專題5.1任意角與弧度制、三角函數(shù)的概念（十個(gè)重難點(diǎn)突破）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題5.1任意角與弧度制、三角函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)1任意角1.任意角（1）角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．（2）角的表示如圖，射線的端點(diǎn)是圓心，它從起始位置按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置，形成一個(gè)角，射線分別是角的始邊和終邊．“角”或“”可以簡(jiǎn)記成“”．（3）角的分類類型定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角（4）相等角與相反角①設(shè)角由射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，角由射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱.②我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角的相反角記為.③設(shè)是任意兩個(gè)角．我們規(guī)定，把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是.④角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．3．終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和．溫馨提示：（1）為任意角，“”這一條件不能漏；（2）與中間用“”連接，如可理解成．知識(shí)點(diǎn)二弧度制1．角的單位制（1）角度制：規(guī)定1度的角等于周角的，這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制．（2）弧度制：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度(radian)的角，弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度．2．角度與弧度的換算角度化弧度弧度化角度度數(shù)弧度數(shù)弧度數(shù)度數(shù)3．扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式弧長(zhǎng)公式面積公式角度制弧度制溫馨提示：（1）運(yùn)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡(jiǎn)單得多，但要注意它的前提是為弧度制．（2）在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用：①重難點(diǎn)1任意角的概念1．（多選）下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．第二象限的角都是鈍角B．小于的角是銳角C．是第三象限的角D．角的終邊在第一象限，那么角的終邊在第二象限【答案】ABD【分析】對(duì)A，舉反例說(shuō)明；對(duì)B，舉反例說(shuō)明；對(duì)C，利用終邊相同的角判斷；對(duì)D，舉反例說(shuō)明.【詳解】對(duì)于A，是第二象限角，但不是鈍角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，銳角是之間的角，如，但不是銳角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以與角終邊相同，在第三象限，故C正確；對(duì)于D，若終邊在第一象限，而終邊在第一象限，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.2．已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【答案】D【分析】根據(jù)題意，將各個(gè)集合化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)锳={|為銳角}，D={|為小于的正角}，對(duì)于集合，小于的角包括零角與負(fù)角，對(duì)于集合，C={|為第一象限角}，所以A=D，故選：D3．射線繞端點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，由位置繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，得，則射線旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為（）A．逆時(shí)針， B．順時(shí)針，C．逆時(shí)針， D．順時(shí)針，【答案】B【分析】由題意可得，，從而可求出，進(jìn)而可得答案.【詳解】由題意可得，設(shè)，則，解得，所以射線繞端點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故選：B4．把分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.【答案】【分析】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，計(jì)算得到答案.【詳解】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.故答案為：.5．如圖，射線繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)位置，則．【答案】．【分析】由角的定義即可求解.【詳解】由角的定義可得．故答案為：6．下列所示圖形中，的是；的是．

【答案】①④②③【分析】根據(jù)角的終邊與始邊的位置依次去判斷即可.【詳解】在①中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；在②中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；在③中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；在④中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以.的是①④；的是②③.故答案為：①④；②③.重難點(diǎn)2終邊相同的角7．與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫(xiě)出與終邊相同的角的形式，檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)中的角是否滿足此條件．【詳解】與終邊相同的角一定可以寫(xiě)成的形式，其中，令可得，與終邊相同，其它選項(xiàng)均不合題意，故選：D．8．的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】應(yīng)用終邊相同的角即可求解.【詳解】的終邊與相同，則終邊在第一象限.故選：A．9．將化為的形式是．【答案】【分析】根據(jù)條件直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?故答案為：10．若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是【答案】【分析】根據(jù)斜率得出傾斜角，進(jìn)而由終邊相同角的性質(zhì)求解.【詳解】直線的傾斜角是，所以終邊落在直線上的角的取值集合為故答案為：11．若，且β與α的終邊相同，求β．【答案】或【分析】按任意角的定義計(jì)算即可.【詳解】∵β與α終邊相同，∴．又，∴．∴或．12．寫(xiě)出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先求得在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)，即和，從而即可得答案；（2）求出終邊在直線上的角的集合，然后和終邊在直線上的角的集合取并集即可得答案.【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)，即和，因此，終邊在直線上的角的集合為；（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為，終邊在直線上的角的集合為，所以終邊在直線上和在直線上的角的集合為.重難點(diǎn)3根據(jù)圖形寫(xiě)出角的范圍13．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】對(duì)分奇偶，結(jié)合終邊相同的角的定義討論判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．14．用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無(wú)特別說(shuō)明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【答案】圖1；圖2【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合寫(xiě)出角的范圍即可；（2）根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合寫(xiě)出角的范圍即可；【詳解】（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．（2）與（1）類似可寫(xiě)出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．15．集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分奇偶討論，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以選項(xiàng)C滿足題意.故選：C.16．如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．

