新教材2023版高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何初步2.4點(diǎn)到直線的距離學(xué)生用書湘教版選擇性必修第一冊(cè)

2．4點(diǎn)到直線的距離最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)掌握兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式．(2)會(huì)求兩條平行直線間的距離．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一兩點(diǎn)間的距離已知兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x2要點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0?的距離d＝____________________．要點(diǎn)三兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全為0，且C1≠C2)之間的距離d＝C1-批注?公式可簡(jiǎn)記為“縱差方，橫差方，加起來，開平方”．批注?給出的直線方程必須是一般式，不是一般式的，則應(yīng)先化為一般式再利用公式求距離．批注?利用公式求平行線間的距離時(shí)，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式與坐標(biāo)順序有關(guān)．()(2)直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離是|C1－C2|.()(3)原點(diǎn)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式是CA2+(4)平行線間的距離是兩平行線上兩點(diǎn)間距離的最小值．()2．已知點(diǎn)A(3，7)，B(2，5)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A．5B．5C．3D．293．點(diǎn)(0，－1)到直線y＝x＋1的距離為()A．1B．2C．3D．24．已知兩條直線l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，則直線l1與直線l2間的距離為()A．352BC．5D．105．已知點(diǎn)A(2，－1)到直線l：y＝2x＋t的距離為5，則t＝________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例1(1)若x軸的正半軸上的點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與點(diǎn)(5，－3)到原點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________；(2)已知△ABC三頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，試判斷△ABC的形狀．方法歸納1．利用兩點(diǎn)間的距離公式求參數(shù)的值的方法常用方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立方程，再利用方程的思想求解參數(shù)．2．利用兩點(diǎn)間的距離公式判斷三角形的方法要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考察是否為直角或等角；二是要考慮三角形的長(zhǎng)度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理．鞏固訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)A(－3，4)，B(2，3)，在x軸上找一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知點(diǎn)M(x，－4)與點(diǎn)N(2，3)間的距離為72，求x的值．題型2點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用例2(1)[2022·湖南長(zhǎng)沙一中測(cè)試]已知點(diǎn)(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A．2B．2－2C．2－1D．2＋1(2)[2022·湖南師大附中測(cè)試]已知△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，邊AB上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，邊AC上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，①求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；②求△ABC的面積．方法歸納點(diǎn)到直線距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．鞏固訓(xùn)練2(1)已知點(diǎn)A(1，－2)，B(5，6)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為________；(2)垂直于直線x＋3y－5＝0且與點(diǎn)P(－1，0)的距離是3105的直線l的方程是題型3兩條平行線間的距離問題例3(1)已知兩平行直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是()A．(0，＋∞)B．[0，5]C．(0，5]D．[0，17](2)已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為____________．方法歸納解決兩條平行直線間的距離問題的2種常用方法鞏固訓(xùn)練3(1)[2022·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)測(cè)試]兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則a，d分別為()A．a(chǎn)＝6，d＝63B．a(chǎn)＝－6，d＝C．a(chǎn)＝－6，d＝53D．a(chǎn)＝6，d＝(2)若斜率為2的直線m被直線l1：x＋2y－3＝0與l2：x＋2y＋1＝0所截得的線段為AB，則線段AB的長(zhǎng)為________．題型4對(duì)稱問題(數(shù)學(xué)探究)例4已知點(diǎn)P，Q在直線l：3x－y－1＝0上．(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)A(4，1)和B(0，4)的距離之差最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)Q到點(diǎn)A(4，1)和C(3，4)的距離之和最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．方法歸納利用對(duì)稱性解決問題(1)在直線上求一點(diǎn)，使它到兩定點(diǎn)距離之和最?。佼?dāng)兩定點(diǎn)不在直線的同一側(cè)時(shí)，兩點(diǎn)連線與直線的交點(diǎn)即為所求；②當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí)，可借助點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，將問題轉(zhuǎn)化為①的情形來解決．