高三年級(jí)數(shù)學(xué)平面向量一輪復(fù)習(xí)

./考綱導(dǎo)讀第七章平面向量考綱導(dǎo)讀1．理解向量的概念,掌握向量的幾何表示,了解共線向量的概念．2．掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律．3．掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律,理解兩個(gè)向量共線的充要條件．4．了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐標(biāo)的概念,掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件．6．掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式．7．掌握正、余弦定理,并能初步運(yùn)用它們解斜三角形．高考導(dǎo)航知識(shí)網(wǎng)絡(luò)高考導(dǎo)航知識(shí)網(wǎng)絡(luò)向量由于具有幾何形式與代數(shù)形式的"雙重身份",使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn),成為多項(xiàng)內(nèi)容的媒介．主要考查：1．平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則,共線定理、基本定理、平行四邊形法則及三角形法則．2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用．3．向量和其它數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合．如和三角函數(shù)、數(shù)列、曲線方程等及向量在物理中的應(yīng)用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式進(jìn)行恒等變形的能力．以化簡(jiǎn)、求值或判斷三角形的形狀為主．解三角形常常作為解題工具用于立體幾何中的計(jì)算或證明．第1課時(shí)向量的概念與幾何運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．向量的有關(guān)概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量,叫單位向量．⑵叫平行向量,也叫共線向量．規(guī)定零向量與任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法與減法⑴求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算,叫向量的加法．向量加法按法則或法則進(jìn)行．加法滿足律和律．⑵求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫向量的減法．作法是將兩向量的重合,連結(jié)兩向量的,方向指向．3．實(shí)數(shù)與向量的積⑴實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,記作．它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)|＝．②當(dāng)＞0時(shí),的方向與的方向；當(dāng)＜0時(shí),的方向與的方向；當(dāng)＝0時(shí),．⑵<μ>＝．<＋μ>＝．<＋>＝．⑶共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得．⑵設(shè)、是一組基底,＝,＝,則與共線的充要條件是．典型例題典型例題例1．已知△ABC中,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn)．設(shè),,求．解：＝－＝<＋>－＝－＋變式訓(xùn)練1.如圖所示,D是△ABC邊AB上的中點(diǎn),則向量等于〔ADBCA．－ADBCB．－－C．－D．＋解:A例2.已知向量,,,其中、不共線,求實(shí)數(shù)、,使．解:＝λ＋μ2－9＝<2λ＋2μ>＋<－3λ＋3μ>2λ＋2μ＝2,且－3λ＋3μ＝－9λ＝2,且μ＝－1變式訓(xùn)練2：已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O點(diǎn),點(diǎn)P為平面上任意一點(diǎn),求證：證明＋＝2,＋＝2＋＋＋＝4例3.已知ABCD是一個(gè)梯形,AB、CD是梯形的兩底邊,且AB＝2CD,M、N分別是DC和AB的中點(diǎn),若,,試用、表示和．解：連NC,則；BOADCNM變式訓(xùn)練3：如圖所示,OADB是以向量＝,＝為鄰邊的平行四邊形,又＝,＝,試用、表示,,．BOADCNM解:＝＋,＝＋,＝－例4.設(shè),是兩個(gè)不共線向量,若與起點(diǎn)相同,t∈R,t為何值時(shí),,t,<＋>三向量的終點(diǎn)在一條直線上？解：設(shè)<∈R>化簡(jiǎn)整理得：∵,∴故時(shí),三向量的向量的終點(diǎn)在一直線上．變式訓(xùn)練4：已知,設(shè),如果,那么為何值時(shí),三點(diǎn)在一條直線上？