1.3古典概型-一等獎創(chuàng)新教學設計

1.3古典概型一等獎創(chuàng)新教學設計10.1.3古典概型

一、內容與內容解析

（一）內容

本單元的核心內容包括:古典概型的概念及特征、古典概型的概率計算公式。

（二）內容解析

1、內容的本質

古典概型是概率論中最直觀和最簡單的模型，概率的許多運算規(guī)則，也首先是在這種模型下得到的，它的出現(xiàn)是為了更簡單的運算，為計算概率制作一個在無規(guī)則概率問題中提出一個有規(guī)則的模型。

2、知識的上下位關系

古典概型是安排在學生學習了有限樣本空間與隨機事件、事件的關系和運算之后的一個最基礎的概率模型，前兩節(jié)的學習為學生列樣本空間、計算和事件打下了一定的基礎，也為下一節(jié)學生研究概率的基本性質提供了一個具體的案例支撐，建立事件的獨立性、條件概率等重要概念，也都是以古典概型為背景的。

3、內容蘊含的數(shù)學思想和方法

研究古典概型，在描述并表示樣本空間的過程中，體會將隨機現(xiàn)象數(shù)學化的思想方法，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)，通過計算古典概型中簡單隨機事件的概率，加深對隨機現(xiàn)象的認識和理解，通過解決一些簡單實際問題，提升數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算素養(yǎng)。

4、內容的育人價值

概率課程承擔的主要育人任務是培養(yǎng)學生分析隨機現(xiàn)象以及對隨機試驗進行數(shù)學建模的能力。通過對古典概率試驗的分析，在構建研究隨機現(xiàn)象的路徑、抽象概率的研究對象、建立古典概型的基本概念、發(fā)現(xiàn)和提出古典概型的概率計算公式、探索和形成研究具體隨機現(xiàn)象的思路和步驟、應用概率知識解決實際問題的過程中,使學生學會辯證地思考問題，提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理以及數(shù)學運算素養(yǎng)。

（三）教學重點

1、理解古典概型的概念及特征，會判斷隨機試驗是否是古典概型；

2、總結歸納古典概型中簡單隨機事件的求法。

二、目標與目標解析

（一）目標

1.理解古典概型的概念及特點.

2.利用古典概型概率公式解決簡單的概率計算問題.

（二）目標解析

達成上述目標的標志是：

1、會利用古典概型的兩個特征判斷是否是古典概型．

2、能用適當?shù)谋磉_形式和分類方法通過列舉獲得古典概型的樣本空間；能對樣本點的等可能性進行判斷；能用古典概型的概率計算公式計算概率。

三、教學問題診斷分析

（一）問題診斷

1、認知基礎

概率的研究對象是隨機現(xiàn)象，這對學生來說比較陌生，但概率的結論是確定的，研究確定性現(xiàn)象的一般方法同樣適用于概率的研究。另外，等可能條件下求隨機事件的概率、頻率估計概率等知識，學生在初中已有初步認識。為學生表述樣本空間、樣本點、滿足對應事件的樣本點提供了必要的認知基礎。

2、認知困難

從學生的認知基礎看，盡管他們對用圖表、樹狀圖等方法研究簡單隨機事件的可能結果有了一定的認識，但初中所學的概率內容非常有限，只能通過背景簡單的情境定性解決隨機事件，通過直觀的手段，用列舉法解決簡單的概率求解問題，而現(xiàn)在所學知識對抽象思維的要求很高，因為沒有這方面的經驗，所以大多數(shù)學生會不知道從哪些角度入手，而建立樣本點、樣本空間概念的過程，就是將隨機試驗的結果轉化為數(shù)學符號語言表達的過程，需要較強的數(shù)學語言表達能力。在學生以往的學習經歷中，這方面的經驗積累不多，他們還缺乏為一個隨機試驗構建樣本空間的必備技能，完成這項任務學生今后求概率將會游刃有余，所以這是本單元學習中學生會遇到的難點。

3、應對策略

提高認知站位，在教學中，要通過較多例子的分析，幫助學生在充分感受的基礎上歸納出這些特點，促使學生逐步加深對概率的研究對象的認識。要通過典型，豐富的古典概型實例，通過必要的示范講解，引導學生思考如何確定一個隨機試驗的觀察點，如何區(qū)分各種可能的結果，怎樣表示等等，并通過適當?shù)闹庇^手段(如畫樹狀圖、列二維表)，幫助學生掌握獲得隨機試驗樣本空間的方法。

