高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（人教A版2019必修一）專題5.3三角函數(shù)的概念-重難點題型精講（學生版）

專題5.3三角函數(shù)的概念重難點題型精講1．任意角的三角函數(shù)(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設是一個任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).

①把點P的縱坐標y叫做的正弦函數(shù)，記作，即y=；

②把點P的橫坐標x叫做的余弦函數(shù)，記作，即x=；

③把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作，即=(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：(2)用角的終邊上的點的坐標表示三角函數(shù)

如圖，設是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x,y)，點P與原點的距離為r.則=，=，=.2．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(1)三角函數(shù)的定義域(2)三角函數(shù)值在各象限的符號由于角的終邊上任意一點P(x,y)到原點的距離r是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義，知

①正弦函數(shù)值的符號取決于縱坐標y的符號；

②余弦函數(shù)值的符號取決于橫坐標x的符號；

③正切函數(shù)值的符號是由x,y的符號共同決定的，即x,y同號為正，異號為負.

因此，正弦函數(shù)()、余弦函數(shù)()、正切函數(shù)()的值在各個象限內(nèi)的符號如圖所示.

3．誘導公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.

由此得到一組公式(公式一)：4．同角三角函數(shù)的基本關系(1)同角三角函數(shù)的基本關系(2)基本關系式的變形公式【題型1任意角的三角函數(shù)的定義及應用】【方法點撥】解決此類問題的關鍵是正確理解任意角的三角函數(shù)的定義.【例1】（2022·廣東·高一開學考試）已知角α的終邊經(jīng)過點M1,2，則cosα=A．63 B．33 C．2 【變式11】（2022·陜西·高三階段練習（文））設α是第二象限角，Px,8為其終邊上的一點，且sinα=45，則A．?3 B．?4 C．?6 D．?10【變式12】（2022·河南·高三階段練習（文））已知角α的終邊經(jīng)過點P?4m,3mm≠0，則2sinA．?35 B．25 C．1或?25【變式13】（2023·全國·高三專題練習）已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，若A?1,y是角θ終邊上一點，且sinθ=?31010A．3 B．?3 C．1 D．?1【題型2三角函數(shù)值在各象限的符號】【方法點撥】對于確定角是第幾象限角的問題，應先確定題目中所有三角函數(shù)值的符號，然后依據(jù)上述三角函數(shù)值的符號來確定角是第幾象限角，則它們的公共部分即所求；對于已知角的終邊所在的象限來判斷角的三角函數(shù)值的符號問題，則常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來解決.【例2】（2022·全國·高一課時練習）已知α為第二象限角，則（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cosα<0【變式21】（2022·全國·高一課時練習）已知α為第二象限的角，則1?cos2αA．sinα B．?sinα C．±【變式22】（2022·全國·高三專題練習）若sinθ<0且tanθ<0，則角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式23】（2022·北京高一期中）設α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3誘導公式一的應用】【方法點撥】1.誘導公式一的實質是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.2.利用誘導公式一可將負角或大于等于2π的角的三角函數(shù)化為0~2π之間的角的同名三角函數(shù)，實現(xiàn)了“負化正，大化小”.【例3】（2022·湖南·高一課時練習）求值：3cos【變式31】（2021·全國·高一課前預習）計算下列各式的值：(1)tan405°?(2)sin25π【變式32】（2021·全國·高一課時練習）化簡下列各式：(1)sin760(2)tanα1sin【變式33】（2021·全國·高一課前預習）求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan?(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【題型4根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系求值】【方法點撥】第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限進行分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)的基本關系式及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值.【例4】（2022·江西省高三階段練習（理））已知tanα=?2，則sinα?3cosA．?7 B．?53 C．?【變式41】（2022·貴州·高三階段練習（文））已知sinα?cosα=12A．?34 B．34 C．?【變式42】（2021·河北·高二期中）已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．?75 C．【變式43】（2022·山東·高二階段練習）已知tanθ=2,則cosθ?sinA．?13 B．13 C．?3【題型5三角函數(shù)式的化簡】【方法點撥】1.化簡原則：三角函數(shù)式的化簡就是代數(shù)式的恒等變形，使結果盡可能簡單，也就是項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)種類盡可能少，式子中盡量不含根號，能求值的一定要求值.2.化簡常用的方法：(1)對于含有根號的，常把被開方數(shù)(式)化成完全平方數(shù)(式)，然后去根號達到化簡的目的；(2)化切為弦，從而減少函數(shù)種類，達到化簡的目的；(3)對于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構造，以降低次數(shù)，達到化簡的目的.【例5】（2021·福建·高一階段練習）（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【變式51】（2022·全國·高一課時練習）已知3sin(1)求tanα(2)求sinα【變式52】（2022·全國·高一課時練習）已知tanα=2(1)1sin(2)11?【變式53】（2022·天津·模擬預測）已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【題型6三角恒等式的證明】【方法點撥】三角恒等式的證明方法非常多，其主要方法有：(1)從左向右推導或從右向左推導，一般由繁到簡；(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)化異為同法，即針對題設與結論間的差異，有針對性地變形，以消除差異.【例6】（2022·全國·高一課時練習）求證：(1)(1?cos(2)si