浙江省杭州市杭州七縣市區(qū)2024屆高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省杭州市杭州七縣市區(qū)2024屆高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．22．在關(guān)于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．當(dāng)時，函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．4．以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費(fèi)價格指數(shù)（上一年同月）變化圖表，則以下說法錯誤的是（）（注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是北京、天津、上海、重慶）A．3月份四個城市之間的居民消費(fèi)價格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均B．4月份僅有三個城市居民消費(fèi)價格指數(shù)超過102C．四個月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價格指數(shù)增長幅度波動較小D．僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價格指數(shù)的增長呈上升趨勢5．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．1288．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．39．小張家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小張家，小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件：“小張在離開家前能得到報紙”，設(shè)送報人到達(dá)的時間為，小張離開家的時間為，看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件的概率等于（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．11．若數(shù)列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．12．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适莀____．14．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；②支出最高值與支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入為50萬元；④利潤最高的月份是2月份．15．某市高三理科學(xué)生有名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知，若按成績分層抽樣的方式取份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為__________.16．等邊的邊長為2，則在方向上的投影為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)有唯一零點(diǎn).（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，證明：.18．（12分）中的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，.（1）求；（2）若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.19．（12分）是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列中最小的項(xiàng).20．（12分）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）在上恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)、分別在第一和第二象限內(nèi)，求的面積.22．（10分）已知，均為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

討論當(dāng)時，是否恒成立；討論當(dāng)恒成立時，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時，，由開口向上，則恒成立；當(dāng)恒成立時，若，則不恒成立，不符合題意，若時，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.3、B【解析】由，解得，即或，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，不正確，設(shè)，則，由，解得或，由，解得：，即是函數(shù)的一個極大值點(diǎn)，不成立，排除，故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識點(diǎn)較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除.4、D【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.【詳解】A正確，從圖表二可知，3月份四個城市的居民消費(fèi)價格指數(shù)相差不大B正確，從圖表二可知，4月份只有北京市居民消費(fèi)價格指數(shù)低于102C正確，從圖表一中可知，只有北京市4個月的居民消費(fèi)價格指數(shù)相差不大D錯誤，從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價格指數(shù)的增長呈上升趨勢故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圖表的認(rèn)識，審清題意，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點(diǎn))，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得．6、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結(jié)合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得第1次循環(huán)，滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，；第4次循環(huán)，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計算，結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計算出模．【詳解】．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.【詳解】解：事件發(fā)生，需滿足，即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi)，作圖如下：故選：D【點(diǎn)睛】考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.10、B【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點(diǎn)：雙曲線方程.11、C【解析】因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．12、A【解析】

由計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】，，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】乙不輸?shù)母怕蕿椋?14、①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察，計算，找出答案即可．【詳解】對于①，2至月份的收入的變化率為20，11至12月份的變化率為20，故相同，正確．對于②，支出最高值是2月份60萬元，支出最低值是5月份的10萬元，故支出最高值與支出最低值的比是6：1，正確．對于③，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40萬元，50萬元，60萬元，故第三季度的平均收入為50萬元，正確．對于④，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元，高于2月份的利潤是80﹣60＝20萬元，錯誤．故答案為①②③．【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題目．15、【解析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率，乘以可得.【詳解】解：，所以應(yīng)從分以上的試卷中抽取份.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知：，，，則：，，且，，據(jù)此可知在方向上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量投影的定義與計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）為增區(qū)間；為減區(qū)間.見解析（2）見解析【解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出有唯一零點(diǎn).（2）求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào)，證得，通過證明，證得成立.【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)?，由，解得為增區(qū)間；由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個零點(diǎn)：∵，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，∵，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，故函數(shù)只有一個零點(diǎn).（2）證明：函數(shù)，則當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)增函數(shù)，而，又∵區(qū)間上不單調(diào)，所以存在，使得在上有一個零點(diǎn)，即，所以，且，即兩邊取自然對數(shù)，得即，要證，即證，先證明：，令，則∴在上單調(diào)遞增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.18、（1）（2）10【解析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式計算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知計算出與，再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，則，化簡得，，解得或（負(fù)值舍去），，，，，，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由可得出，兩式作差可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用數(shù)列的單調(diào)性的定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，由此可求得數(shù)列的最小項(xiàng)的值.【詳解】（1）對任意的，由得，兩式相減得，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，則.當(dāng)時，，即，；當(dāng)時，，即，.所以，數(shù)列的最小項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項(xiàng)，同時也考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列中的最小項(xiàng)，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設(shè)，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當(dāng)時，，，這時，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時，.綜上，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn).（2），由，所以恒成立，若，則，設(shè)，.故當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，有，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時，令，則，又，故在區(qū)間上有無窮多個零點(diǎn)，設(shè)最小的零點(diǎn)為，則當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增.，所以.于是，當(dāng)時，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．21、（1）（2）【解析】

（1）因?yàn)?，可得，即可求得答案；?）分別設(shè)、的斜率為和，切點(diǎn)，，可得過點(diǎn)的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到關(guān)于一元二次方程，根據(jù)，求得，，進(jìn)而求得切點(diǎn)，坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到切線的距離，進(jìn)而求得的面積.【詳解】（1），，解得，拋物線的方程為.（2）由題意可知，、的斜率都存在，分別設(shè)為和，切點(diǎn)，，過點(diǎn)的拋物線的切線：，由,消掉,可得，，即，解得，