13.2.2 空間兩條直線的位置關(guān)系 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊第13章立體幾何初步13.2基本圖形位置關(guān)系13.2.2空間兩條直線的位置關(guān)系第1課時(shí)平行直線課標(biāo)闡釋1.了解基本事實(shí)4和等角定理.(數(shù)學(xué)抽象)2.借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線的位置關(guān)系.(幾何直觀、邏輯推理)思維脈絡(luò)【激趣誘思】如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'與DD'平行嗎?【知識梳理】

一、空間中直線與直線的位置關(guān)系1.異面直線的定義、畫法(1)定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線.

不能理解成不在一個(gè)平面內(nèi),任何兩字很關(guān)鍵(2)畫法:如果直線a,b為異面直線,為了表示它們不共面的特點(diǎn),作圖時(shí),通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托.2.直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)沒有異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有微判斷

(1)空間中,兩條直線的位置關(guān)系只有平行和相交兩種.(

)(2)不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線.(

)××二、平行直線1.基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行.2.等角定理如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等.名師點(diǎn)析

如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,并且一邊的方向相同,另一邊的方向相反,那么這兩個(gè)角互補(bǔ).微判斷

(1)垂直于同一直線的兩條直線互相平行.(

)(2)分別和兩條異面直線平行的兩條直線平行.(

)(3)如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.(

)××√微練習(xí)已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,則∠PQR等于(

)A.30°

B.30°或150°C.150°

D.以上結(jié)論都不對答案

B微思考如果兩條直線和第三條直線成等角,那么這兩條直線平行嗎?提示

不一定.這兩條直線可能相交、平行或異面.探究一空間兩直線位置關(guān)系的判定例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:①直線DM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為

(填序號).

答案

①③④解析

①中直線DM與直線CC1不平行,且在同一平面內(nèi),故它們延長后必相交,故結(jié)論正確;③④中的兩條直線既不相交又不平行,即均為異面直線,故結(jié)論正確;②中AM與BN是異面直線,故②不正確.反思感悟

1.判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷,而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4判斷.2.判定兩條直線是異面直線有定義法和排除法,由于使用定義判斷不方便,故常用排除法,即說明這兩條直線不平行、不相交,則它們異面.變式訓(xùn)練1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直線的位置關(guān)系:(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是

;

(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是

;

(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是

;

(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是

.

答案

(1)平行

(2)異面

(3)相交

(4)異面

序號結(jié)論理由(1)平行因?yàn)锳1D1

BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,A1B∥D1C(2)異面A1B與B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(3)相交D1D∩D1C=D1(4)異面AB與B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)探究二直線與直線平行的證明例2如圖所示,在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;(2)如果AC=BD,求證:四邊形EFGH是菱形.證明

(1)因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG=AC,所以EF∥HG,EF=HG,所以四邊形EFGH是平行四邊形.(2)因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),所以EH∥BD,EH=BD.因?yàn)镋F=AC,AC=BD,所以EH=EF.又因?yàn)镋FGH是平行四邊形,所以四邊形EFGH是菱形.技巧方法

證明兩直線平行,目前有兩種途徑:一是應(yīng)用基本事實(shí)4,即找到第三條直線,證明這兩條直線都與之平行;二是證明同一個(gè)平面內(nèi)這兩條直線無公共點(diǎn).變式訓(xùn)練2在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分別是AB,BC,A'B',B'C'的中點(diǎn),求證:EE'∥FF'.證明

因?yàn)镋,E'分別是AB,A'B'的中點(diǎn),所以BE∥B'E',且BE=B'E'.所以四邊形EBB'E'是平行四邊形,所以EE'∥BB',同理可證FF'∥BB'.所以EE'∥FF'.探究三等角定理的應(yīng)用例3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)求證:∠B1M1C1=∠BMC.分析(1)通過基本事實(shí)4證明MM1∥BB1,且MM1=BB1.(2)由(1)知B1M1∥BM,同理證得C1M1∥CM,再由等角定理證得∠BMC=∠B1M1C1;也可以通過證明△BCM≌△B1C1M1證出∠BMC=∠B1M1C1.證明

(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分別為AD,A1D1的中點(diǎn),∴MM1

AA1.又AA1

BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角.∴∠BMC=∠B1M1C1.要點(diǎn)筆記

有關(guān)證明角相等問題,一般采用下面三種途徑:(1)利用等角定理.(2)利用三角形相似.(3)利用三角形全等.本例是通過第一種途徑來實(shí)現(xiàn)的.延伸探究

將例3中的條件“M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)”改為“M,N分別是棱CD,AD的中點(diǎn)”,其他條件不變,求證:(1)四邊形MNA1C1是梯形;(2)∠DNM=∠D1A1C1.證明

(1)如圖,連接AC,在△ACD中,∵M(jìn),N分別是CD,AD的中點(diǎn),∴MN是△ACD的中位線,∴MN∥AC,MN=AC.由正方體的性質(zhì),得AC∥A1C1,AC=A1C1.∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,∴四邊形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ).而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的一個(gè)銳角,∴∠DNM=∠D1A1C1.

