【數(shù)學】高中數(shù)學知識點總結最全版-精心校對

［［在此處鍵入］［［在此處鍵入］高中數(shù)學知識點總結資料下載請關注公眾號：英語邊邊資料下載請關注公眾號：英語邊邊第第-#-頁共104頁OC=1-A+Bo2C=2?-2(A+B)..簡單的三角方程的通解sinx=aox=k兀+(-1)karcsina(keZ,|a區(qū)1).cosx=aox=2k?！繿rccosa(keZ,|a|<1).tanx=anx=k兀+arctana(keZ,aeR).特別地,有sina=sin0oa=k兀+(-1)k隊keZ).cosa=cos0oa=2k兀±0(keZ).tana=tan0na=k兀+0(keZ)..最簡單的三角不等式及其解集sinx>a(|a|<1)oxe(2k兀+arcsina,2k兀+兀-arcsina),keZ.sinx<a(|a|<1)oxe(2k兀-兀-arcsina,2k兀+arcsina),keZ.cosx>a(|a|<1)oxe(2k兀-arccosa,2k兀+arccosa),keZ.cosx<a(|a|<1)oxe(2k兀+arccosa,2k兀+2乃-arccosa),keZ.n、. . _兀、Irtanx>a(aeR)nxe(k兀+arctana,k兀+—),keZ.一一/n、. 乃7 . 、7rtanx<a(aeR)nxe(k兀——,k兀+arctana),keZ..實數(shù)與向量的積的運算律設入、口為實數(shù)，那么(1)結合律：入(ua)=(入u)a;(2)第一分配律：(入+口)a=入a+口a;(3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b..向量的數(shù)量積的運算律：a?b=b?a (交換律)；( 2a) ?b=2 (a,b)=2 a,b= a,(2b);(a+b) ?c=a?c+b?c..平面向量基本定理2,如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)入1、入使得a二入iei+入2e22,不共線的向量ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底..向量平行的坐標表示設a=a,y),b=(x2,y2),且b豐0,則a||b(b豐0)ox1y2-x2y1=0.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a?b=|a||b|cos0..a-b的幾何意義數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積..平面向量的坐標運算⑴設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b二區(qū)+x2,乂+y2).(2)設a=(m，必),b=(x2,y2)，則a-b二區(qū)-x2,乂-y2).(3)設A(x1,y1),B(x2,y2)，則-OB-OA=(x2-x1,y2-y1).(4)設a=(x,y),2eR，則2a=(2x,2y).(5)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a?b=(x1x2+y1y2)..兩向量的夾角公式cos°=1 x1x2+y)y=—r(a=(x1,yJ,b=(x2,y2))?Vx1+y1yx2+y2

.平面兩點間的距離公式d"=\AB\=^AB-AB="(0—xi)2+(%—乃)2(A(xi，必)，B(x2,y2))..向量的平行與垂直設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b豐0,貝UA||bob—aox{y2-x2y1=0.a±b(a豐0)oa,b=0oxtx2+yry2=0..線段的定比分公式 _ _設P1(x1,y1), P2(x2,y2),P(x,y)是線段P1P2的分點，2是實數(shù)，且肝=X亞，則%i+2x2x= -~_——，+%oOP=y1+2y2 1+2y= 1+2o。尸=3+(17)。((t67.三角形的重心坐標公式67.三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為A(x1,y1).B(x2,y2)、C(x3,y3),則^ABC的重心的坐標是x1+x2+x3 弘+y2+y33 ， 3.點的平移公式x'=x'=x+h|x=x'-h, o\ ,y=y+k[y=y-koOP=OP+PP.注：圖形F上的任意一點P(x,y)在平移后圖形廠上的對應點為P'(x',y'),且港的坐標為(h,k)..“按向量平移”的幾個結論(1)點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點P(x+h,y+k).(2)函數(shù)y=f(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為y=f(x-h)+k.(3)圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)=f(x),則C的函數(shù)解析式為y=f(x+h)-k.(4)曲線C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的方程為f(x-h,y-k)=0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y)..三角形五“心”向量形式的充要條件設O為AABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，則?, _,,,, —~~?2 —~?2 ——*2O為AABC的外心oOA=OB=OC.O為AABC的重心oOA+OB+OC=Q.O為AABC的垂心oOA^=OB^=OC^OA.O為AABC的內(nèi)心oaOA+bOB+cOC=Q.O為AABC的NA的旁心oaOA=bOB+cOC..常用不等式：a,bgRna2+b2>2ab(當且僅當a=b時取"=”號).a,bgR+na+b>Obb(當且僅當a=b時取"=”號).2a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