【答案】．【分析】寫(xiě)出陰影部分邊界處終邊相同的角，再表示出陰影部分角的集合.【詳解】由圖，陰影部分下側(cè)終邊相同的角為，上側(cè)終邊相同的角為且，所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.故答案為：17．寫(xiě)出終邊落在的圖象所夾區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.【答案】【分析】根據(jù)角的終邊落在和圖象上的角的集合可確定結(jié)果.【詳解】角的終邊落在的圖象上時(shí)，角的集合為；角的終邊落在的圖象上時(shí)，角的集合為；終邊落在的圖象所夾區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為.18．用弧度制表示終邊落在下列陰影部分的角.(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圖象以及弧度制的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)圖象以及弧度制的知識(shí)求得正確答案.【詳解】（1）根據(jù)圖象可知，陰影部分表示的角為（2）根據(jù)圖象可知，陰影部分表示的角為.重難點(diǎn)4確定n倍角與n分角所在象限19．若是第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【答案】D【分析】根據(jù)是第三象限角的范圍，可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)闉榈谌笙藿?即,所以,,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),是第四象限的角;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是第二象限的角.故選:D.20．（多選）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負(fù)半軸上【答案】BD【分析】由已知可得，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿牵钥傻茫畬?duì)于A，，則是第三象限角，所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B，可得，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角．所以B正確;對(duì)于C，，即，所以是第一象限角，所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D，，所以的終邊位于第三象限或第四象限或y軸負(fù)半軸上，所以D正確．故選：BD．21．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由象限角的知識(shí)結(jié)合充分和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當(dāng)是第四象限角時(shí)，，則，即是第二或第四象限角.當(dāng)為第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要條件．故選：A22．（多選）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【分析】根據(jù)給定條件，由的范圍，求出的范圍作答.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿牵瑒t，于是，顯然終邊在x軸上方，所以不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.故選：CD23．若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是.【答案】/【分析】根據(jù)終邊相同角的表示，求得，令，求得，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)榻铅鹊慕K邊與角的終邊相同，可得，所以，令，解得，所以，所以在內(nèi)與角的終邊相同的角為.故答案為：.24．若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【分析】根據(jù)象限角的表示方法，得到和的表示，進(jìn)而判定其象限，得到答案.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．又由，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第一象限角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第二象限角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第四象限角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．重難點(diǎn)5角度與弧度的互化25．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】AC項(xiàng)角度與弧度混用，排除AC；D項(xiàng)終邊在第三象限，排除D.【詳解】因?yàn)椋K邊落在第四象限，且與角終邊相同，故與的終邊相同的角的集合即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)AC書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，選項(xiàng)D表示角終邊在第三象限.故選：B.26．已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)相互嚙合的兩個(gè)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的齒數(shù)相同，得到大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)，即可求小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度.【詳解】因?yàn)橄嗷Ш系膬蓚€(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，所以當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)時(shí)，大輪轉(zhuǎn)動(dòng)了50個(gè)齒，所以小輪此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)周，即小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為.故選：D27．將化成弧度為．【答案】【分析】根據(jù)角度制和弧度制的轉(zhuǎn)化公式求得正確答案.【詳解】.故答案為：28．rad；°．【答案】/【分析】根據(jù)角度制和弧度制互化公式進(jìn)行求解即可.【詳解】.故答案為：；29．將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-3【答案】(1)-15°(2)135°(3)210°(4)-171°54′【分析】根據(jù)弧度制的定義，可得答案.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.30．把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)角度制和弧度制之間的換算關(guān)系求解.【詳解】（1）；（2）．重難點(diǎn)6扇形弧長(zhǎng)及面積的計(jì)算31．已知扇形的圓心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為6，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形的弧長(zhǎng)和面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)樯刃蔚膱A心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為，為圓心，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，則，則，則扇形的半徑，所以扇形的弧長(zhǎng)，.

