新教材2023版高中數(shù)學(xué)第2章空間向量與立體幾何2.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2.4.2空間線面位置關(guān)系的判定第2課時(shí)向量與平行學(xué)生用書(shū)湘教版選擇性必修第二冊(cè)

第2課時(shí)向量與平行新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一向量法判斷線線平行設(shè)直線l1的方向向量為v1＝(x1，y1，z1)，直線l2的方向向量為v2＝(x2，y2，z2)，則l1∥l2??________?________．批注?注意l1與l2是兩條不重合的直線．要點(diǎn)二向量法判斷線面平行設(shè)直線l的方向向量為v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，則l∥α??__________?__________?________．批注?必須說(shuō)明直線不在平面內(nèi)！要點(diǎn)三向量法判斷面面平行設(shè)平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β??________?________?__________．批注?必須說(shuō)明兩個(gè)平面不重合！基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若向量n1，n2為平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的直線一定平行．()(2)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行．()(3)兩個(gè)平面的法向量平行，則這兩個(gè)平面平行；兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直．()2．若直線l1，l2的方向向量分別為v1＝(1，2，3)，v2＝(－12，－1，－32)，則l1，l2的位置關(guān)系是(A．垂直B．重合C．平行D．平行或重合3．已知直線l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是()A．l∥αB．l⊥αC．l?αD．以上選項(xiàng)都不對(duì)4．已知兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，則平面α，β的位置關(guān)系是________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1向量法證明線線平行例1在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，點(diǎn)P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點(diǎn)．求證：PQ∥RS.方法歸納利用向量法證明線線平行的2種方法鞏固訓(xùn)練1如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn)．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．題型2向量法證明線面平行例2在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)．證明：PA∥平面EDB.方法歸納利用空間向量證明線面平行的3種方法鞏固訓(xùn)練2在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)，求證：AB∥平面DEG.題型3向量法證明面面平行例3如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．求證：平面EGF∥平面ABD.方法歸納利用空間向量證明面面平行的方法鞏固訓(xùn)練3已知正方體ABCD-A′B′C′D′，求證：平面AB′D′∥平面BDC′.第2課時(shí)向量與平行新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一v1∥v2x要點(diǎn)二v⊥nv·n＝0xa＋yb＋zc＝0要點(diǎn)三n1∥n2n2＝kn1a[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)√(3)√2．解析：因?yàn)関1＝(1，2，3)，v2＝-1所以v1＝－2v2，即v1∥v2，所以l1∥l2或l1與l2重合．答案：D3．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，則a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，故直線l與平面α的位置關(guān)系是l∥α或l?α.答案：D4．解析：∵n1＝(1，2，2)，n2＝(3，6，6)，∴n1＝13n2，∴n1∥n2，∴α∥β答案：α∥β題型探究·課堂解透例1證明：方法一以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，∴PQ＝(－3，2，1)，RS＝(－3，2，1)，∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.方法二RS＝RC+CS＝12DC-DA+12DD∴RS＝PQ，RS∥PQ，即RS∥鞏固訓(xùn)練1證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為正交基建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1，0，0)，E(0，0，12)，C1(0，1，1)，F(xiàn)∴AE＝-1，0，12，F(xiàn)C1＝-1，0，12，∴AE＝FC1，∴AE∥F∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形．例2證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點(diǎn)G，連接EG，依題意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，a2，方法一設(shè)平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，又DE＝(0，a2，a2)，EB＝(a，a則有n·DE即y+z=0，2x+y-z=0.令z＝1，則x=1，y=-1，又PA＝(a，0，－a)，所以n·PA＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥PA.又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a2，a2，0)，所以EG＝(a2，又PA＝(a，0，－a)，所以PA＝2EG，這表明PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法三假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ使得PA＝λDE＋μEB，即(a，0，－a)＝λ(0，a2，a2)＋μ(a，a則有a=μa所以PA＝－DE+又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.鞏固訓(xùn)練2證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EF，EA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(xiàn)(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴ED＝(0，2，2)，EG＝(2，2，0)，AB＝(2，0，－2)．設(shè)平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，則ED·n令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1，1，－1)，∴AB·n＝－2＋0＋2＝0，即AB⊥n.∵AB?平面DEG，∴AB∥平面DEG.例3解析：如圖所示，由條件知BA，BC，BB1兩兩互相垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由條件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(xiàn)(0，1，4)，設(shè)BA＝a，則A(a，0，0)，G(a2，1，4)所以BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－2)，EG＝(a2，1，1)，EF＝(0，1方法一因?yàn)锽1D·BA＝B1D·BD＝0＋4－4＝所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.因?yàn)锽A∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD又B1D·EG＝0＋2－2＝B1D·EF＝0＋2－2所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.方法二設(shè)平面EGF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則ny1+令y1＝1，則n1＝(0，1，－1)．設(shè)平面ABD的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則n2·即x令y2＝1，則n2＝(0，1，－1)．所以n1＝n2，所以平面EGF∥平面ABD.鞏固訓(xùn)練3證明：方法一設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是AB'＝(0，1，1)，D'B'＝(1，設(shè)平面AB′D′的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則n即n令y1＝1，可得平面AB′D′的一個(gè)法向量為n1＝(－1，1，－1)．設(shè)平面BDC′的法向量為n2＝(x2，y2，z2)．易知DB＝(1，1，0)，DC'＝(0，1，1)由n2⊥令y2＝1，可得平面BDC′的一個(gè)法向量為n2＝(－1，1，－1)．則n1＝n2，所以