（4）柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2,a,b,c,deR.（5）|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|..極值定理已知x,y都是正數(shù)，則有（1）若積xy是定值p，則當x=y時和x+y有最小值2Jp；（2）若和x+y是定值s，則當x=y時積xy有最大值;s2.推廣已知x,yeR，則有（x+y）2=（x-y）2+2xy（1）若積xy是定值，則當|x-y|最大時，|x+y|最大；當|x-y|最小時，|x+y|最小.（2）若和|x+y|是定值，則當|x-y|最大時，|xy|最??；當|x-y|最小時，|xy|最大..一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a*0,A=b2-4ac>0），如果a與ax2+bx+c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2+bx+c異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.x；<x<x2o（x-xj（x-x2）<0（x；<x2）；x<x；,或x>x2o（x-xj（x-x2）>0（x；<x2）..含有絕對值的不等式當a>0時，有|x|<aox2<a2o-a<x<a.|x|>aox2>a2ox>a或x<—a..無理不等式If(x)>0df(x)>Jg(x)o<g(x)>0f(x)>g(x)If(x)>04fx>g(x)oig(x)>0f(x)>[g(x)]2If(x)>0Jf(x)<g(x)o<g(x)>0f(x)<[g(x)]2.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當a>1時，af(x)>ag(x)of(x)>g(x);"(x)>010gaf(x)>10gag(x)o<g(x)>0j(x)>g(x)(2)當0<a<1時，af(x)>ag(x)of(x)<g(x)；"(x)>010gaf(x)>10gag(x)o,g(x)>0f(x)<g(x)

.斜率公式k=乂必(Pi(xi,yi)、P2(x2,y2)).x2-x.直線的五種方程(1)點斜式y(tǒng)-y1=k(x-x1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為k).(2)斜截式y(tǒng)=kx+b(b為直線l在y軸上的截距).(3)兩點式—~y1- =—~x- (y1 wy2)(P(x1,y1) ^ P2(x2,y2) (x1 豐 x2)).y2-yi x2-xi(4)截距式x+y=1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、bw0)ab一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同時為0)..兩條直線的平行和垂直(1)若(:y=kx+b,l2:y=kx+b2|||l2ok=h,bwb；|±l2okk=-1.⑵若l1 : A1x+ B1y+C1 =0,12 :A2x+B2y+C2 =0,且A1、A2、B1、B2都不為零,①l.||LoA1=BwC；2 A2 B2 C2l±l2oAA+BB=0;.夾角公式(1)tana=|—~—|.1+k2kl(l1:y=k1x+b1, 12:y=k2x+b2,kkw-1),AB-AB.,(2)tana=| ~二2」|.44+B1B2(l1：4x+B1y+C1=0,12:A2x+B2y+C2=0,AA+BBw0).TOC\o"1-5"\h\z, . 冗直線l1112時，直線11與12的夾角是-.2 281.l］到12的角公式k-k(1)tana=- L.+kk(l1：y=k1x+b1，12：y=k2x+b2,kkw-1)(2)tan(2)tana=4B2-A2B1A1A+4B2(l1：A1x+B1y+C1=0,12:A2x+B2y+C2=0,AA+BBw0) —直線l1112時，直線11到l2的角是-.2 2.四種常用直線系方程(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方程為y-y0=k(x-%)(除直線x=x0)，其中k是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0,其中A,B是待定的系數(shù).(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1:4x+B1y+C1=0，12:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為(A1x+B1y+C1)+2(A2x+B2y+C2)=0(除12),其中A是待定的系數(shù).(3)平行直線系方程：直線y=kx+b中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程.與直線

Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+2=0(2豐0),人是參變量.(4)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0(AW0,BW0)垂直的直線系方程是Bx-Ay+2=0,人是參變量..點到直線的距離JA°+B°d=?Ax。/+By+C|(點P(x0,y0),直線l：Ax+By+CJA°+B°.Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域設直線l:Ax+By+C=0，則Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：若B豐0，當B與Ax+By+C同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當B與Ax+By+C異號時，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之，同號在上，異號在下.若B=0，當A與Ax+By+C同號時，表示直線l的右方的區(qū)域；當A與Ax+By+C異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.. (Ax+Bxy+C)(A2x+B2y+C2)>0或<0所表示的平面區(qū)域設曲線C:(Ax+Bxy+ q)(Ax+ B2y +C2)=0(A^BB*0)，則(A1x+B1y+C1)(A2x+ B2y+C2) > 0或<0所表示的平面區(qū)域是：(A1x+B1y+C1)(A2x+ B2y+C2) > 0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(A1x+B1y+C1)(A2x+ B2y+C2) < 0所表示的平面區(qū)域上下兩部分..圓的四種方程(1)圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圓的一般方程x°+y°+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).(3)(3)圓的參數(shù)方程4x=a+rcos6y=b+rsin0(4)圓的直徑式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圓的直徑的端點是A(x1,y1)、B(x2,y2))..圓系方程(1)過點A?,%),B(x2,y2)的圓系方程是(X—X])(X—x2)+(y—y1)(y—y2)+2[(X—x1)(y1-y2)-(y—y1)(x1-X2)]=0O(x—x1)(x—x2)+(y—y1)(y—y2)+2(ax+by+c)=0，其中ax+by+c=0是直線AB的方程，A是待定的系數(shù).(2)過直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0,A是待定的系數(shù).(3)過圓C1:x2+y2+Dx+E.y+F=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F=0的交點的圓系方程是x+y2+D[x+E^y+F+2(x2+y2+D2x+E2y+F)=0,A是待定的系數(shù)..點與圓的位置關系點P(x0，y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系有三種若d=7(a-x0)2+(b-y0)2，則d>ro點P在圓外；d=ro點P在圓上；d<ro點P在圓內(nèi)..直線與圓的位置關系直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系有三種：d>ro相離OA<0；d=ro本目切OA=0；d<ro本目交OA>0.其中d其中d=Aaa+Bb+C.兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為Oi,O2,半徑分別為ri,n，|O1O2|=dd>r1+r2O外離O4條公切線；d=r+r2O外切O3條公切線；|r1-r2|<d<r1+r2O相交O2條公切線；d=|r1-r21O內(nèi)切O1條公切線；0<d<|r1-r2|O內(nèi)含O無公切線..圓的切線方程(1)已知圓xx+jy+Dx+Ey+F=0.①若已知切點(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是D(x0+x)+E(y0+y)+尸=0當(x0,y0)圓外時，x0x+y0y+D(x[x)+E(y；+y)+F=0表示過兩個切點的切點弦方程.②過圓外一點的切線方程可設為y-y0=k(x-x0),再利用相切條件求k,這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.③斜率為k的切線方程可設為y=kx+b，再利用相切條件求b,必有兩條切線.⑵已知圓x'+y'=r2.①過圓上的片(x0，y0)點的切線方程為x0x+y0y=r2;②斜率為k的圓的切線方程為y=kx土rVl+k2.，…x2 y2 …「x=acos6.橢圓—+y-=1(a>b>0)的參數(shù)方程是《 .ab [y=bsin02 2.橢圓—+1r=1(a>b>0)焦半徑公式ab|PFl|=e(x+亍)，|PF2|=e(亍-x)..橢圓的的內(nèi)外部2 2 2 2(1)點P(x0,y0)在橢圓+——=1(a>b>0)的內(nèi)部O—0-+—0-<1.ab ab(2)點P(x0，y0)在橢圓x2+y2=1(a>b>0)的外部Ox2+y2>1.ab ab.橢圓的切線方程TOC\o"1-5"\h\z“2 ,,2 ”“ ，一，(1)橢圓工+二=1(a>b>0)上一點P(x0，y0)處的切線方程是一0r+誓=1.a' bb a'bb\o"CurrentDocument"2 2⑵過橢圓f+==1(a>b>0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是abx0x,y0y=1a2 b2(3)橢圓三+4=1(a>b>0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2+B2b2=c2.ab\o"CurrentDocument"2 2.雙曲線j-4=1(a>0,b>0)的焦半徑公式ab

