高考數(shù)學二輪復習 專題強化訓練（十一）計數(shù)原理、二項式定理、概率 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

專題強化訓練(十一)計數(shù)原理、二項式定理、概率一、選擇題1．[2019·安徽五校聯(lián)考二]某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為()A．15 B．30C．35 D．42解析：解法一：甲企業(yè)有2人，其余5家企業(yè)各有1人，共有7人，所以從7人中任選3人共有Ceq\o\al(3,7)種情況，發(fā)言的3人來自2家企業(yè)的情況有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)種，所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)＝30(種)，故選B.解法二：發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且含甲企業(yè)的人的情況有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20(種)；發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且不含甲企業(yè)的人的情況有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)．所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有20＋10＝30(種)，故選B.答案：B2．[2019·長沙四校一模]某校高三年級為了解學情和教情，在該年級6個班中選10名學生參加座談會，要求每班至少派1名學生參加，其中高三(1)班至少派2名學生參加，則不同的選派方式有()A．72種 B．60種C．50種 D．56種解析：首先需滿足高三(1)班選2名學生，其余班級各選1名學生，然后只需分配剩下的3個名額，這3個名額可以分到一個班，有Ceq\o\al(1,6)種分法，也可以分到兩個班，其中一個班1名，一個班2名，有Aeq\o\al(2,6)種分法，還可以分到三個班，每班1名，有Ceq\o\al(3,6)種分法．因此不同的選派方式共有Ceq\o\al(1,6)＋Aeq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＝56(種)．故選D.答案：D3．[2019·合肥質(zhì)檢二]某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務，要求是：任務A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務A之后需立即執(zhí)行任務E；任務B、任務C不能相鄰．則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種C.48種 D.54種解析：由題意知任務A，E必須相鄰，且只能安排為AE，由此分三類完成，(1)當AE排第一、二位置時，用○表示其他任務，則順序為AE○○○○，余下四項任務，先全排D，F(xiàn)兩項任務，然后將任務B，C插入D，F(xiàn)兩項任務形成的三個空隙中，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種方法．(2)當AE排第二、三位置時，順序為○AE○○○，余下四項任務又分為兩類：①B，C兩項任務中一項排第一位置，剩余三項任務排在后三個位置，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)種方法；②D，F(xiàn)兩項任務中一項排第一位置，剩余三項任務排在后三個位置，且任務B，C不相鄰，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種方法．(3)當AE排第三、四位置時，順序為○○AE○○，第一、二位置必須分別排來自B，C和D，F(xiàn)中的一個，余下兩項任務排在后兩個位置，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知不同的執(zhí)行方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝44(種)，故選B.答案：B4．[2019·廣州調(diào)研]已知甲袋中有1個黃球和1個紅球，乙袋中有2個黃球和2個紅球，現(xiàn)隨機從甲袋中取出1個球放入乙袋中，再從乙袋中隨機取出1個球，則從乙袋中取出的球是紅球的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,9)解析：設事件A：“從甲袋中取出1個紅球放入乙袋中，再從乙袋中取出1個紅球”，事件B：“從甲袋中取出1個黃球放入乙袋中，再從乙袋中取出1個紅球”，根據(jù)題意知所求概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,2).故選B.答案：B5．[2019·合肥質(zhì)檢]某商場進行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標號分別為1,2,3,4,5的五個小球，每次摸獎需要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結(jié)束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行第二次摸球，若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則中獎．按照這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50) D.eq\f(41,100)解析：分為兩個互斥事件：記“第一次取出的兩球號碼連號中獎”為事件A，記“第二次取出的兩球與第一次取出的未中獎的兩球號碼相同中獎”為事件B，則由題意得P(A)＝eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)－4,C\o\al(2,5)C\o\al(2,5))＝eq\f(3,50)，則每位顧客摸球中獎的概率為P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50)，故選C.答案：C6．[2019·石家莊質(zhì)檢]袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有“和”、“諧”、“?！?