江蘇省百校大聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期第五次考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省百校大聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期第五次考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，即，即，解得，所以，又，所以.故選：C2.已知，，且，則（）A. B.2 C. D.10〖答案〗A〖解析〗因為，即，即，因為，，所以，解得，所以.故選：A.3.已知直線與直線平行，則的值為（）A.4 B. C.2或 D.或4〖答案〗B〖解析〗因為直線與直線平行，所以，解得或，當時直線與直線重合，不符合題意；當時直線與直線平行.故選：B4.在中，點滿足，點滿足，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為點滿足，所以為的中點，所以，又，所以，所以，又，因為，所以，即，所以，解得，所以.故選：C.5.設(shè)，是橢圓C：的兩個焦點，點P是C上的一點，且，則的面積為（）A.3 B. C.9 D.〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，，可得，，由，，則，即，所以的面積.故選：B6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，所以，所以.故選：D7.圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點，如圖，一個鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，是它的一個焦點，一光線從焦點發(fā)出，射到鏡面上點，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在平面直角坐標系中，如圖，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點，由，，可得，.則，，記雙曲線的焦距為，長軸長為，在直角三角形中，，，由雙曲線定義，可得，所以，即，所以離心率.故選：A8.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，令，所以，則，，所以，即恒為遞增函數(shù)，則，即，所以，綜上：，故選：A.二、選擇題9.已知直線經(jīng)過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗當直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即.由已知得，所以或，所以直線的方程為或.故選：AC.10.已知圓O：與圓C：交于A，B兩點，則下列說法正確的是（）A.線段AB的垂直平分線所在的直線方程為B.直線AB的方程為C.D.若點P是圓O上的一點，則△PAB面積的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗由圓C：知圓心為，所以直線OC的方程為，即，所以線段AB的垂直平分線所在的直線方程為，故A正確；因為圓O：與圓C：，兩圓方程作差，可得直線AB的方程為，故B正確；點O到直線AB的距離，所以，故C錯誤；點到直線的距離的最大值為，則面積的最大值為，故D正確．故選：ABD．11.如圖，拋物線：的焦點為，過的直線交于兩點，過分別作的準線的垂線，垂足分別為，，則下列說法正確的是（）A.若，則直線的方程為或B.C.以線段為直徑的圓與軸相切D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A：由題意知，，顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，所以，，由得，所以，.若，則，解得或，所以直線的方程為或，故A錯誤；對于B：因為，，所以，所以，故B正確；對于C：由拋物線定義知，，線段中點的橫坐標，即線段的中點到軸的距離是，所以以線段為直徑的圓與軸相切，故C正確；對于D：，，所以，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)的定義域為，對任意的，恒有，且，則下列說法正確的是（）A. B.為偶函數(shù)C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A：令，，則，又，所以，故A錯誤；對于B：令，則，所以，所以為偶函數(shù)，故B正確；對于C：令，則，所以，由于，令，，即，即，故C正確；對于D：令，則，所以，所以，所以，所以，所以是周期為6的周期函數(shù).令，則，即，所以，所以，，，，所以，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.過點且與圓：相切的直線方程為________.〖答案〗或〖解析〗圓：即，圓心為，半徑，當切線的斜率不存在時，直線恰好與圓相切；當切線的斜率存在時，設(shè)切線為，即，則，解得，所求切線方程為，綜上可得過點與圓相切的直線方程為或.故〖答案〗為：或14.若點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗雙曲線，則，，所以，設(shè)右焦點為，圓，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑，且恰為雙曲線的左焦點，，又點是雙曲線右支上的一點，則，所以，當且僅當、、三點共線（在之間）時取等號.故〖答案〗為：15.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓,此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中,已知點,圓：，若圓上存在點,使得，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，因為，所以，整理得，所以點在以為圓心，2為半徑的圓上，所以圓與圓有公共點，所以，又，所以，解得，即的取值范圍是.16.已知，，是橢圓上不同的三點，直線，直線交于點，直線交于點，記，的面積分別為，，若，則________．〖答案〗〖解析〗由，即，則，由圖知：當位置變化時，或，故，所以，而直線、斜率存在且不，故，，所以，即或，當，化簡得.當時，，顯然，無解.所以.故〖答案〗為：.四、解答題17.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的面積．解：（1）因為，所以，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，即，又，所以，所以，則.（2）因為，由正弦定理可得，又，由，所以，解得或（舍去），所以，所以.18.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和．解：（1）當，則；當，則，所以，而，則是首項、公比為2的等比數(shù)列，所以，且也滿足，綜上，.（2）由（1）得，當時，，當時，.所以.19.已知，是雙曲線：上的兩點，點是線段的中點.（1）求直線的方程；（2）若線段的垂直平分線與相交于，兩點，證明：，，，四點共圓.（1）解：依題意，直線的斜率必定存在，設(shè)其斜率為，，，所以，，所以，又，，所以，故直線的方程為，即，經(jīng)檢驗，符合題意，所以直線的方程為.（2）證明：由得，解得或，所以，.線段中垂線方程為：，設(shè)，由得，所以，故的中點，所以，，所以，，，在以為圓心，為半徑的圓上，所以，，，四點共圓.20.如圖，在四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，．（1）求證：平面平面ABCD；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接交于點，連接，因為底面是邊長為的菱形，所以為、的中點且，又，，所以，，，同理可得，所以，所以，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，其離心率為，點P是C上的一點（不同于A，B兩點），且面積的最大值為．（1）求C的方程；（2）若點O為坐標原點，直線AP交直線于點G，過點O且與直線BG垂直的直線記為l，直線BP交y軸于點E，直線BP交直線l于點F，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．解：（1）由題意，故.（2）由（1）及題設(shè)知：，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，則，即，所以，又過點O且與直線BG垂直的直線記為l，則，故直線，而直線，則，聯(lián)立，而，可得，所以，故，過作軸，如圖，所以為定值.22.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極大值點，求證：．（1）解：當時，則，，所以，所以在處的切線方程為.（2）證明：函數(shù)，則，若在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，，則.當時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，所以，又，所以當時恒成立，則