2 2|PF1|=1心+y)1，|PF2|=18—-%)1..雙曲線的內(nèi)外部2 2 2 2(1)點P(x0,y0)在雙曲線?-y-=1(^>0,b>0)的內(nèi)部。咚-件>1.ab ab(2)點P(x0,y0)在雙曲線I-4=1(a>0,b>0)的外部o?-4<1.ab ab.雙曲線的方程與漸近線方程的關系TOC\o"1-5"\h\z?2 、，2 ?2 ,,2 7(1)若雙曲線方程為 -=1n漸近線方程：-5 ==0oy=±一x.\o"CurrentDocument"a2 b2 aa b2 a% x y x2⑵若漸近線方程為y=±-xo-±y=0n雙曲線可設為三-a a b a\o"CurrentDocument"2 2 2 2(九〉0，焦點在x軸上，九<0(九〉0，焦點在x軸上，九<0，焦點在y軸上)..雙曲線的切線方程x0x0x y0y=iaa b2 ,(1)雙曲線J-y-=1(a>0,b>0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是ab2 2(2)過雙曲線I-y-=1(a>0,b>0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是abx0x y0y7a? b2一.(3)雙曲線-—==1(a>0,b>0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2-B2b2=c2.ab.拋物線y2=2px的焦半徑公式拋物線y2=2px(p>0)焦半徑CF|=x0+p.過焦點弦長|CD|=x1+p+x2+p=x1+x2+p.2.拋物線y2=2px上的動點可設為P(匕,yo)或P(2pt2,2pt)或P(冗,乂)，其中貫=2px.2p.一 「一 be 4ac-b2 ——.一一一. .二次函數(shù)y=ax-+bx+c=a(x+—)2+ (a豐0)的圖象是拋物線：(1)頂點坐標為2a 4a/b4ac-b、/八…八」一、?/b4ac——+1、 …、八小、加口 4ac—-—1( , )；(2)焦點的坐標為( , )；(3)準線方程是y= 2a4a 2a 4a 4a.拋物線的內(nèi)外部⑴點P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)的內(nèi)部oy2<2px(p>0).點P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)的外部oy2>2px(p>0).(2)點P(x0,y0)在拋物線y2=-2px(p>0)的內(nèi)部oy2<-2px(p>0).點P(x0,y0)在拋物線y2=-2px(p>0)的外部oy2>-2px(p>0).⑶點P(x0,y0)在拋物線x2=2py(p>0)的內(nèi)部ox2<2py(p>0).點P(x0,y0)在拋物線x2=2py(p>0)的外部ox2>2py(p>0).(4)點P(x0,y0)在拋物線x2=2py(p>0)的內(nèi)部ox2<2py(p>0).點P(x0,y0)在拋物線x2=-2py(p>0)的外部ox2>-2py(p>0)..拋物線的切線方程(1)拋物線y2=2px上一點P(x0,y0)處的切線方程是y0y=p(x+x0).(2)過拋物線y2=2px外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是y0y=p(x+x0).(3)拋物線y2=2px(p>0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是pB2=2AC..兩個常見的曲線系方程⑴過曲線fi(x,y)=0,f2(x,y)=0的交點的曲線系方程是工(x,y)+九f2(x,y)=0(2為參數(shù)).2 2(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程+=1,其中k<max{a2,b?}.當k>min{a2,b2}時,表示橢a2-kb2-k圓；當min{a2,b2}<k<max{a2,b2}時,表示雙曲線..直線與圓錐曲線相交的弦長公式|AB|=7(xi-x2)2+(yi-y2)2或|AB|=J(1+k2)(x2 -xj2 =|xi -x2 |v1+tan2a =| y1一y2|Ji+cot2a (弦端點A(x「y)B(x2,y2)，由y=kx+b 「方程f 消去y得到axx+bx+c=0，A>0,a為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率).F(x,y)=0.圓錐曲線的兩類對稱問題(1)曲線F(x,y)=0關于點P(x0,y0)成中心對稱的曲線是F(2x0-x,2y0-y)=0.(2)曲線F(x,y)=0關于直線Ax+By+C=0成軸對稱的曲線是2A(Ax+By+C) 2B(Ax+By+C)(x A2+B2/ A+B?.“四線”一方程對于一般的二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，用xox代x2，用yoy代y?，用x0y+xy0代xy，用工一代x，用yJL+Z代y即得方程Ax0x+B-x0y+xy0+Cy0y+D-±+x+E-y^+y+F=0，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到..證明直線與直線的平行的思考途徑(1)轉化為判定共面二直線無交點；(2)轉化為二直線同與第三條直線平行；(3)轉化為線面平行；(4)轉化為線面垂直；(5)轉化為面面平行..證明直線與平面的平行的思考途徑(1)轉化為直線與平面無公共點；(2)轉化為線線平行；(3)轉化為面面平行..證明平面與平面平行的思考途徑(1)轉化為判定二平面無公共點；(2)轉化為線面平行；(3)轉化為線面垂直..證明直線與直線的垂直的思考途徑(1)轉化為相交垂直；(2)轉化為線面垂直；(3)轉化為線與另一線的射影垂直；(4)轉化為線與形成射影的斜線垂直..證明直線與平面垂直的思考途徑(1)轉化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；(2)轉化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；(3)轉化為該直線與平面的一條垂線平行；(4)轉化為該直線垂直于另一個平行平面；(5)轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直..證明平面與平面的垂直的思考途徑(1)轉化為判斷二面角是直二面角；(2)轉化為線面垂直..空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律⑴加法交換律：a+b=b+a.(2)加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)數(shù)乘分配律：入(a+b)=入a+入b..平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量..共線向量定理對空間任意兩個向量a、b(bW0),a〃bO存在實數(shù)入使分=入^P、A、B三點共線oAP||ABoAP=tABoOP=(l-t)OA+tOB.AB||CDoAB,無共線且AB、CD不共線oAB=/①且AB、CD不共線..共面向量定理向量p與兩個不共線的向量a、b共面的o存在實數(shù)對x,y，使p=ax+by.推論空間一點P位于平面MAB內(nèi)的o存在有序實數(shù)對x,y,使加=xMA+以防,或對空間任一定點0,有序實數(shù)對x,y，使無=加+xMA+yMB..對空間任一點O和不共線的三點A、B、C,滿足歷= +y礪+z玩(x+y+z=k),則當k=1時，對于空間任一點O,總有P、A、B、C四點共面；當k豐1時，若Oe平面ABC,則P、A、B、C四點共面；若O年平面ABC,則P、A、B、C四點不共面._A、B、C、D四點共面o而與懿、就共面oAD^xAB+yACoOD^(l-x-y)OA+xOB+yOC(Oe平面ABC)..空間向量基本定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p,存在一個唯一的有序實數(shù)組x,y,z,使p=xa+yb+zc.一推J設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序實數(shù)x,y,z,使OP^xOA+yOB+zOC..射影公式已知向量擊;a和軸l,e是l上與l同方向的單位向量.作A點在l上的射影4',作B點在l上的射影B',則 _AB'=|AB|cos〈a,e〉=a?e.向量的直角坐標運算設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)則(1)a+b=(ax+b,a2+b2,a3+b)；(2)a—b=(ax-b,a2-b2,a3-b)；(3)入a=(2a1,2a2,2a3)(入￡R)；a?b=ab+a2b2+a3b3；.設A(占,必,Z1),B(x2,y2,z2)，貝UAB-OB-OA=(x2-再,y2-y,z2-zj..空間的線線平行或垂直r r設a=(x1,y19z1),b=(x?y2,z2)，貝U%=4x2rrrrrraPboa=4b(b豐0)o{y1=2y2；*1=4z2rrrra±boa?b=0oxtx2+yty2+ztz2=0..夾角公式設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)，貝U/I、 ab+ab+abcos〈a,b)= / 1122_33 .aa；+a；+abb；+b；+b；推論(ab+a2b2+a3b3)2<(a；+a；+a2)(b22+b2+b2)，此即三維柯西不等式..四面體的對棱所成的角四面體ABCD中，AC與BD所成的角為氏則cose=|(AB2+CD2)-(BC2+DA2)|

