2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第37講 等比數(shù)列的前n項和與第38講 數(shù)列通項公式題型全歸納-解析版90

第37講等比數(shù)列的前n項和等比數(shù)列的前項和公式推導過程：利用等比數(shù)列性質(zhì)由等比數(shù)列定義，有.根據(jù)等比性質(zhì)，有，所以當時，或.錯位相減法等比數(shù)列的前項和.①當時，，；②當時，由得，，所以，所以或，即.要點詮釋：錯位相減法是一種非常常見和重要的舒蕾求和方法，適用于一個等差舒蕾和等比數(shù)列對應項的積組成的數(shù)列求和問題，要求理解并掌握此法.在求等比數(shù)列前項和時，要注意區(qū)分和.當時，等比數(shù)列的兩個求和公式涉及，，，，五個量，已知其中任意三個變量，通過解方程組，便可求出其余兩個量.結(jié)論一、等比數(shù)列前項和（當時）變形公式（系數(shù)互為相反數(shù)）；（一次線性關系）.【例1】已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，則的值為（）.A.4 B.2 C.-2 D.-4【答案】C【解析】解法一：根據(jù)題意，當時，；當時，.因為數(shù)列是等比數(shù)列，則，故，解得.故選C.解法二：由得結(jié)合等比數(shù)列前項結(jié)構(gòu)特征（系數(shù)互為相反數(shù)），得，解得.故選C.【變式】設首項為1，公比為的等比數(shù)列的前項和為，則（）. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：，，代入選項驗證.故選D.解法二：根據(jù)等比數(shù)列前項和結(jié)構(gòu)特征，，.故選D.結(jié)論二、項數(shù)相同的和構(gòu)造等比數(shù)列等比數(shù)列的前項和為，則也成等比數(shù)列，且公比.評注：（1）第一個項和，第二個項和，……，即每項和為一段.當且為偶數(shù)時，不是等比數(shù)列.【例】2已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則.【答案】140【解析】解法一：由，，易得公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，即，解得，又，所以，.解法二：根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，可得，即，解得，所以.解法三：根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，可知成等比數(shù)列，則，即，解得.【變式】設等比數(shù)列前項和為，若，，則（）.A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】，，，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列可得，解得.故選C.結(jié)論三、等比數(shù)列前項和關系特征等比數(shù)列前項和為，則.【例3】設等比數(shù)列前項和為，則.，則公比.【答案】【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，代入得，所以，化簡整理得解得.【變式】等比數(shù)列前項和為，已知成等比數(shù)列，則等比數(shù)列的公比為.【答案】【解析】設等比數(shù)列公比為，易知.由題意可得，所以①；又根據(jù)等比數(shù)列分段求和公式得②；由4②-①得.又，所以，解得.結(jié)論四、等比數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和性質(zhì)在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)2時，；當項數(shù)為奇數(shù)時，或，.【例4】一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項和為85，偶數(shù)項和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù).【解析】由題意知，.因為，所以.【變式】等比數(shù)列共有奇數(shù)項，所有奇數(shù)項和，所有偶數(shù)項和，末項是192，則首項的值為（）.【答案】C【解析】設等比數(shù)列共有項，則，則，，代入，解得.故選C.結(jié)論五、等比數(shù)列前項積的運算技巧設等比數(shù)列前項積，則，……，成等比數(shù)列.當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.【例5】已知等比數(shù)列滿足，且，則當時，（）. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，原式.故選C.【變式】設是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，是其公比，是其前項積，且，，則下列結(jié)論錯誤的是（）. B. C. D.與均為的最大值【答案】C【解析】設等比數(shù)列，是其前項積，所以，由，，，所以，所以B選項正確；因為所以，所以，所以A正確；，可知，又，所以單調(diào)遞減，在或時取最小值，所以在或時取最大值，所以D選項正確.故選C.第38講數(shù)列通項公式題型全歸納通關一、“疊加法”求通項在求等差數(shù)列通項公式時，由這個式子疊加得，當時也成立.由此可得形如的遞推式均可采用“疊加法”求得.上式中“”通常是可以化簡的，即數(shù)列“可求和”.通關二、“疊乘法”求通項在求等比數(shù)列通項公式時，由這個式子疊乘得，當時也成立.由此可得形如的遞推式均可采用“疊乘法”求得.上式中“”通常是可以化簡的，即數(shù)列“可求積”.題型一：可以轉(zhuǎn)化為.從而數(shù)列為等比數(shù)列，故可由等比數(shù)列通項公式求解.題型二：，兩邊同除以“”可以轉(zhuǎn)化為.當時，數(shù)列為等差數(shù)列，故可由等差數(shù)列通項公式求解.當時，數(shù)列符合題型一，故可由題型一中的方法求解.通關三、“倒數(shù)法”求通項形如，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為①當時，“倒數(shù)數(shù)列”為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式求解.當時，“倒數(shù)數(shù)列”符合方法二中的題型一，故可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.