故選：D.32．杭州第屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于年月日至月日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素組成（如圖），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和外環(huán)均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為，徑長(zhǎng)（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為，則該扇面的面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意求出內(nèi)環(huán)圓弧所對(duì)的圓心角，并求出外環(huán)圓弧所在圓的半徑，利用扇形的面積公式可求得該扇面的面積.【詳解】設(shè)內(nèi)環(huán)圓弧所對(duì)的圓心角為，因?yàn)閮?nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，且內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為，所以，，可得，因?yàn)閺介L(zhǎng)（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為，所以，外環(huán)圓弧所在圓的半徑為，因此，該扇面的面積為.故答案為：.33．母線長(zhǎng)為、底面半徑為的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù)為．【答案】/【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù)為，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)計(jì)算可得.【詳解】設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù)為，又母線，底面半徑則，即，解得.故答案為：34．已知某時(shí)鐘的分針長(zhǎng)，時(shí)間經(jīng)過(guò)5分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角為弧度，分針掃過(guò)的扇形的面積為【答案】【分析】根據(jù)一周為12小時(shí)，圓周角為，進(jìn)而求得時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角，再由求扇形面積.【詳解】解；由題意得時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角為，分針轉(zhuǎn)過(guò)面積為．故答案為：；35．某時(shí)鐘的分針長(zhǎng)，時(shí)間從12：00到12：25，求：(1)分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過(guò)的扇形面積；(3)分針尖端所走過(guò)的弧長(zhǎng)（取3.14，計(jì)算結(jié)果精確到0.01）．【答案】(1)(2)(3)【分析】時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)一周是60分鐘，轉(zhuǎn)過(guò)的弧度是，從12：00到12：25，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度就求出來(lái)了，再利用扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】（1）時(shí)鐘的分針從12：00到12：25，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度是；（2）分針掃過(guò)的扇形面積；（3）分針尖端所走過(guò)的弧長(zhǎng)是.36．已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角的大小；(2)求所在的扇形的弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用是等邊三角形求解即可；（2）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式求解即可.【詳解】（1）由圓O的半徑知是等邊三角形，（2）由(1)可知?jiǎng)t弧長(zhǎng)扇形的面積：而是等邊三角形，所以三角形的高：弓形的面積重難點(diǎn)7扇形中的最值問(wèn)題37．若有一扇形的周長(zhǎng)為60cm，那么扇形的最大面積為.【答案】225【分析】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，根據(jù)扇形的周長(zhǎng)、面積和半徑、弧長(zhǎng)的關(guān)系建立二次函數(shù)關(guān)系，從而求出最大值即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，扇形的面積為：，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以扇形面積的最大值為.故答案為：225.38．若扇形的周長(zhǎng)為18，則扇形面積取得最大值時(shí)，扇形圓心角的弧度數(shù)是.【答案】2【分析】設(shè)扇形的半徑為，則弧長(zhǎng)為，結(jié)合面積公式計(jì)算面積取得最大值時(shí)的取值，再用圓心角公式即可得弧度數(shù).【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，即，所以扇形面積，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí)，所以圓心角為（弧度）.故答案為：239．已知某扇形材料的面積為，圓心角為，則用此材料切割出的面積最大的圓的周長(zhǎng)為.【答案】【分析】根據(jù)條件求出扇形半徑，設(shè)割出的圓半徑為，圓心為，由求得，從而求得的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)扇形所在圓半徑為，∴如圖：設(shè)割出的圓半徑為，圓心為，∴,，故，所以最大的圓周長(zhǎng)為.故答案為：40．已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長(zhǎng)．(2)若扇形的周長(zhǎng)為24，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？求出最大面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由扇形弧長(zhǎng)公式計(jì)算；（2）由扇形面積公式及二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l．因?yàn)?，即，所以．?）由題設(shè)條件，知，則，所以扇形的面積．當(dāng)時(shí)，S有最大值36，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是36．41．如圖，點(diǎn)A，B，C是圓上的點(diǎn)．(1)若，，求扇形AOB的面積和弧AB的長(zhǎng)；(2)若扇形AOB的面積為，求扇形AOB周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)的值．