解：由題設(shè)知,,三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使得,即,整理得.=1\*GB3①若共線,則可為任意實(shí)數(shù)；=2\*GB3②若不共線,則有,解之得,.小結(jié)歸納綜上,共線時(shí),則可為任意實(shí)數(shù)；不共線時(shí),.小結(jié)歸納1．認(rèn)識(shí)向量的幾何特性．對(duì)于向量問題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究．向量方法可以解決幾何中的證明．2．注意與O的區(qū)別．零向量與任一向量平行．3．注意平行向量與平行線段的區(qū)別．用向量方法證明AB∥CD,需證∥,且AB與CD不共線．要證A、B、C三點(diǎn)共線,則證∥即可．4．向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則,特點(diǎn)：首尾相接首尾連；向量減法的三角形法則特點(diǎn)：首首相接連終點(diǎn)．第2課時(shí)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．平面向量的坐標(biāo)表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底,對(duì)于一個(gè)向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得＝x＋y．我們把<x、y>叫做向量的直角坐標(biāo),記作．并且||＝．2．向量的坐標(biāo)表示與起點(diǎn)為的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若＝<x1、y1>,＝<x2、y2>,λ∈R,則：＋＝－＝λ＝已知A<x1、y1>,B<x2、y2>,則＝．4．兩個(gè)向量＝<x1、y1>和＝<x2、y2>共線的充要條件是．典型例題典型例題例1.已知點(diǎn)A〔2,3,B〔－1,5,且＝,求點(diǎn)C的坐標(biāo)．解＝＝<－1,>,＝＝<1,>,即C<1,>變式訓(xùn)練1.若,,則=.解:提示：例2.已知向量＝<cos,sin>,＝<cos,sin>,|－|＝,求cos<α－β>的值．解:|－|＝＝cos＝cos<α－β>＝變式訓(xùn)練2.已知－2＝<－3,1>,2＋＝<－1,2>,求＋．解＝<－1,1>,＝<1,0>,∴＋＝<0,1>例3.已知向量＝<1,2>,＝<x,1>,＝＋2,＝2－,且∥,求x．解:＝<1＋2x,4>,＝<2－x,3>,∥3<1＋2x>＝4<2－x>x＝變式訓(xùn)練3.設(shè)＝<ksinθ,1>,＝<2－cosθ,1><0<θ<π>,∥,求證：k≥．證明:k＝∴k－＝≥0∴k≥AMBCDP例4.在平行四邊形ABCD中,A<1,1>,＝<6,0>,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),線段CM與AMBCDP<1>若＝<3,5>,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；<2>當(dāng)||＝||時(shí),求點(diǎn)P的軌跡．解：<1>設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為<x0,y0>,得x0＝10y0＝6即點(diǎn)C<10,6><2>∵∴點(diǎn)D的軌跡為<x－1>2＋<y－1>2＝36<y≠1>∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)∴P分的比為設(shè)P<x,y>,由B<7,1>則D<3x－14,3y－2>∴點(diǎn)P的軌跡方程為變式訓(xùn)練4.在直角坐標(biāo)系x、y中,已知點(diǎn)A<0,1>和點(diǎn)B<－3,4>,若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上,且||＝2,求的坐標(biāo)．解已知A<0,1>,B<－3,4>設(shè)C<0,5>,D<－3,9>則四邊形OBDC為菱形∴∠AOB的角平分線是菱形OBDC的對(duì)角線OD∵∴小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．認(rèn)識(shí)向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示,實(shí)現(xiàn)了"形"與"數(shù)"的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具,幾何問題可以代數(shù)化,代數(shù)問題可以幾何化．2．由于向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示方法,所以我們應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)去選擇向量的表示方法,由于坐標(biāo)運(yùn)算方便,可操作性強(qiáng),因此應(yīng)優(yōu)先選用向量的坐標(biāo)運(yùn)算．