（二）教學難點

1、明確試驗中的研究對象，能利用圖表等形式列出試驗的樣本空間；2、能計算較復雜的古典概型概率。

四、教學支持條件分析

（一）運用課前預習與任務分配，引導學生合作完成課前任務，為課堂教學做好充分準備，提高課堂教學效率。

（二）借助AIclass及投影展臺，展示小組探究成果，便于師生課堂互動與教學評價。

五、課時教學設計

第1課時古典概型

（一）.課時教學內容

古典概型

（二）.課時教學目標

1、通過試驗理解基本事件的概念和特點；通過具體實例分析，抽離出古典概型的兩個基本特征，并推導出古典概型下的概率計算公式；

會求一些簡單的古典概率問題。

2、經歷探究古典概型的過程，體驗由特殊到一般的數(shù)學思想方法。

3、用具有現(xiàn)實意義的實例，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。

（三）.教學重點與難點

1、重點：古典概型的概念及特點，古典概型的概率計算公式。

2、難點：明確隨機試驗中的研究對象，能正確的列出樣本空間中的樣本點。

（四）.教學過程設計

1、問題導入，激發(fā)興趣

在“十五二十”猜拳游戲中，假設雙方出拳時都等可能的在“0”“5”“10”中任選一種，各說一個數(shù)字，若恰好是兩人拳數(shù)之和，則獲勝。除了心理因素外，其實還可以建立合適的數(shù)學模型，通過計算，制定數(shù)學上的制勝策略，你知道是什么嗎？讓我們帶著這個問題進入今天的學習。

【設計意圖】以猜拳游戲作為本節(jié)課的導入，激發(fā)學生學習興趣，滲透數(shù)學建模思想，讓學生感受生活處處是數(shù)學。

2、探究推導，學習新知

任務一、古典概型概念

問題1：

①在區(qū)間（0,10]上任取一個整數(shù)，可列出多少個樣本點？

②在區(qū)間（0,10]上任取一個實數(shù)，可列出多少個樣本點？

③丟一枚質量均勻的骰子，每個點數(shù)被丟出的概率是多少？

④中國女子射擊運動員楊倩獲得了東京奧運會上的首枚金牌，開啟了我國在東京奧運會上的奪金之旅，如右圖所示，氣步槍的靶紙共設計有十環(huán)，射中1環(huán)與10環(huán)的概率是否相同？

追問：以上四個試驗有什么異同？

分析：在區(qū)間（0,10]上任取一個整數(shù)和任取一個實數(shù)的樣本點一個是有限的，一個是無限的；投骰子時，一共6個結果，每個點數(shù)被丟出的概率為1/6，是相同的，但射擊中射中1環(huán)與10環(huán)的概率是不同的。

【設計意圖】對比兩類情景的概率計算方式，引導學生發(fā)現(xiàn)這是兩類不同的情景，通過比較，感知古典概型的特點，并總結古典概型的概念．

一般地，若試驗E具有以下特征：

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

問題2：同時擲兩枚相同的硬幣，這個試驗是古典概型嗎？

追問1：試著列出此試驗的樣本空間，有幾個樣本點？

追問2：你列出的樣本空間是否滿足我們所學古典概型的兩個特征？

小結：計算古典概型時，需要對物品進行編號，方能保證等可能性．

【設計意圖】以投硬幣試驗作為切入點，通過追問，在學生動腦思考、數(shù)據(jù)分析的過程中，驗證怎樣選擇樣本點才能做到等可能，進一步加深了學生對古典概型的理解．

任務二、古典概型概率的計算

問題3：考慮下面兩個隨機試驗，求事件A和B發(fā)生的概率．

（1）一個班級中有18名男生，22名女生，采用抽簽的方式，從中隨機選擇一名學生，事件A=“抽到男生”；

分析：（1）共40個樣本點，它們是等可能的，抽到男生占18個樣本點，故事件A發(fā)生的概率為；

【設計意圖】簡單運用古典概型概率計算公式，再次體會對物品進行編號以保證樣本點的等可能性．

（2）：拋擲一枚質地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面朝上”．

對學生的列舉過程進行點評，提醒學生列舉時是否建立了良好的分類標準，能否用樹狀圖和有序數(shù)對的形式表達樣本點．

【設計意圖】練習用列舉法得到樣本空間，引起學生對分類標準的關注，并練習通過樹狀圖和有序數(shù)對等形式對樣本點進行清晰的表達．

概括得到古典概型的計算公式：

一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率，其中和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù).

