2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)第八章第7講拋物線

第7講拋物線組基礎(chǔ)關(guān)1．(2019·廈門一模)若拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則a＝()A．2B．4C．±2D．±4答案C解析拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(a,4).而拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)＋\f(a,4)))＝1，解得a＝±2.2．(2019·汀贛十四校第一次聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x與x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)間的距離為2，則p的值為()A．4B．12C．2eq\r(3)D．6答案C解析兩拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).由題意可知eq\r(1＋\f(p2,4))＝2，且p>0，解得p＝2eq\r(3).3．(2020·南昌摸底)一動(dòng)圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動(dòng)圓恒與直線x＋2＝0相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0,0)答案B解析由拋物線y2＝8x，得準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)．因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動(dòng)圓恒與直線x＋2＝0相切，由拋物線的定義可知?jiǎng)訄A必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,0)．4．(2019·哈爾濱三模)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作一條傾斜角為eq\f(π,6)的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝()A．4B．6C．8D．16答案D解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，p＝2，過(guò)焦點(diǎn)的直線的斜率k＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，則直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，代入y2＝4x得eq\f(1,3)(x－1)2＝4x，整理得x2－14x＋1＝0，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝14，則|AB|＝x1＋x2＋p＝14＋2＝16.5．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q.若△QAF的面積為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)C．(1,2) D．(1,4)答案A解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．因?yàn)椤鱍AF的面積為2，所以eq\f(1,2)×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)．6．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝()A．5B．6C．7D．8答案D解析根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，與拋物線方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又因?yàn)镕(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(3,4)，從而可以求得eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0×3＋2×4＝8.故選D.7．(2019·懷化三模)過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率為k的直線，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB(O為坐標(biāo)系原點(diǎn))的斜率分別為k1，k2，則下列等式正確的是()A．k1＋k2＝k B.eq\f(1,k)＝k1＋k2C.eq\f(1,k)＝eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2) D．k2＝k1·k2答案C解析由題意，得OA的方程為y＝k1x，與拋物線C：y2＝2px(p>0)聯(lián)立，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k\o\al(2,1))，\f(2p,k1)))，同理可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k\o\al(2,2))，\f(2p,k2)))，∴k＝eq\f(\f(2p,k1)－\f(2p,k2),\f(2p,k\o\al(2,1))－\f(2p,k\o\al(2,2)))＝eq\f(1,\f(1,k1)＋\f(1,k2))，∴eq\f(1,k)＝eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2).故選C.8．(2019·湖北四地七校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，P是拋物線C上的點(diǎn)，且PF⊥x軸．若以AF為直徑的圓截直線AP所得的弦長(zhǎng)為1，則實(shí)數(shù)p的值為________．答案eq\r(2)解析由題意，得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，設(shè)P在第一象限，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，kAP＝eq\f(p,p)＝1，則直線AP的方程為x－y＋eq\f(p,2)＝0，以AF為直徑的圓的圓心為O(0,0)，半徑為R＝eq\f(p,2)，則O到直線AP的距離為d＝eq\f(\f(p,2),\r(2))＝eq\f(\r(2)p,4)，則圓O截直線AP所得的弦長(zhǎng)為1＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(\f(p2,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)p,4)))2)，解得p＝eq\r(2).9．(2019·武漢4月調(diào)研)已知過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線AB與拋物線y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA，OB的斜率之和為1，則直線AB的方程為________．答案2x＋y－2＝0解析當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不符合題意，故設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)，則直線AB的方程為y＝k(x－1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝2x))消去y并整理，得k2x2－2(k2＋1)x＋k2＝0，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋1,k2)，x1x2＝1.∴直線OA，OB的斜率之和為eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝eq\f(2kx1x2－kx1＋x2,x1x2)＝2k－eq\f(2k2＋1,k)＝1，解得k＝－2，∴直線AB的方程為2x＋y－2＝0.10．(2019·河南六市第二次聯(lián)考)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)M(5,2eq\r(5))作直線l的垂線，垂足為H，則∠FMH的平分線的斜率為________．答案eq\f(\r(5),5)解析連接HF.因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線y2＝4x上，所以由拋物線的定義可知|MH|＝|MF|.所以△MHF為等腰三角形．所以∠FMH的平分線所在的直線經(jīng)過(guò)HF的中點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)F(1,0)，H(－1,2eq\r(5))，所以HF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\r(5))，所以∠FMH的平分線的斜率為eq\f(2\r(5)－\r(5),5－0)＝eq\f(\r(5),5).組能力關(guān)1．(2020·重慶名校聯(lián)盟調(diào)研抽測(cè))過(guò)拋物線y2＝2x上一點(diǎn)A(2,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC，分別交拋物線于B，C兩點(diǎn)，則直線BC的斜率為()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(1,2)答案D解析依題意，可設(shè)直線AB的方程為y－2＝k(x－2)，則直線AC的方程為y－2＝－k(x－2)．設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)(y1≠2，y2≠2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y－2＝kx－2，))得y1＝eq\f(2－2k,k).同理，得y2＝eq\f(2＋2k,－k).所以直線BC的斜率為eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(1,2)y\o\al(2,2)－\f(1,2)y\o\al(2,1))＝eq\f(2,y2＋y1)＝－eq\f(1,2).