第3課時(shí)平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量和,過O點(diǎn)作＝,＝,則∠AOB＝θ<0°≤θ≤180°>叫做向量與的．當(dāng)θ＝0°時(shí),與；當(dāng)θ＝180°時(shí),與；如果與的夾角是90°,我們說與垂直,記作．2．兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為θ,則數(shù)量叫做與的數(shù)量積〔或內(nèi)積,記作·,即·＝．規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．若＝<x1,y1>,＝<x2,y2>,則·＝．3．向量的數(shù)量積的幾何意義：||cosθ叫做向量在方向上的投影<θ是向量與的夾角>．·的幾何意義是,數(shù)量·等于．4．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、都是非零向量,是單位向量,θ是與的夾角．⑴·＝·＝⑵⊥⑶當(dāng)與同向時(shí),·＝；當(dāng)與反向時(shí),·＝．⑷cosθ＝．⑸|·|≤5．向量數(shù)量積的運(yùn)算律：⑴·＝；⑵<λ>·＝＝·<λ>⑶<＋>·＝典型例題典型例題例1.已知||＝4,||＝5,且與的夾角為60°,求：<2＋3>·<3－2>．解:<2＋3><3－2>＝－4變式訓(xùn)練1.已知||＝3,||＝4,|＋|＝5,求|2－3|的值．解:例2.已知向量＝<sin,1>,＝<1,cos>,－．<1>若a⊥b,求；<2>求|＋|的最大值．解：<1>若,則即而,所以<2>當(dāng)時(shí),的最大值為變式訓(xùn)練2：已知,,其中．

<1>求證：與互相垂直；

<2>若與的長(zhǎng)度相等,求的值<為非零的常數(shù)>．證明：與互相垂直〔2,,,,而,例3.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足<－>·<＋－2>＝0,判斷△ABC是哪類三角形．解:設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則<><>＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形變式訓(xùn)練3：若,則△ABC的形狀是.解:直角三角形.提示：例4.已知向量＝<cosθ,sinθ>和＝<－sinθ,cosθ>θ∈<π,2π>且||＝,求cos<>的值.解:＝<cosθ－sinθ＋,cosθ＋sinθ>由已知<cosθ－sinθ＋>2＋<cosθ＋sinθ>2＝化簡(jiǎn)：cos又cos2∵θ∈<π,2π>∴cos<0∴cos＝－變式訓(xùn)練4.平面向量,若存在不同時(shí)為的實(shí)數(shù)和,使,且,試求函數(shù)關(guān)系式.解：由得小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．運(yùn)用向量的數(shù)量積可以解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度等問題．因此充分挖掘題目所包含的幾何意義,往往能得出巧妙的解法．2．注意·與ab的區(qū)別．·＝0＞＝,或＝．3．應(yīng)根據(jù)定義找兩個(gè)向量的夾角。對(duì)于不共起點(diǎn)的兩個(gè)向量,通過平移,使起點(diǎn)重合．第4課時(shí)線段的定比分點(diǎn)和平移基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．設(shè)P1P2是直線L上的兩點(diǎn),點(diǎn)P是L上不同于P1、P2的任意一點(diǎn),則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使＝λ,λ叫做．2．設(shè)P1〔x1、y1,P2〔x2、y2,點(diǎn)P〔x、y分的比是λ時(shí),定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為：,中點(diǎn)坐標(biāo)公式：。3．平移公式：將點(diǎn)P〔x、y按向量＝〔h、k平移得到點(diǎn)P'〔x',y',則．典型例題典型例題例1.已知點(diǎn)A<－1,－4>,B<5,2>,線段AB上的三等分點(diǎn)依次為P1、P2,求P1、P2的坐標(biāo)及A、B分所成的比.解⑴P1<x－2>P2<3,0><2>－,－2變式訓(xùn)練1.設(shè)|AB|＝5,點(diǎn)p在直線AB上,且|PA|＝1,則p分所成的比為．解:例2.將函數(shù)y＝2sin〔2x＋＋3的圖象C進(jìn)行平移后得到圖象C',使C上面的一點(diǎn)P〔、2移至點(diǎn)P'〔、1,求圖像C'對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．解:C'：y＝2sin<2x＋>＋2變式訓(xùn)練2：若直線2x－y＋c＝0按向量＝<1,－1>平移后與圓x2＋y2＝5相切,則c的值為〔A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－8解:A例3.設(shè)＝<sinx－1,cosx－1>,,f<x>＝,且函數(shù)y＝f<x>的圖象是由y＝sinx的圖象按向量平移而得,求.