新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)七等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式湘教版選擇性必修第一冊

課時(shí)作業(yè)(七)等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式[練基礎(chǔ)]1．已知數(shù)列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a滿足()A．a(chǎn)≠1B．a(chǎn)≠0或a≠1C．a(chǎn)≠0D．a(chǎn)≠0且a≠12．等比數(shù)列{an}中，a3＝6，a4＝18，則a1＋a2＝()A．eq\f(4,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,8)D．eq\f(8,3)3．在等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，則a4與a8的等比中項(xiàng)是()A．±4B．4C．－2D．－44．[2022·湖南株洲長鴻實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考]《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“衰分”得100，60，36，21.6個(gè)單位，衰分比為40%，今共有糧m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，衰分比為20%，已知乙衰分得100石，則丁衰分得()A．90石B．80石C．51.2石D．64石5．[2022·江蘇張家港高二期中]若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的值為()A．5B．－3C．3D．3或－36．(多選)下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是()A．1，－2，4，－8B．－eq\r(2)，2，－2eq\r(2)，4C．x，x2，x3，x4D．a(chǎn)－1，a－2，a－3，a－47．已知三個(gè)數(shù)a，2a＋2，3a＋3成等比數(shù)列，則a＝________．8．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝－16，則公比q＝________．9．在等比數(shù)列{an}中，a3＝32，a5＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)若an＝eq\f(1,2)，求n.[提能力]10．[2022·重慶巴蜀中學(xué)高二期中](多選)若{an}為等比數(shù)列，則下列數(shù)列中是等比數(shù)列的是()A．{aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))}B．{k·an}，k∈RC．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))D．{lnan}11．[2022·湖北襄陽四中月考]已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2，a3，eq\f(3,4)a4成等差數(shù)列，則eq\f(a2＋a4,a5＋a7)＝()A．eq\f(1,8)或eq\f(27,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,4)或eq\f(9,4)D．eq\f(1,8)12．在等比數(shù)列{an}中，a6－a2＝15，a5－a3＝6，則公比q＝________．13．在等差數(shù)列{an}中，a3＝0.如果ak是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，那么k＝________．14．[2022·山東泰安高二期末]“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共19大報(bào)告，為響應(yīng)總書記號(hào)召，我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中70%是沙漠(其余為綠洲)，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)從今年起第n年綠洲面積為an萬平方公里．(1)求第n年綠洲面積an與上一年綠洲面積an－1(n≥2)的關(guān)系；(2)判斷eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5)))是否是等比數(shù)列，并說明理由；(3)至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60%？(lg2≈0.3010)[培優(yōu)生]15．[2022·湖南臨澧一中月考](多選)我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉在所著的《律學(xué)新說》一書中提出了“十二平均率”的音樂理論，該理論后被意大利傳教士利瑪竇帶到西方，對西方的音樂產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響．以鋼琴為首的眾多鍵盤樂器就是基于“十二平均率”的理論指導(dǎo)設(shè)計(jì)的．圖中鋼琴上的每12個(gè)琴鍵(7個(gè)白鍵5個(gè)黑鍵)構(gòu)成一個(gè)“八度”，每個(gè)“八度”各音階的音高都是前一個(gè)“八度”對應(yīng)音階的兩倍，如圖中所示的琴鍵的音高C5＝2·C4(C4稱為“中央C”).將每個(gè)“八度”(如C4與C5之間的音高變化)按等比數(shù)列十二等份，得到鋼琴上88個(gè)琴鍵的音階．當(dāng)鋼琴的A4鍵調(diào)為標(biāo)準(zhǔn)音440Hz時(shí)，下列選項(xiàng)中的哪些頻率(單位：Hz)的音可以是此時(shí)的鋼琴發(fā)出的音()(參考數(shù)據(jù)：212≈1.414，213≈1.260，214≈1.189，215≈1.148A．110B．233C．505D．1244課時(shí)作業(yè)(七)等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式1．解析：根據(jù)等比數(shù)列的定義，各項(xiàng)和公比均不能為0，所以a≠0且1－a≠0，則a≠0且a≠1.答案：D2．解析：由題意知q＝eq\f(a4,a3)＝3，∴a2＝eq\f(a3,3)＝2，a1＝eq\f(a2,3)＝eq\f(2,3)，∴a1＋a2＝2＋eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).答案：D3．解析：由題意得a4＝a1q3＝eq\f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq\f(1,8)×27＝16.∴a4與a8的等比中項(xiàng)為a6＝4.答案：B4．解析：丁衰分為100×(1－20%)2＝64(石).答案：D5．解析：設(shè)該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴a1＝1，a5＝9，∴a5＝a1×q4，故9＝1×q4，解得q＝±eq\r(3)，∴b＝a3＝a1×q2＝3.答案：C6．