學(xué)習(xí)和成功的體驗．3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)通過對二項式定理內(nèi)容的研究，體驗特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般到特殊指導(dǎo)實踐的認(rèn)識事物過程；通過對二項展開式結(jié)構(gòu)特點的觀察，體驗數(shù)學(xué)公式的對稱美、和諧美．三、學(xué)習(xí)者特征分析1.學(xué)生是高二年學(xué)生；2.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了計數(shù)原理；3.學(xué)生對計數(shù)原理的應(yīng)用比較感興趣；4.學(xué)生的總體基礎(chǔ)較好，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)。四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計本節(jié)課以“探究——歸納——證明——應(yīng)用”為主線，通過設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究多項式展開式的系數(shù)的特點，總結(jié)規(guī)律，并能應(yīng)用規(guī)律分析問題、解決問題。以學(xué)生的自主探究為主要方式，讓學(xué)生主動去學(xué)習(xí)新知、探究未知，在活動中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，并能數(shù)學(xué)地提出問題、解決問題。3.教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。五、教學(xué)資源與工具設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)資源主要是課本和多媒體教學(xué)資源六、教學(xué)過程（一）設(shè)置情境，引入課題問題某人投資10萬元，有兩種獲利的可能供選擇．一種是年利率12％，按單利計算，10年后收回本金和利息．另一種年利率10％，按每年復(fù)利一次計算，10年后收回本金和利息．試問，哪一種投資更有利？分析：本金10萬元，年利率12％，按單利計算，10年后的本利和是10×（1＋12％×10）＝22（萬元）本金10萬元，年利率10％，按每年復(fù)利一次計算，10年后的本利和是那么如何計算的值呢？能否在不借助計算器的情況下，快速、準(zhǔn)確地求出其近似值呢？這就得研究形如的展開式．（二）探索研究二項式定理的內(nèi)容問題：的展開式有什么特點？你能將它展開嗎？試一試．[學(xué)生分組探究]學(xué)生可能的探究方法1：由……學(xué)生可能通過具體的例子來展開說明，如：或?qū)W生歸納過程可能如下：以為例的展開式的分析過程：容易看到，等號右邊的積的展開式的每一項，是從每個括號里任取一個字母的乘積，因而各項都是4次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：．[學(xué)生可能歸納出來：（1）每一項中字母，的指數(shù)之間的關(guān)系（2）項的個數(shù)有項]在上面4個括號中：每個都不取的情況有1種，即種，所以的系數(shù)是；恰有1個取的情況下有種，所以的系數(shù)是；恰有2個取的情況下有種，所以的系數(shù)是；恰有3個取的情況下有種，所以的系數(shù)是；4個都取的情況下有種，所以的系數(shù)是；因此．[歸納、猜想]教師根據(jù)情況進(jìn)行指導(dǎo)和引導(dǎo)，尤其是各項二項式系數(shù)的確定，教師要從各項中，指數(shù)的含義如來引導(dǎo)，并要求學(xué)生說明怎么得到這些項？教師可以通過電腦演示各形式項的形成過程，將學(xué)生的思維過程展示．學(xué)生可能的探究方法2：，共個，依據(jù)多項式乘法，直接寫出各項．[學(xué)生成果展示，可通過具體實例：通過投影、板書或口述]問題：希望學(xué)生得到的規(guī)律項數(shù)：項；指數(shù)：字母，的指數(shù)和為，字母的指數(shù)由遞減至，同時，字母的指數(shù)由0遞增至；二項式系數(shù)是通項：[板書（1），（2）][規(guī)律（3）得到后，板書][規(guī)律（4）得到后，補(bǔ)全二項式定理板書]教師引導(dǎo)中，可能用到的引導(dǎo)問題：將展開，有多少項？每一項中，字母，的指數(shù)有什么特點？字母，的指數(shù)的含義是什么？是怎樣得到的？如何確定的系數(shù)？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察二項式定理，從以下幾方面強(qiáng)調(diào)：項數(shù)：項；指數(shù)：字母，的指數(shù)和為，字母的指數(shù)由遞減至0，同時，字母的指數(shù)由0遞增至；二項式系數(shù)：下標(biāo)為，上標(biāo)由遞增至；通項：指的是第r+1項，該項的二項式系數(shù)是公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，上面的定理是用不完全歸納法得到的，下面可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明．用數(shù)學(xué)歸納法證明。（三）二項式定理的應(yīng)用1．解決本節(jié)課開始提出的問題．解：由此可見，按年利率10％每年復(fù)利一次計算的要比年利率12％單利計算更有利，10年后多得利息2.5萬元．備選例題2．展開解：思考1．第三項的系數(shù)是多少？思考2．第三項的二項式系數(shù)是多少？你能得到什么結(jié)論？[板書：.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同概念．]思考3．若本例只求第三項的二項式系數(shù)，你還可以怎么處理？哪種方法更好？3.求的展開式中的系數(shù)和中間項。4.求展開式的常數(shù)項和中間項。（四）歸納小結(jié)1．學(xué)生的學(xué)習(xí)體會與感悟；2．教師強(qiáng)調(diào)：（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證”的良好習(xí)慣．（3）二項式定理每一項中字母，的指數(shù)和為，的指數(shù)從遞減至0同時的指數(shù)由0遞增至，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美．二項式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學(xué)們在課下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現(xiàn)．（五）作業(yè)P36習(xí)題1.31、2、3、4。七、教學(xué)反思1．探究與合作是本節(jié)課的亮點本節(jié)課采用探究式教學(xué)方式，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和情感體驗，注重教學(xué)過程中學(xué)生主體地位的體現(xiàn)和主體作用的發(fā)揮，尊重學(xué)生人格和個性，鼓勵發(fā)現(xiàn)、探究與質(zhì)疑，符合“以學(xué)生的發(fā)展為本”新課程理念．本課采用小組合作、探究的方式，學(xué)生從特殊情況入手，探究=1，2，3，4，…時二項展開式的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)二項式定理的基本內(nèi)容，再推廣到一般．（強(qiáng)調(diào)證明，但不要求證明）這樣，本課做到了以學(xué)生為主體，學(xué)生通過自主與合作的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程．在接受、掌握知識的同時，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與思維方法得到發(fā)展，科學(xué)思維修養(yǎng)獲得了提高，合作的意識得到加強(qiáng)．2．德育滲透恰當(dāng)，適時適度通過對二項式定理內(nèi)容的研究，學(xué)生體驗了從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從一般到特殊的指導(dǎo)實踐的認(rèn)識事物過程．通過對二項展開式結(jié)構(gòu)特點的觀察，學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)公式的對稱美、和諧美．本課有意識的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．新課程理念中強(qiáng)調(diào)“培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”，本節(jié)課正是由實際問題的引入為開始，又以問題的最終解決為結(jié)局，數(shù)學(xué)的應(yīng)用貫穿整個課堂，突出了“應(yīng)用意識”的培養(yǎng)，符合新課程理念．突出數(shù)學(xué)思維方法與學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)．?dāng)?shù)學(xué)有兩類猜想，一是歸納（不完全歸納），一是類