素養(yǎng)形成等角定理的綜合應(yīng)用典例

若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA與O1A1方向相同,則下列結(jié)論正確的是(

)A.OB∥O1B1,且方向相同B.OB∥O1B1,方向可能不同C.OB與O1B1不平行D.OB與O1B1不一定平行答案

D解析

當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1時(shí),OA與O1A1的方向相同,OB與O1B1不一定平行,如圖所示,故選D.方法點(diǎn)睛

在討論空間中兩條直線平行的位置關(guān)系時(shí),除了運(yùn)用等角定理,也可以利用數(shù)形結(jié)合思想.

當(dāng)堂檢測1.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB與∠A1O1B1(

)A.相等

B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)

D.以上均不對答案

C解析

由題意,兩角對應(yīng)邊平行,如果方向均相同或相反,那么兩角相等,如果一組對應(yīng)邊方向相同,另一組對應(yīng)邊方向相反,那么兩角互補(bǔ).2.直線a與直線b相交,直線c也與直線b相交,則直線a與直線c的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.平行C.異面 D.以上都有可能答案

D解析

如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB與AA1相交,A1B1與AA1相交,AB∥A1B1;AD與AA1相交,AB與AD相交,AA1與AB相交;A1D1與AA1相交,AB與AA1相交,AB與A1D1異面.3.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1O和C1O的中點(diǎn),則長方體的各棱中與EF平行的有(

)A.3條

B.4條

C.5條

D.6條答案

B解析

EF∥B1C1,EF∥BC,EF∥AD,EF∥A1D1.高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊第13章立體幾何初步13.2基本圖形位置關(guān)系13.2.2空間兩條直線的位置關(guān)系第2課時(shí)異面直線課標(biāo)闡釋1.借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線的位置關(guān)系.(幾何直觀)2.掌握兩異面直線所成的角的求法.(幾何直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)【激趣誘思】隨著世界各國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和高速公路的出現(xiàn),現(xiàn)代化的城市道路交通開始朝立體化發(fā)展.立體交叉橋,簡稱立交橋.世界上第一座立交橋是于1928年由美國建造的,此后世界各地的立交橋相繼出現(xiàn).1952年,我國于北京濱河路興建了首座立交橋.我國第二座立交橋是于1962年在廣州修建的.現(xiàn)在的立交橋已由最初的上、下兩層分開式,向多層次、多方向的復(fù)雜立體交叉方式發(fā)展,目的是大力提高交叉路口的車流速度,并確保交通安全.若把立交橋抽象成直線,它們在同一個(gè)平面內(nèi)嗎?這樣的直線有何特征?一條南北走向和一條東西走向(不同層)的立交橋所在直線的夾角如何刻畫?【知識梳理】

一、定理過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.微練習(xí)異面直線是指(

)A.空間中兩條不相交的直線B.分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線C.平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線D.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線答案

D解析

對于A,空間中兩條不相交的直線有兩種可能,一是平行(共面),另一個(gè)是異面.所以A應(yīng)排除.對于B,分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線,既可能平行也可能相交也可能異面,如圖,就是相交的情況,所以B應(yīng)排除.對于C,如圖的a,b可看作是平面α內(nèi)的一條直線a與平面α外的一條直線b,顯然它們是相交直線,所以C應(yīng)排除.D符合定義.二、異面直線所成的角(1)定義如圖,a與b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,作直線a'∥a,b'∥b,我們把直線a'和b'所成的銳角(或直角)叫作異面直線a,b所成的角或夾角.(2)兩條異面直線所成角的取值范圍:.(3)若異面直線a,b所成的角是直角,則稱異面直線a,b互相垂直,記作a⊥b.微判斷(1)異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān),即O點(diǎn)位置不同時(shí),這一角的大小也不同.(

)(2)異面直線a與b所成角可以是0°.(

)(3)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直,那么另一條直線也與這條直線垂直.(

)××√微練習(xí)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)AC和DD1所成的角是

;

(2)AC和D1C1所成的角是

;

(3)AC和B1D1所成的角是

;

(4)AC和A1B所成的角是

.

答案

(1)90°

(2)45°

(3)90°

(4)60°解析

(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC,∴∠ACD即為AC和D1C1所成的角,由正方體的性質(zhì)得∠ACD=45°.(3)∵BD∥B1D1,BD⊥AC,∴B1D1⊥AC,即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C,△ACD1是等邊三角形,∴AC和A1B所成的角是60°.探究一異面直線的判定例1如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有

(填序號).