、“園”四個字，有放回地從中任意摸出一個小球，直到“和”、“諧”兩個字都摸到就停止摸球，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止摸球的概率．利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間(含1和4)取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用1,2,3,4代表“和”、“諧”、“校”、“園”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(2,9) D.eq\f(5,18)解析：由18組隨機數(shù)得，恰好在第三次停止摸球的隨機數(shù)是142,112,241,142，共4組，所以恰好第三次就停止摸球的概率約為eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)，故選C.答案：C7．[2019·廣州綜合測試]劉徽是我國魏晉時期的數(shù)學家，在其撰寫的《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法．如圖所示，圓內(nèi)接正十二邊形的中心為圓心O，圓O的半徑為2，現(xiàn)隨機向圓O內(nèi)投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)(a，b∈N*，b<a)，則圓周率的近似值為()A.eq\f(b,a) B.eq\f(a,b)C.eq\f(3a,b) D.eq\f(3b,a)解析：依題意可得eq\f(360°,12)＝30°，則正十二邊形的面積為12×eq\f(1,2)×2×2×sin30°＝12.又圓的半徑為2，所以圓的面積為4π，現(xiàn)向圓內(nèi)隨機投入a粒豆子，有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)，根據(jù)幾何概型可得eq\f(12,4π)＝eq\f(b,a)，則π＝eq\f(3a,b)，選C.答案：C8．[2019·南昌一模]2021年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準備選歷史與政治，假若他們都對后面三科沒有偏好，則他們選課相同的概率為()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,6)解析：由題意，從政治、地理、化學、生物中四選二，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)方法，所以他們選課相同的概率為eq\f(1,6)，故選D.答案：D9．[2019·武漢2月調(diào)研]已知某口袋中裝有2個紅球，3個白球和1個藍球，從中任取3個球，則其中恰有兩種顏色的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(7,20) D.eq\f(13,20)解析：依題意，從口袋中任取3個球，共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)取法，從口袋中任取3個球，恰有兩種顏色的取法有Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝13(種)，所以所求的概率P＝eq\f(13,20)，故選D.答案：D10．[2019·洛陽統(tǒng)考二]如圖所示，三國時代數(shù)學家在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影)，設直角三角形有一個內(nèi)角為30°，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒(大小忽略不計，取eq\r(3)≈1.732)，則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A．20 B．27C．54 D．64解析：設大正方形的邊長為2，則小正方形的邊長為eq\r(3)－1，所以向弦圖內(nèi)隨機投擲一顆米粒，落入小正方形(陰影)內(nèi)的概率為eq\f(\r(3)－12,4)＝1－eq\f(\r(3),2)，向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒，落入小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為200×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))≈27，故選B.答案：B11．[2019·石家莊一模]袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取2個球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,5)解析：設“第二次摸到紅球”為事件A，“第一次摸到紅球”為事件B，∵P(A)＝eq\f(2×1＋2×2,4×3)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,4×3)＝eq\f(1,6)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3)，∴在第二次摸到紅球的條件下，第一次摸到紅球的概率為eq\f(1,3)，故選B.答案：B12．[2019·武漢4月調(diào)研]大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學進行支教，若每個村小學至少分配1名大學生，則小明恰好分配到甲村小學的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：依題意，小明與另外3名大學生分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學的分配方法是1個學校2人，另外2個學校各1人，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)分配方法，若小明必分配到甲村小學，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝12(種)分配方法，根據(jù)古典概型的概率計算公式得所求的概率為eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，故選C.答案：C13．[2019·武漢4月調(diào)研]為了提升全民身體素質(zhì)，學校十分重視學生體育鍛煉．