【答案】(1)面積為，弧AB的長(zhǎng)為(2)，【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.（2）根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題意知，設(shè)，所以根據(jù)扇形弧長(zhǎng)；扇形面積；（2）由，即，扇形的周長(zhǎng)為當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以由知：．知識(shí)點(diǎn)三三角函數(shù)的概念1．任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)定義正弦點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦，記作，即余弦點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的正弦，記作，即正切把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切，記作，即三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，記為正弦函數(shù)；余弦函數(shù)正切函數(shù)溫馨提示：（1）在任意角的三角函數(shù)的定義中，應(yīng)該明確是一個(gè)任意角．（2）三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和所在終邊上的位置無(wú)關(guān)，而由角的終邊位置決定．2．三角函數(shù)值的符號(hào)如圖所示：正弦：一二象限正，三四象限負(fù)；余弦：一四象限正，二三象限負(fù)；正切：一三象限正，二四象限負(fù)．簡(jiǎn)記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦重難點(diǎn)8利用定義求三角函數(shù)值42．若角的終邊與單位圓交點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【分析】利用三角函數(shù)定義直接計(jì)算即得.【詳解】由三角函數(shù)定義得，.故選：B43．已知：角的終邊過(guò)點(diǎn)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由，則終邊可能落在第一或三象限，則由兩個(gè)方向的是否推出關(guān)系可得.【詳解】若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，故充分性成立，若，設(shè)的終邊上一點(diǎn)為，則，不妨設(shè)，則,，解得，或，顯然當(dāng)時(shí)，的終邊不過(guò)點(diǎn)，故必要性不成立.綜上，是的充分不必要條件.故選：A.44．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，則“角的終邊過(guò)點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】當(dāng)角的終邊過(guò)點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，為第二象限角或第四象限角，若為第四象限角，則角的終邊不過(guò)點(diǎn)，必要性不成立.所以“角的終邊過(guò)點(diǎn)”是“”的充分不必要條件.故選：A.45．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)得定義求解即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），根據(jù)正弦函數(shù)的定義得：，時(shí)，；時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)誤，故選：D.46．設(shè)角α的終邊經(jīng)過(guò)下列各點(diǎn)，求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(2)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(3)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(4)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為【分析】利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】（1）由三角函數(shù)定義可知，；（2）由三角函數(shù)定義可知，；（3）由三角函數(shù)定義可知，；（4）由三角函數(shù)定義可知，47．已知角的終邊落在射線上，求的值．【答案】【分析】根據(jù)角的終邊所在位置，在終邊上取一點(diǎn)利用三角函數(shù)定義即可求得角的三角函數(shù)值.【詳解】射線經(jīng)過(guò)第二象限，在射線上的取點(diǎn)，即角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，利用三角函數(shù)定義可得，，；所以.重難點(diǎn)9根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)48．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點(diǎn)，且，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)正弦定義即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得，故選：B.49．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的a值是（

）A． B． C．或 D．1【答案】B【分析】由題設(shè)可得且，求解即可.【詳解】由題設(shè)，且，即，∴，則，解得或，綜上，.故選：B.50．在直角坐標(biāo)系中，以軸非負(fù)半軸為始邊，角的終邊與函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】設(shè)，則，代入計(jì)算得到，解得答案.【詳解】設(shè)，則，，在上，故，，故，.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.51．角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助三角函數(shù)定義求出，然后利用定義可求答案.【詳解】，解得：，所以.故選：A.52．（多選）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義列方程可求出的值，從而可求出角的其它三角函數(shù)值.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，且，所以，所以，由，可知，所以角為第二象限的角，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，B正確，所以，，所以CD正確，故選：BCD53．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得（舍去），所