解:＝<－><k∈z>變式訓(xùn)練3：將y＝sin2x的圖象向右按作最小的平移,使得平移后的圖象在[kπ＋,kπ＋π]<k∈Z>上遞減,則＝．解:<,0>例4.已知△ABC的頂點(diǎn)A<0、0>,B<4、8>,C<6、－4>,點(diǎn)M內(nèi)分所成的比為3,N是AC邊上的一點(diǎn),且△AMN的面積等于△ABC的面積的一半,求N點(diǎn)的坐標(biāo)．解:由＝得∴N<4,－>變式訓(xùn)練4.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A〔1,2,B〔4,1,C〔3,4．<1>求AB邊上的中線CM的長(zhǎng)及重心G的坐標(biāo)；<2>在AB上取一點(diǎn)P,使過P且平行于BC的直線PQ把△ABC的面積分成4︰5兩部分〔三角形面積：四邊形面積,求點(diǎn)P的坐標(biāo)解:小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．在運(yùn)用線段定比分點(diǎn)公式時(shí),首先要確定有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)和分點(diǎn),再結(jié)合圖形確定分比．2．平移公式反映了平移前的點(diǎn)P<x、y>和平移后的點(diǎn)P'<x'、y'>,及向量＝<h,k>三者之間的關(guān)系．它的本質(zhì)是＝．平移公式與圖象變換法則,既有區(qū)別又有聯(lián)系,應(yīng)防止混淆．平面向量章節(jié)測(cè)試題一、選擇題1.若A〔2,-1,B〔-1,3,則的坐標(biāo)是<>A.〔1,2B.〔-3,4C.〔3,-4D.以上都不對(duì)2.與a=〔4,5垂直的向量是<>A.〔-5k,4kB.<-10,2C.<>D.〔5k,-4k3.△ABC中,=a,=b,則等于<>A.a+bB.-<a+b>C.a-bD.b-a4.化簡(jiǎn)<a－b>－<2a+4b>+<2a+13b>的結(jié)果是<>A.abB.0C.a+bD.a－b5.已知|p|=,|q|=3,p與q的夾角為,則以a=5p+2q,b=p－3q為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為<>A.15B.C.16D.146.已知A<2,-2>,B<4,3>,向量p的坐標(biāo)為<2k-1,7>且p∥,則k的值為<>A.B.C.D.7.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足,則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系是<>A.P在△ABC的內(nèi)部B.P在△ABC的外部C.P是AB邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)D.P是AC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)8.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),A<1,5>,B<-2,4>,C<-6,-4>,M是BC邊上一點(diǎn),且△ABM的面積是△ABC面積的,則線段AM的長(zhǎng)度是<>A.5B.C.D.9.設(shè)e1,e2是夾角為450的兩個(gè)單位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,則|a+b|的值<>A.B.9C.D.10.若|a|=1,|b|=,<a-b>⊥a,則a與b的夾角為<>A.300B.450C.60011.把一個(gè)函數(shù)的圖象按向量a=<,-2>平移后,得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin<x+>-2,則原函數(shù)的解析式為<>A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y=-cosx12.在△ABC中,=c,= a,=b,則下列推導(dǎo)中錯(cuò)誤的是<>A.若a·b<0,則△ABC為鈍角三角形B.若a·b=0,則△ABC為直角三角形C.若a·b=b·c,則△ABC為等腰三角形D.若c·<a+b+c>=0,則△ABC為等腰三角形二、填空題13.在△ABC中,已知且則這個(gè)三角形的形狀是.14.一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,同時(shí)河水的流速為,則船實(shí)際航行的速度的大小和方向是.15.若向量,現(xiàn)用a、b表示c,則c=.16.給出下列命題:①若a2+b2=0,則a=b=0;②已知AB,則③已知a,b,c是三個(gè)非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c|④已知,e1,e2是一組基底,a=λ1e1+λ2e2則a與e1不共線,a與e2也不共線;⑤若a與b共線,則a·b=|a|·|b|.其中正確命題的序號(hào)是.三、解答題ABNMDC17.如圖,ABCD是一個(gè)梯形,,M、N分別是的中點(diǎn),已知a,b,試用a、b表示和ABNMDC18.