答案

②④解析

如題干圖①中,GH∥MN.圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面.圖③中,連接GM,GM∥HN,因此,GH與MN共面.圖④中,G,M,N三點(diǎn)共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面.所以圖②,④中GH與MN異面.技巧方法

判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交.(2)定理:連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線.用符號語言可表示為A?α,B∈α,B?l,l?α,則AB與l是異面直線(如圖).變式訓(xùn)練1(多選)如圖,E,F是AD上互異的兩點(diǎn),G,H是BC上互異的兩點(diǎn),由圖可知,其中敘述正確的是(

)A.AB與CD互為異面直線B.FH分別與DC,DB互為異面直線C.EG與FH互為異面直線D.EG與AB互為異面直線答案

AC解析

AB與平面BCD交于點(diǎn)B,且B?CD,故AB與CD互為異面直線,故A正確.當(dāng)H點(diǎn)落在C或F落在D點(diǎn)上時(shí),FH與CD相交;當(dāng)H落在B或F點(diǎn)落在D上時(shí),FH與DB相交,故B錯(cuò)誤.FH與平面EGD交于F點(diǎn),而F?EG,H?平面EGD,故EG與FH互為異面直線,故C正確.當(dāng)G落在B上或E落在A上時(shí),EG與AB相交,故D錯(cuò)誤.所以A,C正確.探究二直線與直線垂直的證明例2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,求證:AC⊥BC1.證明

如圖,連接A1B,設(shè)A1C1=a,B1C1=b,AA1=h,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以∠BB1C1=∠A1AB=90°,所以

=b2+h2,AB2=a2+b2,A1B2=a2+b2+h2,所以A1B2=,則A1C1⊥BC1,即∠A1C1B=90°.又因?yàn)锳C∥A1C1,所以∠A1C1B就是直線AC與BC1所成的角,所以AC⊥BC1.技巧方法

證明空間的兩條直線垂直的方法(1)定義法:利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直.(2)平面幾何圖形性質(zhì)法:利用勾股定理、菱形的對角線相互垂直、等腰三角形(等邊三角形)底邊的中線和底邊垂直等.變式訓(xùn)練2如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1,求證:AC⊥B1D.證明

如圖,連接BD,交AC于O,設(shè)BB1的中點(diǎn)為E,連接OE,則OE∥DB1,所以O(shè)E與AC所成的角即為DB1與AC所成的角.連接AE,CE,易證AE=CE,又O是AC的中點(diǎn),所以AC⊥OE,所以AC⊥B1D.探究三異面直線所成的角角度1

求異面直線所成的角例3在空間四邊形ABCD中,AB=CD,且AB與CD所成銳角為30°,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),求EF與AB所成角的大小.解

如圖所示,取AC的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則EG∥AB且EG=AB,GF∥CD且GF=CD.由AB=CD知EG=FG,從而可知∠GEF為EF與AB所成的角,∠EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成角為30°,∴∠EGF=30°或150°,由EG=FG知△EFG為等腰三角形,當(dāng)∠EGF=30°時(shí),∠GEF=75°,當(dāng)∠EGF=150°時(shí),∠GEF=15°,故EF與AB所成角的大小為15°或75°.角度2

由異面直線所成角的大小求線段的長例4如圖所示,四面體A-BCD中,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=2,求EF的長度.解

取BC的中點(diǎn)M,連接ME,MF,如圖.則ME∥AC,MF∥BD,∴ME與MF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角,而AC,BD所成的角為60°,∴∠EMF=60°或∠EMF=120°.規(guī)律總結(jié)

求兩條異面直線所成的角的一般步驟(1)構(gòu)造角:根據(jù)異面直線的定義,通過作平行線或平移直線,作出異面直線夾角的相關(guān)角.(2)計(jì)算角:求角度,常利用三角形.(3)確定角:若求出的角是銳角或是直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.變式訓(xùn)練3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中.(1)求A1C1與B1C所成角的大小;(2)若E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),求A1C1與EF所成角的大小.解

(1)如圖所示,連接AC,AB1.由六面體ABCD-A1B1C1D1是正方體知,四邊形AA1C1C為平行四邊形,∴AC∥A1C1,從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)如圖所示,連接BD.由(1)知AC∥A1C1,∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.∵EF是△ABD的中位線,∴EF∥BD.又AC⊥BD,∴AC⊥EF,∴EF⊥A1C1,即A1C1與EF所成的角為90°.

素養(yǎng)形成一題多解——異面直線的夾角問題典例

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析要求異面直線所成角的大小,關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,把它歸結(jié)到三角形中,通過解三