河南省濮陽市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河南省濮陽市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.數(shù)列的通項公式可能是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于選項A，當(dāng)時，，故A項錯誤；對于B選項，當(dāng)時，，故B項錯誤；對于C選項，當(dāng)時，，故C項錯誤；對于D項，因數(shù)列可以寫成，故其通項公式可以寫成，故D項正確.故選：D.2.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不確定〖答案〗A〖解析〗直線的方程為，即，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，所以，因為，所以.故選：A.3.已知等差數(shù)列，若，則（）A. B.0 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，整理得，所以.故選：B4.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則（）A.10 B.12 C.14 D.16〖答案〗D〖解析〗分析題意,，得出，即，所以，即.故選:D.5.有12個砝碼，總質(zhì)量為，它們的質(zhì)量從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列，且最重的3個砝碼質(zhì)量之和是最輕的3個砝碼質(zhì)量之和的4倍．用這些砝碼稱一個質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個數(shù)至少為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗將12個砝碼的質(zhì)量從小到大依次設(shè)為，由題可知，，，所以，化簡得，，所以，由得，，，化簡得，，解方程得，所以，，，，，，滿足，，又因為，滿足，所以這些砝碼稱一個質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個數(shù)至少為6個.故選：C.6.設(shè)圓的直徑為，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圓化為標準方程，則圓心，半徑，圓化為標準方程，圓心，半徑，因為為圓的直徑，在圓上存在點，使得，即，所以圓與圓有交點，則，即且，解得，所以的取值范圍是.故選：B.7.設(shè)，分別是雙曲線：的左?右焦點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗如圖，雙曲線的一個漸近線方程為，故直線的方程為：，聯(lián)立可得，，由得，即得，得（負值舍去）.故選：B.8.在長方體中，為長方體表面上的動點，且，則點的軌跡的長度為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，連接,，且以為原點建立空間直角坐標系，故,,,,設(shè)，且已知，，故，，即是的中點，是的三等分點，，，，，，的軌跡方程為平面，故軌跡長度即為該平面與長方體六個平面交線長度之和.聯(lián)立方程組，，得，當(dāng)時，，令，，故此時軌跡長度，聯(lián)立方程組，，得到，當(dāng)，時，該方程無解，則交線不在面內(nèi)，此時軌跡長度為，故排除，聯(lián)立方程組，，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故此時軌跡長度為，聯(lián)立方程組，，可得，當(dāng)，時，該方程無解，則交線不在面內(nèi)，此時軌跡長度為，故排除，聯(lián)立方程組，，可得，當(dāng)，時，該方程無解，則交線不在面內(nèi)，此時軌跡長度為，故排除，聯(lián)立方程組，，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故此時軌跡長度為綜上，軌跡長度為，故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗不妨設(shè)等比數(shù)列的公比為.對于A選項，不妨取數(shù)列展開為，則展開為，顯然不是等比數(shù)列，故A項錯誤；對于B選項，由則數(shù)列為等比數(shù)列，故B項正確；對于C選項，由則數(shù)列為等比數(shù)列，故C項正確；對于D選項，當(dāng)時，數(shù)列為首項為0的常數(shù)列，顯然不是等比數(shù)列，故D項錯誤.故選：BC.10.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面，則（）A. B.C. D.點到平面的距離為1〖答案〗AC〖解析〗對于A選項，由可知點是的中點，故,故A項正確；對于B選項，不妨取則因平面，底面是邊長為2的菱形，，故，于是由A項知：故，故B項錯誤；對于C選項，仿照選項B的向量取法，，故C項正確；對于D選項，如圖，過點作直線的垂線,垂足為，則由平面得,故平面，即為點到平面的距離.在中，，又因為點是的中點，平面，故點到平面的距離為即D項錯誤.故選：AC.11.