2cose=.異面直線所成角cose=|cos(a,b)|rr_]a.bJ_ |x1x2+jy?z1z2||aHb|Jx：+y「+z「?^x22+y22+z22rr(其中e(0o<e<90o)為異面直線a,b所成角，a,b分別表示異面直線a,b的方向向量).直線AB3平面所成角_ AB-m-... B=arcsin—> (m為平面a的法向量).\AB\\m\.若AABC所在平面若B與過若AB的平面a成的角e,另兩邊AC,BC與平面a成的角分別是4、e2,A、B為AABC的兩個內(nèi)角，則sin24+sin24=(sin2A+sin2B)sin2e.特別地，當NACB=90°時，有sin24+sin2%=sin2e..若AABC所在平面若夕與過若AB的平面a成的角e,另兩邊AC,BC與平面a成的角分別是我、e2,A、B為AABO的兩個內(nèi)角，則tan2e+tan2e?=（sin2A+sin2Bjtan2e.特別地，當NAOB=90°時，有sin2e+sin2e?=sin2e..二面角a-1-P的平面角八 m-n3 m-n/-一“十一 八人」一日、e=arccos———或兀-arccos―—―（加，〃為平面a,P的法向量）.|加||勿| |加II勿I.三余弦定理設AC是a內(nèi)的任一條直線，且BCXAC,垂足為C,又設AO與AB所成的角為仇，AB與AC所成的角為%,AO與AC所成的角為6.則cos6=cos6cos6..三射線定理若夾在平面角為g的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是4,62，與二面角的棱所成的角是9,則有sin2gsin26=sin26+sin262-2sin6sin6cosg;|61-62|<g<180°—(4+62)(當且僅當6=90°時等號成立)..空間兩點間的距離公式若A(X1/1/1),B(x2,y2,22)，貝Ud/乃=\ABh4ab=ab=7(x2-x1)2+(y2-y1)2+(22-21)2..點Q到直線1距離h=—J(|a||b|)2-(a-b)2(點P在直線1上，直線1的方向向量a=PA,向量b=A0).a1.異面直線間的距離d=1cp”(11,12是兩異面直線，其公垂向量為蔡，C、D分別是11,12上任一點，d為11,12間的距離).|〃|.點B到平面a的距離d二\"'(孟為平面a的法向量，AB是經(jīng)過面a的一條斜線，Aea).|川.異面直線上兩點距離公式d=Jh2+m2+n2+2mncos6.d=%h?+m2+n2-2mncos（E/4,/F）.d=Jh?+m2+n2-2mncosg(邛=E-AA'-F).(兩條異面直線a、b所成的角為9,其公垂線段AA'的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F,AE=m,AF=n,EF=d)..三個向量和的平方公式— — —c―2 —2 —2 —— —— ——(a+b+c)=a+b+c-\-2a-b-\-2b-c-\-2c-af2f2f2 ff /f ff ]f ff /ff\=a+b+c+l\a\-\b\cos(a*)+2|“.|c|cos?,c)+21cl.|a|cos(c,a).長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為卜12、13,夾角分別為仇、％、63，則有12=12+12+12ocos26+cos26+cos26=1osin26T+sin26+sin26=2.(立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例)..面積射影定理S=工.cos6(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S',它們所在平面所成銳二面角的為6)..斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側棱長是1，側面積和體積分別是S斜棱柱側和嚓棱柱，它的直截面的周長和面積分別是q和S1,則①S斜棱柱側=c1.②嚓棱柱=Si1..作截面的依據(jù)三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行..棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比(對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方)；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比..歐拉定理(歐拉公式)V+F-E=2(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地，若每個面的邊數(shù)為〃的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關系："1萬E=—nF；2(2)若每個頂點引出的棱數(shù)為m，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關系：E=-mV.2.球的半徑是R,則 4 .其體積V=—兀R3,3其表面積S=4?R2..球的組合體(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為—a,外接球的半徑為—a.12 4.柱體、錐體的體積V主體=-Sh(S是柱體的底面積、h是柱體的高).喙彳^=-Sh(S是錐體的底面積、h是錐體的高)..分類計數(shù)原理(加法原理)N=mx+m2+ 1-mn..分步計數(shù)原理(乘法原理N=mxxm2x-?-xmn..排列數(shù)公式… n! ,An=n(n-->??(n-m+1)= .(n,m￡N，且m<n).(n-m)!注:規(guī)定0!=1..排列恒等式(1)Am=(n-m+1)Am-1;nAm_—n_Am.An = An-1；n-mAm=nA：，nAn=A：：：-A：；Am+1=Am+mA-1.1!+2-2!+3-3!+…+〃?加=(n+1)!-1.153.組合數(shù)公式m_Am_n(n-1)?一(n-m+1) n!(n￡N*,mgN，且m(n￡N*,mgN，且m<n).Am 1x2x?…xm m!?(n-m)!

