專題5.1任意角與弧度制、三角函數的概念（十個重難點突破）-2023-2024學年高一數學重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019必修第一冊）（原卷版）

專題5.1任意角與弧度制、三角函數的概念知識點1任意角1.任意角（1）角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．（2）角的表示如圖，射線的端點是圓心，它從起始位置按逆時針方向旋轉到終止位置，形成一個角，射線分別是角的始邊和終邊．“角”或“”可以簡記成“”．（3）角的分類類型定義圖示正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角負角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角零角如果一條射線沒有作任何旋轉，就稱它形成了一個零角（4）相等角與相反角①設角由射線繞端點旋轉而成，角由射線繞端點旋轉而成．如果它們的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱.②我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角的相反角記為.③設是任意兩個角．我們規(guī)定，把角的終邊旋轉角，這時終邊所對應的角是.④角的減法可以轉化為角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．3．終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和．溫馨提示：（1）為任意角，“”這一條件不能漏；（2）與中間用“”連接，如可理解成．知識點二弧度制1．角的單位制（1）角度制：規(guī)定1度的角等于周角的，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制．（2）弧度制：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．2．角度與弧度的換算角度化弧度弧度化角度度數弧度數弧度數度數3．扇形的弧長公式及面積公式弧長公式面積公式角度制弧度制溫馨提示：（1）運用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡單得多，但要注意它的前提是為弧度制．（2）在運用公式時，還應熟練地掌握這兩個公式的變形運用：①重難點1任意角的概念1．（多選）下列命題錯誤的是（

）A．第二象限的角都是鈍角B．小于的角是銳角C．是第三象限的角D．角的終邊在第一象限，那么角的終邊在第二象限2．已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D3．射線繞端點逆時針旋轉到達位置，由位置繞端點旋轉到達位置，得，則射線旋轉的方向與角度分別為（）A．逆時針， B．順時針，C．逆時針， D．順時針，4．把分針撥快15分鐘，則分針轉過的角度為.5．如圖，射線繞頂點逆時針旋轉到位置，并在此基礎上順時針旋轉120到達位置，則．6．下列所示圖形中，的是；的是．

重難點2終邊相同的角7．與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．8．的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．將化為的形式是．10．若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是11．若，且β與α的終邊相同，求β．12．寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

重難點3根據圖形寫出角的范圍13．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

14．用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

15．集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

16．如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．

17．寫出終邊落在的圖象所夾區(qū)域內（不包括邊界）的角的集合.18．用弧度制表示終邊落在下列陰影部分的角.(1)(2)重難點4確定n倍角與n分角所在象限19．若是第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．20．（多選）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負半軸上21．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件22．（多選）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限23．若角的終邊與角的終邊相同，則在內與角的終邊相同的角是.24．若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．重難點5角度與弧度的互化25．下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（

）A． B．C． D．26．已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當大輪轉動一周時小輪轉動角度是（

）A． B． C． D．27．將化成弧度為．28．rad；°．29．將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-330．把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)．重難點6扇形弧長及面積的計算31．已知扇形的圓心角弧度為2，所對弦長為6，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．32．杭州第屆亞洲運動會，于年月日至月日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運會的會徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯網符號及象征亞奧理事會的太陽圖形六個元素組成（如圖），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊.已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內環(huán)和外環(huán)均為圓周的一部分，若內環(huán)弧長是所在圓周長的，內環(huán)所在圓的半徑為，徑長（內環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為，則該扇面的面積為.33．母線長為、底面半徑為的圓錐的側面展開圖的圓心角的弧度數為．34．已知某時鐘的分針長，時間經過5分鐘，則時針轉過的角為弧度，分針掃過的扇形的面積為35．某時鐘的分針長，時間從12：00到12：25，求：(1)分針轉過的角的弧度數；(2)分針掃過的扇形面積；(3)分針尖端所走過的弧長（取3.14，計算結果精確到0.01）．36．已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對的圓心角的大??；(2)求所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.重難點7扇形中的最值問題37．若有一扇形的周長為60cm，那么扇形的最大面積為.38．若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數是.39．已知某扇形材料的面積為，圓心角為，則用此材料切割出的面積最大的圓的周長為.40．已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．41．如圖，點A，B，C是圓上的點．(1)若，，求扇形AOB的面積和弧AB的長；(2)若扇形AOB的面積為，求扇形AOB周長的最小值，并求出此時的值．知識點三三角函數的概念1．任意角的三角函數的定義前提如圖，設是一個任意角，，它的終邊與單位圓交于點定義正弦點的縱坐標叫做的正弦，記作，即余弦點的橫坐標叫做的正弦，記作，即正切把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作，即三角函數正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，將正弦函數、余弦函數、正切函數統稱為三角函數，記為正弦函數；余弦函數正切函數溫馨提示：（1）在任意角的三角函數的定義中，應該明確是一個任意角．（2）三角函數值是比值，是一個實數，這個實數的大小和所在終邊上的位置無關，而由角的終邊位置決定．2．三角函數值的符號如圖所示：正弦：一二象限正，三四象限負；余弦：一四象限正，二三象限負；正切：一三象限正，二四象限負．簡記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦重難點8利用定義求三角函數值42．若角的終邊與單位圓交點，則=（

）A． B． C． D．不存在43．已知：角的終邊過點，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件44．在平面直角坐標系中，角以為始邊，則“角的終邊過點”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件45．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．46．設角α的終邊經過下列各點，求角α的正弦函數值、余弦函數值：(1)；(2)；(3)；(4)．47．已知角的終邊落在射線上，求的值．重難點9根據三角函數值求參數48．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點，且，則（

）A．1 B． C． D．249．已知角的終邊經過點，且，則實數的a值是（

）A． B． C．或 D．150．在直角坐標系中，以軸非負半軸為始邊，角的終邊與函數的圖象相交于，兩點，若，則（

）A． B． C．2 D．351．角的終邊上一點的坐標為，且，則（

）A． B． C． D．52．（多選）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，則（

）A． B．C． D．53．若角的終邊經過點，且，則．重難點10象限的符號問題54．已知角的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，且滿足，，則（