黃金卷01-【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（廣東專用）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（廣東專用）黃金卷01（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】因?yàn)?，，的周期?，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別是，則，因此,所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，于是，所以.故選：D3．設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，則，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.4．已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B5．二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國(guó)古時(shí)立法中的二十四個(gè)節(jié)氣而編成的小詩(shī)歌，體現(xiàn)著我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧.四句詩(shī)歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩(shī)歌的開(kāi)頭一字代表著季節(jié)，每一句詩(shī)歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為.故選：C.6．牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，其中為時(shí)間（單位：為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度.假設(shè)在室內(nèi)溫度為的情況下，一杯飲料由降低到需要，則此飲料從降低到需要（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，，，代入，，解得，故，解得．故當(dāng)，，，時(shí)，將其代入得，解得，故選：B7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得：，，，又由，所以，故．又，所以，所以．故選：A．8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)D.若，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則可得，則，設(shè)線段的中點(diǎn)，則，即，且，線段的中垂線的斜率為，則線段的中垂線所在直線方程為，令，則，解得，即，則，由題意可得：，即，整理得，則，注意到雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．每年4月23日為“世界讀書(shū)日”，樹(shù)人學(xué)校于四月份開(kāi)展“書(shū)香潤(rùn)澤校園，閱讀提升思想”主題活動(dòng)，為檢驗(yàn)活動(dòng)效果，學(xué)校收集當(dāng)年二至六月的借閱數(shù)據(jù)如下表：月份二月三月四月五月六月月份代碼xl2345月借閱量y（百冊(cè)）4.95.15.55.75.8根據(jù)上表，可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．B．借閱量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位數(shù)為5.7C．y與x的線性相關(guān)系數(shù)D．七月的借閱量一定不少于6.12萬(wàn)冊(cè)【答案】ABC【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，得，所以A正確；對(duì)于B：因?yàn)?×75%=3.75，所以借閱量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位數(shù)為5.7，所以B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以y與x的線性相關(guān)系數(shù)，所以C正確；對(duì)于D：由選項(xiàng)A可知線性回歸方程為，當(dāng)，則，所以七月的借閱量約為6.12百冊(cè)，所以D錯(cuò)誤；故選：ABC.10．已知，函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的有（

）A．若的最小正周期，則B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象C．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D．若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】解：由余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，可得，得，所以A正確；當(dāng)時(shí)，可得，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，所以B錯(cuò)誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，又因?yàn)?，所以只有?dāng)時(shí)，此不等式有解，即，所以C正確；若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得，所以D正確．故選：ACD．11．已知同底面的兩個(gè)正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說(shuō)法正確的是（

）.A．平面QBCB．設(shè)三棱錐和的體積分別為和，則C．平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍D．二面角的正切值為【答案】BCD【解析】∵同底面的兩個(gè)正三棱錐和均內(nèi)接于球O，∴PQ為球O的直徑，取AB的中點(diǎn)M，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，設(shè)底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=R－h(huán)，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四點(diǎn)共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯(cuò)誤；由QN=4PN，可得，故B正確；∵平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，∴平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；∵，∴，，∴，即二面角的正切值為，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)的定義域均為，為偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．C．D．方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為144【答案】AC【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，又，可得，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；，故是以4為周期的周期函數(shù)，根據(jù)題意，，故，故B錯(cuò)誤；，其中，故，故C正確；是周期函數(shù)，最小正周期是8，由得其對(duì)稱軸為，顯然與的圖象有公共的對(duì)稱軸，方程的實(shí)根是與的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與在上的大致圖象，如圖，可知，所以，由圖易知在上的三個(gè)零點(diǎn)之和構(gòu)成首項(xiàng)為4，公差為24的等差數(shù)列，故在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為，故D錯(cuò)誤．故選：AC第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為12，則．【答案】【解析】由的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以，含項(xiàng)為，故，可得.故答案為：14．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】∵正實(shí)數(shù)x，y滿足，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由恒成立，可得，解得故答案為：15．已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，若在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則.【答案】24【解析】由為偶函數(shù)，則，故，又是定義在上的奇函數(shù)，則，所以，故，即有，綜上，的周期為8，且關(guān)于對(duì)稱的奇函數(shù)，由在上單調(diào)遞減，結(jié)合上述分析知：在上遞增，上遞減，上遞增，所以在的大致草圖如下：要使在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即與有4個(gè)交點(diǎn)，所以，必有兩對(duì)交點(diǎn)分別關(guān)于對(duì)稱，則.故答案為：2416．已知四邊形ABCD為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線BD翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為.【答案】【解析】在中，，故，即，則折成的三棱錐中，，，，即此三棱錐的對(duì)棱相等，故此三棱錐的三組對(duì)棱是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c則，解得，此長(zhǎng)方體的外接球是三棱錐的外接球，設(shè)外接球的直徑，即，又因?yàn)槿忮F是長(zhǎng)方體切掉四個(gè)角，故三棱錐，三棱錐四個(gè)側(cè)面是全等的，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，把三棱錐分割為以球心為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的的四個(gè)小三棱錐，四個(gè)小三棱錐體積等于大三棱錐的體積，故，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。17．（10分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋?，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）在中，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍?18．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，設(shè).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)140【解析】（1），，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列.（2）由（1）可得，即∴而隨著的增大而增大要使，即，則，∴的最小值為140.19．（12分）某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值s作為估計(jì)值．（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過(guò)程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測(cè)10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測(cè)的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）若設(shè)備狀態(tài)正常，記X表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望．參考公式：直方圖的方差，其中為各區(qū)間的中點(diǎn)，為各組的頻率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，．【答案】(1)(2)（i）需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備；（ii），【解析】（1）由頻率分布直方圖，得．．（2）（i）由（1）可知，，所以，，顯然抽查中的零件指標(biāo)，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之內(nèi)的概率為，所以抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率為，故，所以，X的數(shù)學(xué)期望．20．（12分）如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）連接，∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，又面，面，∴面，在中，，，，∴，即，在中，，，∴，，在中，，，，，∴，，∴，∵F為AB中點(diǎn)，∴，，∴，又∵面，面，∴面，又∵，CF，面，∴平面平面；（2）解法一：延長(zhǎng)與交于，連，則面面，在中，，，，所以，又，，，面，∴面，面，∴面面，在面內(nèi)過(guò)作，則面，∵面，∴，過(guò)作，連，∵，面，面，∴面，面，∴，∴即為面與面所成二面角的平面角，∵，，∴，，∵，，∴，，，又，∴，，，∴.解法二：在中，，，，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又∵，，∴，以為軸，為軸，過(guò)且垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，，，，令，則，∴，設(shè)平面的法向量，，

令，則，，∴，所以，∴平面與平面所成角的余弦值為.21．（12分）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓E的離心率為，過(guò)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)且與垂直的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．【答案】(1)(2)．【解析】（1）解：由題意，橢圓的離心率為，可得，又由橢圓的定義，可知，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：設(shè)，直線的方程為，由，整理得，則有，，故，又由直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，則有，，則，所以四邊形的面積：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，綜上，四邊形ACBD面積的最小值為．22．（12分）已知函數(shù).(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知.（i）證明：；（ii）若，證明：.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【解析