已知點，動點滿足表示斜率，，動點的軌跡加上兩點構(gòu)成曲線，則下列說法正確的是（）A.若點在曲線上，則曲線的方程為B.若，則C.若，則曲線的離心率隨著的增大而增大D.若的面積有最大值，且最大值為4，則〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，則，所以，，整理得，若點在曲線上，則，解得，所以曲線的方程為，故選項A正確；若，則曲線的方程為，表示焦點在x軸上的橢圓，且該橢圓的長軸長為，所以，故選項B正確；若，則，曲線的方程為，表示為焦點在y軸的橢圓，其離心率為，所以曲線的離心率隨著的增大而減少，故選項C錯誤；要使的面積有最大值，則曲線不是雙曲線，則，若曲線為焦點在x軸上的橢圓，曲線的方程為，且，設(shè)，則，所以，由題意，，解得，與，矛盾，不合題意；若曲線為焦點在y軸上的橢圓，曲線的方程為，且，設(shè)，則，所以，由題意，，解得，與，矛盾，不合題意；當(dāng)時，曲線的方程為，表示圓心為原點，半徑為2的圓，則，所以，滿足題意；綜上，，故選項D正確.故選：ABD12.已知數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和，則（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)通項公式可知，，故A正確；因為，所以不是常數(shù)，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤；因為，即，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，故C正確；因為，即，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列，，為遞減數(shù)列，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，解得，故〖答案〗為：14.若點和點關(guān)于直線對稱，則__________．〖答案〗〖解析〗點和點的中點坐標為，由題意得，解得.故〖答案〗為：15.已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，且滿足，，則數(shù)列的公差為__________．〖答案〗1〖解析〗由題意，因為數(shù)列和都等差數(shù)列，設(shè)，，則，整理得，所以，又因為，則，④③代入②得整理得，⑤由④⑤整理得，⑥由①⑥可解得，，所以，，所以，所以，故數(shù)列公差為1.故〖答案〗為：116.已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點上一點在上的射影為，在軸上的射影為，直線與交于點，若，則的面積為__________．〖答案〗2〖解析〗由拋物線的焦點為F得，則拋物線E的方程為,準線，設(shè)則D而B,所以直線BD的方程為由得點C的坐標為,所以而所以所以所以，所以是直線BD的一個法向量，所以，解得，所以面積為.故〖答案〗為:2.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知．（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為，所以，解得，當(dāng)時，，所以，所以，因為是等比數(shù)列，所以，即，解得．（2）由（1）可知．所以，則．18.已知雙曲線的左?右焦點分別為，一條漸近線為，過點作的垂線，垂足為，且．（1）求雙曲線的方程；（2）若線段與交于點，求．解：（1）因為雙曲線的一條浙近線方程為，所以，所以的半焦距，故，因為，所以點到直線的距離為1，即，解得，所以雙曲線的方程為．（2）因為，且，所以直線的方程為，聯(lián)立方程，消得到，代入，得到，所以，又，所以．19.已知圓，點在圓內(nèi)部．（1）求的取值范圍；（2）若，過點作直線的垂線與圓交于兩點，求的外接圓方程．解：（1）因為點在圓內(nèi)部，所以，解得，即的取值范圍是；（2）當(dāng)時，，因為，所以，因為，所以，所以直線的方程為，化簡得．的外接圓經(jīng)過直線與圓的交點，故設(shè)其方程為，代入點的坐標，可得，解得．故的外接圓方程為，即．（標準方程為）20.如圖，在四棱錐中，平面平面分別為線段的中點．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，取棱的中點，連接，因為為的中點，所以，且，因為分別是的中點，所以，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，則，因為平面平面，所以平面．（2）連接，由已知可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，所以．因為為的中點，所以，又因為平面平面，平面平面，所以平面，即兩兩相互垂直．以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)，則，所以．故．設(shè)平面的法向量為，則取，可得，因為．所以直線與平面所成角的正弦值為．21.已知等差數(shù)列的前項和為，，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求滿足的的最小值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，，