154.組合數(shù)的兩個性質(zhì)⑴cn=cnn-m ；⑵cm+cnm-1=cnm+i.注:規(guī)定c=1.n-n-m+1 -icn = cnmnrm - rm -cn cn-1 ；n-m\o"CurrentDocument"n ?mim_m「m-1cn=cn-1 ；mn￡C=2n;r=0⑸C+C+i+C+2+…+C=C;⑹c+c+cn+…+c+…+cn=22.⑺c+c+cn+???=c+c+c：+…2n-1.⑻c+2c+3c+…+nc；=n2n-1.⑼cc+cm-1cn+???+coc=c+n（10）c；）2+cn）2+?丫+…+q）2=c2nn..排列數(shù)與組合數(shù)的關系Am=m！Cm ..單條件排列以下各條的大前提是從n個元素中取m個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有Am—種；②某（特）元不在某位有Am-Am-1 （補集思想）=An-1Am-1 （著眼位置）=A-+Am-1Am- （著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：k（k<m<n）個元在固定位的排列有AkAm-k種.②浮動緊貼：n個元素的全排列把k個元排在一起的排法有Ann-k+1Ak種注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個（k<h+1）,把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有AhAh+1種.（3）兩組元素各相同的插空m個大球n個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？An當n>m+1時，無解；當n<m+1時，有」膽=cn+1種排法.nn m+1n（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為cm+n..分配問題（1）（平均分組有歸屬問題）將相異的m、n個物件等分給m個人，各得n件，其分配方法數(shù)共有