(2)在直線上求一點(diǎn)，使它到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大．①當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí)，利用三角形的兩邊之差小于第三邊，可知兩定點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)即為所求；②當(dāng)兩定點(diǎn)不在直線的同一側(cè)時(shí)，可借助點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，將問題轉(zhuǎn)化為①的情形來解決．鞏固訓(xùn)練4若點(diǎn)P(m，0)到點(diǎn)A(－3，2)及B(2，8)的距離之和最小，求實(shí)數(shù)m的值．易錯(cuò)辨析選用直線方程的形式不當(dāng)引發(fā)錯(cuò)誤例5過點(diǎn)P(2，5)，且與點(diǎn)(－4，1)距離等于6的直線方程為________．解析：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得：-4k-1-2k+5k2故所求直線方程為5x＋12y－70＝0.當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線平行于y軸，直線方程為x＝2，符合題意．綜上，所求直線方程為5x＋12y－70＝0或x＝2.答案：5x＋12y－70＝0或x＝2【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽略了直線的斜率不存在的情況而漏解致錯(cuò)．一般地，求直線方程，設(shè)為點(diǎn)斜式或斜截式是常見的兩種形式．因此，一定要考慮斜率不存在而直線存在的形式．2．4點(diǎn)到直線的距離新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)二Ax0+By0+CA[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|＝2-32答案：B3．解析：(0，－1)到直線y＝x＋1的距離為d＝1+112+答案：B4．解析：因?yàn)閮芍本€l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0平行，且l1：2x＋4y－8＝0，它們之間的距離即為l1：2x＋4y－8＝0與l2：2x＋4y＋7＝0之間的距離為：d＝7+822+答案：A5．解析：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，－1)到直線l：2x－y＋t＝0的距離為5，所以d＝2×2--1+t12+22＝5，可得|5＋t答案：－10或0題型探究·課堂解透例1解析：(1)設(shè)點(diǎn)M(x，0)(x>0)，由題意可知，x2+02＝52+-32，解得x＝34(2)方法一∵|AB|＝3+32+-3|AC|＝1+32+7-又|BC|＝1-32+∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝7-11kAB＝-3-13則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝1+32+7-|AB|＝3+32+-3∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．答案：(1)(34，0)(2)見解析鞏固訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，則有|PA|＝x+32+0|PB|＝x-22由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－95故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－95，0)|PA|＝-95+3(2)由|MN|＝72，得|MN|＝x-22+即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值為9或－5.例2解析：(1)由題意得a-2+31+1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1∵a>0，∴a＝－1＋2.(2)①設(shè)C(m，n)，因?yàn)橹本€AC與直線BH垂直，且C點(diǎn)在直線2x－y－5＝0上，所以n-1m-5=-2②設(shè)B(a，b)由題知：M(a+52，所以a+5-b+12-5=0a-2b-5=0kBC＝3+34+1＝65，直線BC：y－3＝65(x－4)，即6x－5y－|BC|＝4+12+3+3點(diǎn)A到直線BC的距離d＝6×5-所以S△ABC＝12×答案：(1)C(2)見解析鞏固訓(xùn)練2解析：(1)∵A(1，－2)，B(5，6)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，∴a-2+1a解得a＝－2或a＝－1.(2)設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點(diǎn)到直線的距離公式知：d＝3×-1-0+m所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.答案：(1)－2或－1(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0例3解析：(1)當(dāng)直線l1，l2與直線PQ垂直時(shí)，它們之間的距離d達(dá)到最大，此時(shí)d＝2--12+-1-(2)設(shè)直線l的方程為2x－y＋C＝0，由題意，得3-C22+12＝C+122+12，解得C＝1，答案：(1)C(2)2x－y＋1＝0鞏固訓(xùn)練3解析：(1)∵兩直線平行，∴2＝a3，解得a＝6將2x－y＋3＝0化為6x－3y＋9＝0，∴d＝9-46(2)直線l1：x＋2y－3＝0與l2：x＋2y＋1＝0的斜率為－12直線m的斜率為2，故直線m與直線l1，l2垂直，由兩條平行直線的距離公式可得|AB|＝1+31+4＝4答案：(1)D(2)4例4解析：(1)如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a，b)，∵kl·kBB′＝－1，即3×b-4a∴a＋3b－12＝0.①又線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為(a2，b+42∴3×a2-b+42－1＝0，即3a－b－6由①②得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．于是直線AB′的方程為y-13-1＝x-43-由3x-y∴l(xiāng)與直線AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，5)，∴當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A，B的距離之差最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，5)．(2)如圖所示，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，同樣可以計(jì)算求得C′的坐標(biāo)為(35，∴AC′所在直線的方程為y-124即19x＋17y－93＝0，由3x-y∴直線AC′和l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(117，∴當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A