設(shè)兩個(gè)非零向量e1、e2不共線.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3<e1-e2>⑴求證:A、B、D共線;⑵試確定實(shí)數(shù)k,使ke1+e2和e1+ke2共線.19.已知△ABC中,A<2,4>,B<-1,-2>,C<4,3>,BC邊上的高為AD.⑴求證:AB⊥AC;⑵求點(diǎn)D與向量的坐標(biāo).20.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A<1,2>,B<4,1>,C<3,4>.⑴求AB邊上的中線CM的長(zhǎng);⑵在AB上取一點(diǎn)P,使過P且平行與BC的直線PQ把的面積分成4:5兩部分,求P點(diǎn)的坐標(biāo).21.已知a、b是兩個(gè)非零向量,證明：當(dāng)b與a+λb<λ∈R>垂直時(shí),a+λb的模取得最小值.22.已知二次函數(shù)f<x>對(duì)任意x∈R,都有f<1-x>=f<1+x>成立,設(shè)向量a=<sinx,2>,b=<2sinx,>,c=<cos2x,1>,d=<1,2>?！?分別求a·b和c·d的取值范圍；〔2當(dāng)x∈[0,π]時(shí),求不等式f<a·b>>f<c·d>的解集平面向量章節(jié)測(cè)試題參考答案一、BCDBA；DDADB；BD二、13.等邊三角形；14.大小是4km/h,方向與水流方向的夾角為600;15.a－2b;16.①③④三、17.∵||=2||∴∴a,b－a,=a－b18.⑴∵5e1+5e2=,∴又有公共點(diǎn)B,∴A、B、D共線⑵設(shè)存在實(shí)數(shù)λ使ke1+e2=λ<e1+ke2>∴k=λ且kλ=1∴k=19.⑴由可知即AB⊥AC⑵設(shè)D〔x,y,∴∵∴5<x-2>+5<y-4>=0∵∴5<x+1>－5<y+2>=0∴∴D<>20.⑴⑵設(shè)P〔x,y21.當(dāng)b與a+λb<λ∈R>垂直時(shí),b·<a+λb>=0,∴λ=-|a+λb|==當(dāng)λ=-時(shí),|a+λb|取得最小值.∴當(dāng)b與a+λb<λ∈R>垂直時(shí),a+λb的模取得最小值.22.<1a·b=2sin2x+11c·d=2cos2x+11〔2∵f<1-x>=f<1+x>∴f<x>圖象關(guān)于x=1對(duì)稱當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m>0時(shí),f<x>在〔1,內(nèi)單調(diào)遞增,由f<a·b>>f<c·d>a·b>c·d,即2sin2x+1>2cos2x+1又∵x∈[0,π]∴x∈當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m<0時(shí),f<x>在〔1,內(nèi)單調(diào)遞減,由f<a·b>>f<c·d>a·b>c·d,即2sin2x+1<2cos2x+1又∵x∈[0,π]∴x∈、故當(dāng)m>0時(shí)不等式的解集為;當(dāng)m<0時(shí)不等式的解集為、五年高考薈萃20XX高考題一、選擇題1.<20XXXX卷文>已知平面向量a=,b=,則向量<>A平行于軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于軸D.平行于第二、四象限的角平分線答案C解析,由及向量的性質(zhì)可知,C正確.2.〔2009XX卷理一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力〔單位：牛頓的作用而處于平衡狀態(tài)．已知,成角,且,的大小分別為2和4,則的大小為<>A.6B.2C.D.答案 D解析,所以,選D.3.〔2009XX卷理設(shè)向量,滿足：,,．以,,的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形,則它的邊與半徑為的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為<>A．B.4C．D．答案C解析對(duì)于半徑為1的圓有一個(gè)位置是正好是三角形的內(nèi)切圓,此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn),對(duì)于圓的位置稍一右移或其他的變化,能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況,但5個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)．4.〔2009XX卷文已知向量,．若向量滿足,,則〔A．B．C．D．答案D解析不妨設(shè),則,對(duì)于,則有；又,則有,則有[命題意圖]此題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,通過平面向量的平行和垂直關(guān)系的考查,很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問題中的應(yīng)用．5.〔2009北京卷文已知向量,如果那么 < >A．且與同向B．且與反向C．且與同向D．且與反向答案D解析本題主要考查向量的共線〔平行、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算考查.