故選D.2．(2019·華中師大第一附中模擬)如圖所示，點(diǎn)F是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總平行于x軸，則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是()A．(2,6) B．(6,8)C．(8,12) D．(10,14)答案C解析設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)．拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－2，焦點(diǎn)F(2，0)．由拋物線定義，得|AF|＝xA＋2.因?yàn)閳A(x－2)2＋y2＝16的圓心為(2,0)，半徑為4，所以△FAB的周長(zhǎng)為|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x－22＋y2＝16，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4，))則xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)．3．(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(10),3)，拋物線D：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(9,2)，若點(diǎn)P(m,1)是拋物線D與雙曲線C的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是()A．a(chǎn)＝3bB．拋物線D的方程為x2＝18yC．m＝±3eq\r(2)D．雙曲線C的方程為eq\f(x2,9)－y2＝1答案ABCD解析由已知可得e2＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(10,9)，所以a2＝9b2，即A正確；由拋物線D：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(9,2)，得－eq\f(p,2)＝－eq\f(9,2)，解得p＝9，所以拋物線D的方程為x2＝18y，B正確；由點(diǎn)P(m,1)在拋物線D上，得m2＝18，解得m＝±3eq\r(2)，C正確；又點(diǎn)P(m,1)在雙曲線C上，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(18,a2)－\f(1,b2)＝1，,b＝\f(1,3)a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝1.))故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－y2＝1，D正確．故選ABCD.4．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.答案2解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4x1－4x2，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB的中點(diǎn)M′(x0，y0)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′.因?yàn)椤螦MB＝90°，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．因?yàn)镸′為AB的中點(diǎn)，所以MM′平行于x軸．因?yàn)镸(－1,1)，所以y0＝1，則y1＋y2＝2，所以k＝2.5．(2020·銀川摸底)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)A(－1,0)，則eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為________；當(dāng)eq\f(|PF|,|PA|)取得最小值時(shí)，直線AP的方程為________．答案eq\f(\r(2),2)x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0解析設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF|,|PA|)))2＝eq\f(16t4＋8t2＋1,16t4＋24t2＋1)＝1－eq\f(16t2,16t4＋24t2＋1)＝1－eq\f(16,16t2＋\f(1,t2)＋24)≥1－eq\f(16,2\r(16t2·\f(1,t2))＋24)＝1－eq\f(16,32)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)16t2＝eq\f(1,t2)，即t＝±eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．故eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為eq\f(\r(2),2)；當(dāng)eq\f(|PF|,|PA|)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)，∴直線AP的方程為y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.6．(2019·洛陽(yáng)模擬)已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(2，y0)是E上一點(diǎn)，且|AF|＝2.(1)求E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)B是E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，直線AB與直線y＝x－3交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交E于點(diǎn)M，證明：直線BM過(guò)定點(diǎn)．解(1)根據(jù)題意，知4＝2py0，①因?yàn)閨AF|＝2，所以y0＋eq\f(p,2)＝2.②聯(lián)立①②解得y0＝1，p＝2.所以E的方程為x2＝4y.(2)證明：設(shè)B(x1，y1)，M(x2，y2)．由題意，可設(shè)直線BM的方程為y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③由MP⊥x軸及點(diǎn)P在直線y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，則由A，P，B三點(diǎn)共線，得eq\f(x2－4,x2－2)＝eq\f(kx1＋b－1,x1－2)，整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.將③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.由點(diǎn)B的任意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直線BM恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)．組素養(yǎng)關(guān)1．(2019·衡水一模)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).(1)證明：B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；(2)設(shè)λ＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，求λ的取值范圍．解(1)證明：設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，F(xiàn)(1，0)，∴eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)－1，y0))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)－1，y1))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)－1，y2))，∵eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，∴eq\f(y\o\al(2,1),4)－1＋eq\f(y\o\al(2,2),4)－1＝eq\f(y\o\al(2,0),4)－1，y1＋y2＝y(tǒng)0，即yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝y(tǒng)eq\o\al(2,0)＋4，∴(y1＋y2)2＝y(tǒng)eq\o\al(2,0)，∴yeq\o\al(2,0)＋4＋2y1y2＝y(tǒng)eq\o\al(2,0)，∴y1y2＝－2.(2)由eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，得四邊形ABFC為平行四邊形，故λ＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y\o\al(2,1),4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y\o\al(2,2),4)))＋(－y1)·(－y2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,2),4)))＋eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),16)＋y1y2＝1－eq\f(y\o\al(2,0)＋4,4)＋eq\f(4,16)－2＝－eq\f(1,4)yeq\o\al(2,0)－eq\f(7,4)≤－eq\f(7,4)，故λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(7,4))).2．(2020·安徽百所重點(diǎn)高中模擬)如圖，設(shè)直線l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))與拋物線C：y2＝2px(p>0，p為常數(shù))交于不同的兩點(diǎn)M，