某校籃球運動員進行投籃練習，他前一球投進則后一球投進的概率為eq\f(3,4)，他前一球投不進則后一球投進的概率為eq\f(1,4).若他第1球投進的概率為eq\f(3,4)，則他第2球投進的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16) D.eq\f(9,16)解析：設籃球運動員投進第n－1(n≥2，n∈N*)個球的概率為Pn－1，第n－1個球投不進的概率為1－Pn－1，則他投進第n個球的概率為Pn＝eq\f(3,4)Pn－1＋eq\f(1,4)(1－Pn－1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)Pn－1，∴Pn－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(1,2))).∴Pn－eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P1－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1×eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1.∴Pn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1＋eq\f(1,2)(n∈N*)，∴P2＝eq\f(5,8).故選B.答案：B14．[2019·福建質(zhì)檢]某商場通過轉(zhuǎn)動如圖所示的質(zhì)地均勻的6等分的圓盤進行抽獎活動，當指針指向陰影區(qū)域時為中獎．規(guī)定每位顧客有3次抽獎機會，但中獎1次就停止抽獎．假設每次抽獎相互獨立，則顧客中獎的概率是()A.eq\f(4,27) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(19,27)解析：記顧客中獎為事件A，恰抽1次就中獎為事件A1，恰抽2次中獎為事件A2，恰抽3次中獎為事件A3.每次抽獎相互獨立，每次抽獎中獎的概率均為eq\f(1,3)，∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27)，故選D.答案：D15．[2019·濟南模擬]2019年1月1日，濟南軌道交通1號線試運行，濟南軌道交通集團面向廣大市民開展“參觀體驗，征求意見”活動，市民可以通過濟南地鐵APP搶票，小陳搶到了三張體驗票，準備從四位朋友小王，小張，小劉，小李中隨機選擇兩位與自己一起去參加體驗活動，則小王和小李至多一人被選中的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析：通解：若小王和小李都沒被選中，則有Ceq\o\al(2,2)種方法，若小王和小李有一人被選中，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)種方法，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).優(yōu)解：若小王和小李都被選中，則有1種方法，故所求概率P＝1－eq\f(1,C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).答案：D二、填空題16．[2019·惠州調(diào)研]某公司招聘5名員工，分給下屬的甲、乙兩個部門，其中2名英語翻譯人員不能分給同一部門，另3名電腦編程人員不能都分給同一部門，則不同的分配方案種數(shù)是________．解析：由題意可得，①甲部門要2個電腦編程人員，則有3種情況；2名英語翻譯人員的分配方法有2種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，分配方案共有3×2＝6(種)．②甲部門要1個電腦編程人員，則有3種情況；2名英語翻譯人員的分配方法有2種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，分配方案共有3×2＝6(種)．由分類加法計數(shù)原理，可得不同的分配方案共有6＋6＝12(種)．答案：1217．[2019·合肥調(diào)研]將紅、黃、藍三種顏色的三顆棋子分別放入3×3方格圖中的三個方格內(nèi)，如圖，要求任意兩顆棋子不同行、不同列，且不在3×3方格圖所在正方形的同一條對角線上，則不同的放法共有________種.解析：要想任意兩顆棋子不在同一行、同一列和同一條對角線上，則三顆棋子必有一顆在正方形方格的頂點，另兩顆在對角頂點的兩側(cè)，如圖所示，由于正方形有四個頂點，故有四個不同的相對位置，又三顆棋子顏色不同，故不同的放法共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種).答案：2418．[2019·開封定位考試]從甲、乙等5名學生中選出4名分別參加數(shù)學、物理、化學、生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，乙只能參加數(shù)學競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為________．解析：分三種情形討論：①甲、乙都選，不同的參賽方案有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(種)；②選乙不選甲，不同的參賽方案有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)；③選甲不選乙，不同的參賽方案有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)．所以滿足條件的不同的參賽方案種數(shù)為12＋6＋18＝36.答案：3619．[2019·江西五校聯(lián)考](x2＋1)(x－1)5的展開式中含x5的系數(shù)為________．解析：在(x2＋1)(x－1)5的展開式中要想出現(xiàn)x5，有兩種可能，其一，在第一個多項式中取x2，在第二個展開式中取Ceq\o\al(2,5)x3(－1)2，即x2Ceq\o\al(2,5)x3(－1)2＝10x5；其二，在第一個多項式中取1，在第二個展開式中取Ceq\o\al(0,5)x5，即1×Ceq\o\al(0,5)x5＝x5.10x5＋x5＝11x5，所以x5的系數(shù)為11.答案：1120．[2019·鄭州質(zhì)量預測一]已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x2))n的展開式的各項系數(shù)和為64，則展開式中x3的系數(shù)為________．解析：令x＝1，得2n＝64，解得n＝6，則eq