∵a,b,若,則cab,dab,顯然,a與b不平行,排除A、B.若,則cab,dab,即cd且c與d反向,排除C,故選D.6.〔2009北京卷文設(shè)D是正及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合,點(diǎn)是的中心,若集合,則集合S表示的平面區(qū)域是<>A． 三角形區(qū)域 B．四邊形區(qū)域 C． 五邊形區(qū)域 D．六邊形區(qū)域答案D解析本題主要考查集合與平面幾何基礎(chǔ)知識(shí).本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.如圖,A、B、C、D、E、F為各邊三等分點(diǎn),答案是集合S為六邊形ABCDEF,其中,即點(diǎn)P可以是點(diǎn)A.7.〔2009北京卷理已知向量a、b不共線,cabR>,dab,如果cd,那么<>A．且c與d同向B．且c與d反向C．且c與d同向D．且c與d反向答案D解析本題主要考查向量的共線〔平行、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.取a,b,若,則cab,dab,顯然,a與b不平行,排除A、B.若,則cab,dab,即cd且c與d反向,排除C,故選D.8.<2009XX卷理>設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),,則〔A.B.C.D.答案B解析:因?yàn)?所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn),所以應(yīng)該選B。[命題立意]:本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則,可以借助圖形解答.9.〔2009全國(guó)卷Ⅱ文已知向量a=<2,1>,a·b=10,︱a+b︱=,則︱b︱=A.B.C.5D.25答案C解析本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算和性質(zhì),由知〔a+b2=a2+b2+2ab=50,得|b|=5選C.10.〔2009全國(guó)卷Ⅰ理設(shè)、、是單位向量,且·＝0,則的最小值為<>A.B.C.D.答案D解析是單位向量.11.<2009XX卷理>已知是兩個(gè)向量集合,則 <>A．｛〔1,1〕｝B.｛〔-1,1〕｝C.｛〔1,0〕｝D.｛〔0,1〕｝答案A解析因?yàn)榇脒x項(xiàng)可得故選A.12.〔2009全國(guó)卷Ⅱ理已知向量,則<>A.B.C.D.答案C解析,故選C.13.〔2009XX卷理平面向量a與b的夾角為,,則<>A.B.C.4D.2答案B解析由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12∴14.〔2009XXXX卷理已知O,N,P在所在平面內(nèi),且,且,則點(diǎn)O,N,P依次是的 <>A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心答案C〔注：三角形的三條高線交于一點(diǎn),此點(diǎn)為三角型的垂心解析15.〔2009XX卷文若向量a=〔1,1,b=〔-1,1,c=〔4,2,則c= <>A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b答案B解析由計(jì)算可得故選B16.〔2009XX卷文如圖1,D,E,F分別是ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),則<>A．B．C．D．答案A解析得.或.17.〔2009XX卷文平面向量a與b的夾角為,a＝<2,0>,|b|＝1,則|a＋2b|等于 〔A.B.2C.4D.12答案B解析由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12∴18.〔2009全國(guó)卷Ⅰ文設(shè)非零向量、、滿足,則<>A．150°B.120°C.60°D.30°答案B解析本小題考查向量的幾何運(yùn)算、考查數(shù)形結(jié)合的思想,基礎(chǔ)題。解由向量加法的平行四邊形法則,知、可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊,且、為起點(diǎn)處的對(duì)角線長(zhǎng)等于菱形的邊長(zhǎng),故選擇B。19.〔2009XX卷文在中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué),則科網(wǎng)等于 <>A.B.C.D.答案A.解析由知,為的重心,根據(jù)向量的加法,則=20.〔2009XXXX卷文已知,向量與垂直,則實(shí)數(shù)的值為 < >A.B.C.D.答案A解析向量＝〔－3－1,2,＝〔－1,2,因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直,故有〔－3－1,2×〔－1,2＝0,即3＋1＋4＝0,解得：＝,故選.A.21.<2009XX卷理>對(duì)于非0向時(shí)a,b,"a//b"的正確是〔A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由,可得,即得,但,不一定有,所以""是"的充分不必要條件。