(mn)!(n!)m(2)(平均分組無歸屬問題)將相異的m?n個物體等分為無記號或無順序的m堆，其分配方法數(shù)共有TOC\o"1-5"\h\z(mn)!

m!(n!)mCn .cn,C「 (mn)!

m!(n!)mN一CmnCmn-n Cmn-2n… C2n Cnm!(3)(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2+…+nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm這m個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有N=C；C2〃…C”.m!=p'm' .p p-n1nm n1!n2!…nm!(4)(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2+…+nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n，n2，…，nm件，且n，n2，…，nm這m個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有N=C-G-ni.C?m' = p!m!a!b!c!… nJn2!...nm!(a!b!c!...)(5)(非平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2+…+nm)個物體分為任意的n1，n2，…，nm件無記號的m堆，且%，n，…，nm這m個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有N=—p—.n1!n2!…nm!(6)(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2+…+nm)個物體分為任意的n1，n2，…，nm件無記號的m堆，且n，n2，…，nm這m個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有 p n!n2!...nm!(a!b!c!...)(7)(限定分組有歸屬問題)將相異的p(p=n1+n2+…+〃加)個物體分給甲、乙、丙，……等m個人，物體必須被分完，如果指定甲得々件，乙得n2件，丙得n3件，…時，則無論n，n2，…，nm等m個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有N=N=C'C-ni…C；：P!

n1!n2!…nm!.“錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題:信n封信與n個信封全部錯位的組合數(shù)為f(n)=嗚-3!+4!-…+(—吟］?推廣：n個元素與n個位置，其中至少有m個元素錯位的不同組合總數(shù)為f(n,m)=n!-Cm(n-1)!+Cm(n-2)!-Cm(n-3)!+Cm(n-4)!-…+(—l)夕圖5—夕)!+…+(—l)朗瑪5—⑼！TOC\o"1-5"\h\z「1 02 03 04 「p 「m=n![1-常+C-關+譚-…+(-l)〃于+…+(-l門譚].