(2)形如，取倒數(shù)得.當時，“倒數(shù)數(shù)列”為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式求解.當時，“倒數(shù)數(shù)列”符合方法二中得題型一，故可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.通關四、“待定系數(shù)法”求通項，令，則，整理得.令，則.此時，，即數(shù)列為等比數(shù)列，故可由等比數(shù)列通項公式求解，從而也可求解.【結(jié)論第講】結(jié)論一、把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，再利用疊加法(逐差相加法)求解.【例1】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】已知，所以.……累加后，得.故.【變式】數(shù)列滿足：，且，求.【答案】【解析】，，…，，疊加可得，所以.結(jié)論二、把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，再利用疊乘法(逐商相乘法)求解.【例2】數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】因為在數(shù)列中，，所以，所以，，，…，，所以.【變式】已知數(shù)列滿足，且，則_____；_____.【答案】【解析】由得，又，所以.由得，所以，，，…，，所以.結(jié)論三、（其中均為常數(shù)，）先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.【例3】已知數(shù)列滿足，且，則_____.【答案】【解析】已知，且，構(gòu)造，即.因為，所以.由得，令，，，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以.又因為，所以.【變式】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】解法一：設，解得，即原式化為.設，則數(shù)列為等比數(shù)列，且，所以.解法二：因為，，由-得：.設，則數(shù)列為等比數(shù)列，所以，所以，所以.解法三：，，，…，，所以.結(jié)論四、（其中均為常數(shù)，）1.一般地，要先將遞推公式兩邊同除以，得，引入輔助數(shù)列（其中），得，再用待定系數(shù)法解決；2.也可以將原遞推公式兩邊同除以，得，引入輔助數(shù)列（其中），得，再利用疊加法（逐差相加法）求解.【例4】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】解法一：將兩邊分別乘以，得.令，則，根據(jù)待定系數(shù)法，得.所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以，即.于是.解法二：將兩邊分別乘以，得.令，則，所以，，…，.將以上各式疊加，得.又，所以，即.故.【變式】已知數(shù)列滿足，，則_____.【答案】【解析】由題意知，兩邊同乘以得，即數(shù)列為等差數(shù)列，所以.所以，當時也成立.所以.結(jié)論五、（）這種類型的題目一般是利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，然后與已知遞推公式比較，解出，從而得到是公比為的等比數(shù)列.【例】設數(shù)列滿足，，則_____.【答案】【解析】設遞推公式可以轉(zhuǎn)化為，化簡后與原遞推式比較，得，解得.令（*），則，又，故，代入（*）得.【變式】已知數(shù)列滿足，，則_____.【答案】【解析】由題意知.令，則，整理得.令，則.此時，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以.所以，時也成立.所以.結(jié)論六、（）這種類型的題目一般是將等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為型，再利用待定系數(shù)法求解.【例6】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】將兩邊取對數(shù)，得.令，則.由此得，記，則.所以數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列.所以.所以，即，所以.【變式】已知在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的通項_____.【答案】【解析】由題意知，因為，所以將兩邊取以為底的對數(shù)，得，故是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以.結(jié)論七、（且）這種類型的題目一般是將等式兩邊取倒數(shù)后，再進一步處理.若，則有，此時為等差數(shù)列.若，則有，此時可轉(zhuǎn)化為結(jié)論三來處理.【例7】在數(shù)列中，已知，，則_____.【答案】【解析】將等式兩邊取倒數(shù)得到，，是公差為的等差數(shù)列，.根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的求法得到，故.【變式】已知數(shù)列滿足，，則_____.【答案】【解析】因為，所以，即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故.結(jié)論八、將原遞推公式改寫成，兩式相減即得，然后將分奇數(shù)、偶數(shù)分類討論即可.【例8】已知數(shù)列中，，.則_____.【答案】【解析】因為，所以，故，即數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為的等差數(shù)列.當為偶數(shù)時，，故；當為奇數(shù)時，因為，（為偶數(shù)），故.綜上，.【變式】在數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，即數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為的等差數(shù)列.當為偶數(shù)時，，所以.當為奇數(shù)時，因為，所以（是偶數(shù)），所以.綜上，.結(jié)論九、將原遞推公式改寫成，兩式作商可得，然后將分奇數(shù)、偶數(shù)分類討論即可.【例9】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】因為，所以，故，即數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公比