22.〔2009XX卷文設(shè),,為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量,且滿足與不共線,∣∣=∣∣,則∣?∣的值一定等于<>A．以,為鄰邊的平行四邊形的面積B.以,為兩邊的三角形面積C．,為兩邊的三角形面積D.以,為鄰邊的平行四邊形的面積答案A解析假設(shè)與的夾角為,∣?∣=︱︱·︱︱·∣cos<,>∣=︱︱·︱︱?∣cos<90>∣=︱︱·︱︱?sin,即為以,為鄰邊的平行四邊形的面積.23.〔2009XX卷理已知,則向量與向量的夾角是〔A．B．C．D．答案C解析因?yàn)橛蓷l件得24.〔2009XX卷文已知向量若與平行,則實(shí)數(shù)的值是〔A．-2 B．0 C．1 D．2答案D解法1因?yàn)?所以由于與平行,得,解得。解法2因?yàn)榕c平行,則存在常數(shù),使,即,根據(jù)向量共線的條件知,向量與共線,故25.<2009XX卷理>函數(shù)的圖象按向量平移到,的函數(shù)解析式為當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),向量可以等于 <>答案B解析直接用代入法檢驗(yàn)比較簡(jiǎn)單.或者設(shè),根據(jù)定義,根據(jù)y是奇函數(shù),對(duì)應(yīng)求出,26.〔2009XX卷文函數(shù)的圖像F按向量a平移到F/,F/的解析式y(tǒng)=f<x>,當(dāng)y=f<x>為奇函數(shù)時(shí),向量a可以等于 <>A.EQB.C.D.答案D解析由平面向量平行規(guī)律可知,僅當(dāng)時(shí),：=為奇函數(shù),故選D.ABCP26.〔2009XX卷理若平面向量,滿足,平行于軸,,則.ABCP答案<-1,0>-<-2,-1>=<-3,1>解析或,則或.27.〔2009XX卷已知向量和向量的夾角為,,則向量和向量的數(shù)量積=.答案3解析考查數(shù)量積的運(yùn)算。28.〔2009XX卷理給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為.如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是________.答案2解析設(shè),即∴29.〔2009XX卷文在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),或=+,其中,R,則+=_________.答案4/3解析設(shè)、則,,代入條件得30.〔2009XX卷文已知向量,,,若則=．答案解析因?yàn)樗?31.〔2009XX卷理已知向量,,,若∥,則=．答案解析32.〔2009XX卷文如圖2,兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起,若,則,.圖2答案解析作,設(shè),,由解得故33.〔2009XX卷文在平面直角坐標(biāo)系xoy中,四邊形ABCD的邊AB∥DC,AD∥BC,已知點(diǎn)A<－2,0>,B〔6,8,C<8,6>,則D點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.答案〔0,－2解析平行四邊形ABCD中,∴＝<－2,0>＋<8,6>－<6,8>＝<0,－2>即D點(diǎn)坐標(biāo)為<0,－2>34.<20XXXX卷文>〔已知向量與互相垂直,其中〔1求和的值〔2若,,求的值解〔１,,即又∵,∴,即,∴又,<2>∵,,即又,∴35.〔2009XX卷設(shè)向量〔1若與垂直,求的值；〔2求的最大值;〔3若,求證：∥.解析本小題主要考查向量的基本概念,同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式,考查運(yùn)算和證明得基本能力。滿分14分。36.〔2009XX卷理已知向量與互相垂直,其中．〔1求和的值；〔2若,求的值．解〔1∵與互相垂直,則,即,代入得,又,∴.〔2∵,,∴,則,37.〔2009XX卷文已知向量〔1若,求的值；〔2若求的值。解〔1因?yàn)?所以于是,故〔2由知,所以從而,即,于是.又由知,,所以,或.因此,或38.<2009XX卷理>在,已知,求角A,B,C的大小.解設(shè)由得,所以又因此由得,于是所以,,因此,既由A=知,所以,,從而或,既或故或。39.〔2009上海卷文已知ΔABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,設(shè)向量,,.若//,求證：ΔABC為等腰三角形；若⊥,邊長(zhǎng)c=2,角C=,求ΔABC的面積.證明：〔1即,其中R是三角形ABC外接圓半徑,為等腰三角形解〔2由題意可知由余弦定理可知,2005—20XX高考題一、選擇題1.〔2008全國(guó)I在中,,．若點(diǎn)滿足,則〔A． B． C． D．答案A2.〔2008XX在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,若,,則〔A． 〔－2,－4 B．〔－3,－5 C．〔3,5 D．〔2,4答案B3.〔2008XX設(shè),,則〔A.B.C.D.答案C4.〔2008X