問題4.（課本P237改編)（1）單項選擇題是標準化考試中常用題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查內容，他可以選擇唯一正確的答案.假設考生有一題不會做，他隨機地選擇一個答案，答對的概率是多少？

分析：共四個樣本點，每個樣本點可能性相同，所以答對的概率為1/4.

【設計意圖】練習用列舉法得到樣本空間，判斷是否為古典概型。

（2）在今年的山西省高考中，數(shù)學加入了多項選擇題，每道題分值5分，至少有兩個正確選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。若正確答案為ACD，記事件A=“得5分”，B=“得2分”，求事件A和B發(fā)生的概率。

學生活動：小組合作探究。

分析：該考生答題情況樣本空間Ω={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD，ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD}共15個樣本點，且每個樣本點的可能性都相等，其中A={ACD}，所以P（A）=1/15,；B={A,C,D,AC,AD,CD}，所以P（B）=6/15=2/5.

【設計意圖】結合考試中的實例，總結古典概型求概率的一般思路，也讓學生體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，并讓學生了解在答題過程中得分的概率。

問題5.（課本P237)拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為①號和②號），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果.

（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；

（2）求下列事件的概率：

A=“兩個點數(shù)之和是5”；

B=“兩個點數(shù)相等”；

C=“①號骰子的點數(shù)大于②號骰子的點數(shù)”。

分析：可用二維表列樣本空間

②①123456

1（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）

2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）

3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）

4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）

5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）

6（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）

(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結果，①號骰子的每一個結果都可與②號骰子的任意一個結果配對，組成擲兩枚骰子試驗的一個結果.用數(shù)字m表示①號骰子出現(xiàn)的點數(shù)是m，數(shù)字n表示②號骰子出現(xiàn)的點數(shù)是n，則數(shù)組(m，n)表示這個試驗的一個樣本點，因此該試驗的樣本空間

Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}

其中共有36個樣本點.

由于骰子的質地均勻，所以各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，因此這個試驗是古典概型.

（2）因為A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，所以P(A)=4/36=1/9；

因為B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，P(B)=6/36=1/6；因為C={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2)，(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)}，所以P(A)=15/36=5/12.

【設計意圖】結合最常見的扔骰子試驗，讓學生學會選取合適的方法列出樣本空間。強調在表示樣本空間時可用二維表來列舉，也可用集合中的描述法來表示，鞏固練習求解古典概型時的一般思路。

回顧導入問題：甲乙兩人在進行“十五二十”游戲，假設雙方出拳時都等可能的在“0”“5”“10”中任選一種。

（1）請寫出樣本空間中所有的樣本點并判斷該試驗是否為古典概型；

（2）請問游戲時喊出哪一個數(shù)字獲勝概率最高？

分析：甲乙兩人各三種等可能的出拳方式，樣本空間共9個樣本點，其中喊數(shù)字10的概率最大為1/3.

【設計意圖】回顧導入，用本節(jié)課所學的知識解決導入問題，學以致用，首尾呼應。

3、歸納梳理，總結提升

課堂小結：（1）古典概型的兩個特征：有限性和等可能性；

（2）求解古典概型問題的一般性思路：

①明確實驗的條件及要觀察的結果，用適當?shù)姆柋硎緦嶒灥目赡芙Y果；

②根據(jù)實際問題情景判斷樣本點的等可能性；

③計算樣本點個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率．

（3）本節(jié)課所蘊含的數(shù)學思想：建模與轉化與化歸。

【設計意圖】學生總結反思，進一步強調本節(jié)課內容的重點難點和方法，培養(yǎng)學生提煉、總結、概括的能力．

4、課后實踐，自主探究

課后調查：買彩票結果無非中與不中，那中獎的概率是不是？怎樣選擇樣本點才是等可能的？請調查常見彩票的中獎規(guī)則，并嘗試算一算中獎率是多少？

【設計意圖】有意識地將數(shù)學與生活結合，借助常見的彩票中獎率的問題，激發(fā)學生探究的熱情，做到學以致用，鞏固基本知識的同時又提升了學生分析問題和解決問題的能力．

（五）.目標檢測設計

1.從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是()

A.B.___C.___D.

2.學校舉行升國旗儀式，你與其他兩位同學站成一排，你站在中間的概率是()

A.B.___C.___D.