J1 J2 J2 J4 /夕 AmAn An An An "n "n.不定方程占+x2+…+x〃=加的解的個數(shù)(1)方程占+x2+…+%=( (n,meN*)的正整數(shù)解有Cn-1個.(2)方程x1+x2+…+x〃=( (n,meN*)的非負整數(shù)解有Cn-1個.n+m-1(3)方程x1+x2+…+%=m(n,meN*)滿足條件xi>k(keN*,2<i<n-1)的非負整數(shù)解有n--1 小m+1-(n-2)(k-1) 1 .(4)方程匹+x2+…+%=( (n,meN*)滿足條件x‘4k(keN*,2<i<n-1)的正整數(shù)解有cn-1-c1cn-1 +c2cn-1 --?-+(2cn-2cn-1 個.n+m-1 n-2m+n-k-2 n-2m+n-2k-3 n-2 m+1-(n-2)k.二項式定理(a+b)n=c:an+c；an-1b+c：an-2b2+…+cran-rbr+…+c；b”;二項展開式的通項公式Tr+1=cran-rbr(r=0,12…n)..等可能性事件的概率P(A)=.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B)..n個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1+A2+——+An)=P(A1)+P(A2)+——+P(An)..獨立事件A,B同時發(fā)生的概率P(A?B)=P(A)?P(B)..n個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A1,A2 An)=P(A1)? P(A2) P(An)..n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=cP(1-P)n-k..離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)(1)P>0(i=1,2,…)；(2)P1+P2+…=1..數(shù)學期望E匕=x1P1+x2P2+…+招匕+….數(shù)學期望的性質(zhì)(1)E(a&+b)=aE?+b.(2)若占?B(n,p)，則E&=np.(3)若占服從幾何分布,且P化=k)=g(k,p)=qZp，則E&=-.P.方差戊=(x1—E疔.p1+(x2-E疔.p2+.一+(乙—￡})2.夕〃+一..標準差K=4DI..方差的性質(zhì)(1)D(a&+b)=a2D&；(2)若占?B(n,p)，則D匕=np(1-p).(3)若占服從幾何分布，且PC=k)=g(k,p)=qk-1p，則D占=4.

p.方差與期望的關系D匕=E&?-(E^)2..正態(tài)分布密度函數(shù),xe(-8,+8,xe(-8,+8),準差..標準正態(tài)分布密度函數(shù)

1 -x2f(x)=^~6e2，xe(-s,+s).177.對于N(〃,a2)，取值小于x的概率f(xi〔話)P(xt<x0<x2)=P(x<x2)-P(x<xt)=F(x2)-F(x1)=①(x-L)-①]xlZ￡178.回歸直線方程y=a+bxy=a+bx，其中<E(x「x)(y,--y) Ex“一nxyb= nE(x「x)2_ i=1a=y-bxi=1nE2 —2xz. -nxi=1179.相關系數(shù)179.相關系數(shù)nEU-x)(y,-y)nE(xi-x)5-y)i=1E(x‘-x)2E(y「y)2i=E(x‘-x)2E(y「y)2i=1i=1n n(Ex；-nx2)(Eyj-ny2)i=1 i=1|r|W1,且|r|越接近于1,180.特殊數(shù)列的極限相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越小.limqn=<nfs01不存在Iql<1q=1|q|<1或q=-1limnfsk. k-1 . .a^n+a^^n +,?,+%bM+b7W1+ 1"仇Olbk不存在S=lima1(1-qn)=旦nfs1-q 1-q（S無窮等比數(shù)列｛aq-1J（Iq|<1）的和）..函數(shù)的極限定理limf(x)=aolimf(x)=limf(x)=a.x-xx0 x—xx0 x—xx0+.函數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)f(x),g(x),h(X)在點X0的附近滿足:(1)g(x)<f(x)<h(x);(2)limg(x)=a,limh(x)=a(常數(shù))，則limf（x）=a.xfx0本定理對于單側極限和xfs的情況仍然成立.183.幾個常用極限lim—=0,lima=0 (|a\<1)；TOC\o"1-5"\h\znf8n n78limx=x0,lim1=—.184.兩個重要的極限sinx(1)lim =1；x70 x(2)lim|1+1| =e(e=2.718281845…).x78I xJ185.函數(shù)極限的四則運算法則若limf(x)=a，limg(x)=b，貝Ux7x0 x7x0(1)Jim[f(x)±g(x)]=a±b；⑵lim[f(x),g(x)]=a-b;⑶limqx)=a(b豐0).TOC\o"1-5"\h\zx7x0g(x) b.數(shù)列極限的四則運算法則n78若liman=a,limbn=b，貝n78lim(an±bn)=a±b；n78' /lim(an?bn)=a-b；n78' /lima=a(bw0)n