江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故.故選：B.2.已知角，那么的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，其中，故的終邊在第三象限.故選：C.3.“”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗，可得或，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.4.已知一個(gè)面積為的扇形所對(duì)的弧長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)扇形半徑為，圓心角為，則，解得.故選：B.5.華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績?cè)鐬槭廊怂瞥纾f：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動(dòng)個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象只有選項(xiàng)C符合.故選：C.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題，令，則，，所以.故選：A.7.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得或0，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，不合要求，故，定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，，，，，其中，由于，故，即.故選：C.8.若是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.在上單調(diào)遞增B.C.當(dāng)時(shí)，的解集為D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗D〖解析〗由是定義在上的奇函數(shù)得，由是偶函數(shù)得，即關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合是奇函數(shù)可得關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴函數(shù)的周期為8，當(dāng)時(shí)，，則在（1個(gè)周期）的圖象如圖所示：對(duì)A，由圖易得，在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)；對(duì)B，由函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性可得，B錯(cuò)；對(duì)C，由圖以及函數(shù)關(guān)于對(duì)稱可知，滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，D對(duì).故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最大值 D.〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；B選項(xiàng)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即最大值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，由B選項(xiàng)得，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，有最大值，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，其中，故，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，D正確.故選：ACD.10.下列正確的是（）A.為銳角，B.為銳角，C.若，則D.若，且，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A，為銳角，則在第一象限，則，A正確；對(duì)B，若，則在第一象限，則，B正確；對(duì)C，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，則，同理，則，解得，D正確故選：ABD.11.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增D.若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗A選項(xiàng)，令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足要求，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜上，的取值范圍是，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，令，解得，由于在上單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞減區(qū)間即為所求，其中對(duì)稱軸為，開口向下，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則能夠取到所有正數(shù)，當(dāng)時(shí)，能夠取到所有正數(shù)，滿足要求，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確.故選：AD.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，，定義，，則（）A.B.C.若，則D.若，則〖答案〗BC〖解析〗A項(xiàng)，角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，因?yàn)?，由三角函?shù)定義可知，，所以，由解得，，所以，所以C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由解得，，所以，所以，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“，”的否定是_______________.〖答案〗，〖解析〗命題“，”的否定是：，.故〖答案〗為：，.14.已知函數(shù)，則的值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，，所以?故〖答案〗為：.15.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：），環(huán)境溫度是（單位：），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，若經(jīng)過3分鐘后物體的溫度為，則經(jīng)過6分鐘后物體的溫度為_________.〖答案〗〖解析〗由題知，3分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，所以，將代入可得.故〖答案〗為：.16.若函數(shù)，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．〖答案〗〖解析〗的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；又因?yàn)?，所以是上的偶函?shù)；因?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，則函數(shù)在單調(diào)遞增，又其為偶函數(shù)，得在單調(diào)遞減，則對(duì)恒成立，即，即，即，即,令，則不等式組化為，即與都要在上恒成立，則，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，又，，.（2）.18.（1）已知，，求的值；（2）若銳角滿足，求的值.解：（1）∵，，，∴，解得，，，，，，.（2），，，故.19.設(shè)函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，記．（1）求A；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．解：（1）由函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)可得，解得，故，且定義域?yàn)閧x|x>0}，由可得，所以，即，由，解得，故．（2），，令，，函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)換為，對(duì)稱軸為，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，又，，所以．20.已知二次函數(shù)滿足，函數(shù)，且不等式的解集為．（1）求，的〖解析〗式；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)二次函數(shù)，由得，由得，不等式得，由題意，是方程的兩根，則，解得，所以，綜上，，.（2）由（1），因?yàn)椋?，則對(duì)恒成立，故對(duì)時(shí)恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的〖解析〗式；（2）求不等式的解集．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí)，則，由時(shí)，函數(shù)，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，.（2）不等式，由函數(shù)為奇函數(shù)，化為：，即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，且，由函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，又∵，∴在上單調(diào)遞增，故有，解得，綜上所述：不等式的解集為.22.定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對(duì)任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.（1）判斷函數(shù)是否是上的有界函數(shù)并說明理由；（2）已知函數(shù)，若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若，函數(shù)在區(qū)間上是否存在上界，若存在，求出取值范圍，若不存在請(qǐng)說明理由．解：（1）是上的有界函數(shù)，理由如下：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得或，或，或，∴的值域?yàn)?，，∴存在，使得?/p>