【設計意圖】考查學生對古典概型的理解和掌握．

（六）.板書設計

第2課時應用鞏固

（一）.課時教學內容

較復雜的古典概型概率計算

（二）.課時教學目標

1、不放回摸球試驗古典概型的概率計算；

2、對有放回簡單隨機抽樣、無放回簡單隨機抽樣和比例分層隨機抽樣的比較。

（三）.教學重點與難點

1、重點：有放回與無放回簡單隨機抽樣的概率計算。

2、難點：明確隨機試驗中的研究對象，能正確的列出不同抽樣方法樣本空間中的樣本點。

（四）.教學過程設計

1、復習舊知，溫故知新

（1）古典概型的概念及特征

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

（2）古典概型的概率公式

一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率，其中和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù).

（3）解決古典概型問題的一般步驟

①編號列樣本點；

②判斷等可能性；

③計算概率。

2、合作探究，題型探討

任務一、不放回簡單隨機抽樣求概率

問題1：（課本P238)袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，從中①有放回的②不放回地依次隨機摸出2個球，求兩種抽樣方式下下列事件的概率：

（1）A=“第一次摸到紅球”；

（2）B=“第二次摸到紅球”；

（3）AB=“兩次都摸到紅球”.

分析：①中樣本空間共25個樣本點②中樣本空間中共20個樣本點，引導學生用二維表去表示樣本空間。

①將兩個紅色小球編號為1,2，三個黃色小球編號為3,4,5，在有放回的抽樣中，每次摸球時有五種等可能的結果，將兩次摸球的結果配對，有如下25種結果：

第一次第二次

12345

1（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）

2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）

3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）

4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）

5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）

其中P（A）==，P（B）==，P（AB）=。

②在不放回的依次抽取中，共20個樣本點，即除去①中摸到的兩個相同小球的樣本點，如下表：

第一次第二次

12345

1×（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）

2（2,1）×（2,3）（2,4）（2,5）

3（3,1）（3,2）×（3,4）（3,5）

4（4,1）（4,2）（4,3）×（4,5）

5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）×

其中P（A）==，P（B）==，P（AB）==。

【設計意圖】通過對兩種抽樣方式的分析，對比它們的共同點和不同點，突出對樣本等可能性的判斷。

追問：如果同時摸出兩個球，那么事件AB的概率是多少？

分析：如果同時摸出兩個球，即不分先后，則樣本空間Ω={（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）}，共10個樣本點，其中P（AB）=。

【設計意圖】同時摸出兩個球與不放回的依次摸取兩個球在概率計算上是等效的。

任務二、研究不同抽樣方法對實際例子的影響

問題2：從兩名男生（B1，B2），兩名女生（G1，G2）中任意抽取兩人，估算四人的平均身高．

（1）分別寫出①依次有放回的簡單隨機抽樣，②不放回的簡單隨機抽樣，和③“先抽一男生，再抽一女生”三種抽樣方法的樣本空間；

（2）分別求三種抽樣下，抽到兩人都是男生的概率．

分析：依次有放回簡單隨機抽樣的樣本空間為，，，，，，，，，，，，，，，,共16個樣本點，抽到兩人都是男生的概率為.依次無放回簡單隨機抽樣的樣本空間為，，，，，，，，，，，,共12個樣本點，抽到兩人都是男生有兩個樣本點，概率為.

按比例“先抽一男生，再抽一女生”的樣本空間為，，，,共4個樣本點，抽到兩人都是男生的概率為0.

追問：如果男女生身高存在較大差異，應該選擇那種抽樣方式更加科學？

分析：應該避免出現(xiàn)樣本中兩個均為男生或者兩個均為女生這樣的極端樣本，比例抽樣最佳，其次是無放回的抽樣．

【設計意圖】通過一個極端特殊的例子，對有放回簡單隨隨機抽樣、無放回簡單隨機抽樣和比例分層隨機抽樣，計算極端樣本發(fā)生的概率，通過比較這個概率的大小，說明用樣本估計總體時，按比例分層隨機抽樣效果最好，而無放回抽樣比有放回抽樣效果好。

3、歸納梳理，總結提升

課堂小結：復習求解古典概型的一般思路，通過比較選用合適的抽樣方法研究實際問題。

【設計意圖】學生總結反思，進一步強調本節(jié)課內容的重點和難點和方法，培養(yǎng)學生提煉、總結、概括的能力．

（五）.目標檢測設計

A層：基礎達標

1、從三男三女共6名學生中任選2名(每名同學被選中的概率均相等)，則2名都是女同學的概率為________.

2、從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，則其和為5的概率是________.

B層：能力提升

3、某學校有初級教師21人，中級教師14人，高級教師7人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從這些教師中抽取6人對績效工資情況進行調查.

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