解析：對于A：1，－2，4，－8中，由eq\f(－2,1)＝eq\f(4,－2)＝eq\f(－8,4)＝－2，得數(shù)列是以－2為公比的等比數(shù)列；對于B：－eq\r(2)，2，－2eq\r(2)，4中，由eq\f(2,－\r(2))＝eq\f(－2\r(2),2)＝eq\f(4,－2\r(2))＝－eq\r(2)，得數(shù)列是以－eq\r(2)為公比的等比數(shù)列；對于C：當(dāng)x＝0時(shí)，不是等比數(shù)列．對于D：a－1，a－2，a－3，a－4中，由eq\f(a－2,a－1)＝eq\f(a－3,a－2)＝eq\f(a－4,a－3)＝a－1，得數(shù)列是以a－1為公比的等比數(shù)列．答案：ABD7．解析：三數(shù)a，2a＋2，3a＋3成等比數(shù)列，則(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－1或a＝－4，當(dāng)a＝－1時(shí)，即三個(gè)數(shù)為－1，0，0，不為等比數(shù)列，故舍去，當(dāng)a＝－4時(shí)，即三個(gè)數(shù)為－4，－6，－9，為等比數(shù)列，所以a＝－4.答案：－48．解析：∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q，a1＝2，a4＝－16，∴2q3＝－16，∴q＝－2.答案：－29．解析：(1)因?yàn)閍5＝a3q2，所以q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4).所以q＝±eq\f(1,2).當(dāng)q＝eq\f(1,2)時(shí)，an＝a3qn－3＝32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－3)＝28－n；當(dāng)q＝－eq\f(1,2)時(shí)，an＝a3qn－3＝32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－3).所以an＝28－n或an＝32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－3).(2)當(dāng)an＝eq\f(1,2)時(shí)，28－n＝eq\f(1,2)或32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－3)＝eq\f(1,2)，解得n＝9.10．解析：因數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則an＝a1qn－1，q為非0常數(shù)，對于A，eq\f(aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n＋1)),aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))eq\s\up12(3)＝q3，顯然q3是非0常數(shù)，即{aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))}是首項(xiàng)為aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1))，公比為q3的等比數(shù)列，A正確；對于B，因k∈R，則當(dāng)k＝0時(shí)，k·an＝0，{k·an}不是等比數(shù)列，B不正確；對于C，eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))eq\s\up12(n－1)，eq\f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq\f(1,q)，即數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為eq\f(1,a1)，公比為eq\f(1,q)的等比數(shù)列，C正確；對于D，若數(shù)列{an}中有負(fù)數(shù)項(xiàng)，則lnan無意義，若?n∈N＋，an>0，則lnan＝lna1＋(n－1)lnq，{lnan}不是等比數(shù)列，D不正確．答案：AC11．解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍2，a3，eq\f(3,4)a4成等差數(shù)列，所以a2＋eq\f(3,4)a4＝2a3，即a1q＋eq\f(3,4)a1q3＝2a1q2，整理得3q2－8q＋4＝0，(q－2)·(3q－2)＝0，解得：q＝2或q＝eq\f(2,3)，當(dāng)q＝2時(shí)，eq\f(a2＋a4,a5＋a7)＝eq\f(a1q（1＋q2）,a1q4（1＋q2）)＝eq\f(1,q3)＝eq\f(1,8)；當(dāng)q＝eq\f(2,3)時(shí)，eq\f(a2＋a4,a5＋a7)＝eq\f(1,q3)＝eq\f(27,8).答案：A12．解析：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a1≠0，q≠0，由題意知q≠1，a6－a2＝a1q5－a1q＝a1(q5－q)＝15，a5－a3＝a1(q4－q2)＝6，兩式相除可得：eq\f(q5－q,q4－q2)＝eq\f(15,6)，即eq\f(q4－1,q3－q)＝eq\f(5,2)，所以eq\f(（q2－1）（q2＋1）,q（q2－1）)＝eq\f(5,2)，可得：2q2－5q＋2＝0，解得：q＝2或q＝eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)13．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，∴aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k))＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去).答案：914．解析：(1)由題意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝eq\f(4,5)an－1＋eq\f(4,25)，所以an＝eq\f(4,5)an－1＋eq\f(4,25)；(2)由(1)得an＝eq\f(4,5)an－1＋eq\f(4,25)，∴an－eq\f(4,5)＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1－\f(4,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5)))是等比數(shù)列．(3)由(2)有an－eq\f(4,5)＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1－\f(4,5)))，又a1＝eq\f(3,10)，所以a1－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,2)，∴an－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)，即an＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)＋eq\f(4,5)；an＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)＋eq\f(4,5)>eq\f(3,5)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)<eq\f(2,5)，兩邊取常用對數(shù)得：(n－1)lgeq\f(4,5)<lgeq\f(2,5)，所以(n－1)>eq\f(lg\f(2,5),lg\f(4,5))＝eq\f(lg2－lg5,2lg2－lg5)＝eq\f(lg2－（1－lg2）,2lg2－（1－lg2）)＝eq\f(2lg2－1,3lg2－1)＝eq\f(2×0.301－1,3×0.301－1)＝