遼寧省朝陽(yáng)市建平縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省朝陽(yáng)市建平縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，.故選：B2.已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由兩直線平行，得，解得.當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，故.故選：B.3.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線：的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A.9 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗由是上一點(diǎn)，得：，解得，所以．故選:D.4.圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切〖答案〗D〖解析〗圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)?，所以圓與圓內(nèi)切.故選：D5.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則由得，即或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A6.已知空間向量,若共面，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楣裁?，所以存在?shí)數(shù)對(duì),使得,即，所以解得故選：D．7.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為，下底直徑為，喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，則該塔筒的高為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A與分別為上，下底面對(duì)應(yīng)點(diǎn).設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以.又喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，所以，所以雙曲線的方程為.由題意可知，代入雙曲線方程，得，所以該塔筒的高為.故選:C.8.如圖，已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的面積為，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則的值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知的內(nèi)切圓的半徑為，又，所以的面積，因?yàn)?，所?故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于，的方程表示的曲線是，則曲線可以是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線〖答案〗ABC〖解析〗當(dāng)時(shí)，，方程可以化簡(jiǎn)為，曲線是圓；當(dāng)，且時(shí)，或，曲線是橢圓；當(dāng)時(shí)，或，曲線是雙曲線．故選:ABC．10.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11.已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最大值是B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則〖答案〗BC〖解析〗函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）,得到，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，A選項(xiàng)，最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，則，若，由，所以，所以，解唯一，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC12.如圖，在長(zhǎng)方體中，，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面C.異面直線和所成角的余弦值為D.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離不是定值〖答案〗ACD〖解析〗連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，則，由于平面，平面，所以平面，所以A選項(xiàng)正確.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，所以與不垂直，則與平面不垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，設(shè)直線與所成角為，則，C選項(xiàng)正確.，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于，所以直線與平面不平行，所以點(diǎn)到平面的距離不是定值，D選項(xiàng)正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)z滿足，則____.〖答案〗〖解析〗依題意，，所以.故〖答案〗為：14.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，，為上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．〖答案〗5〖解析〗過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，顯然點(diǎn)在拋物線內(nèi)，則當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，其最小值為．故〖答案〗為：15.在中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于，），且，若，則的最小值為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗依題意，由于三點(diǎn)共線，所以，而，由于點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于，），所以，則，所以為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故〖答案〗：16.已知分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第四象限，四邊形為平行四邊形，若的離心率的取值范圍是，則直線的傾斜角的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第二象限，由軸，可知軸，所以可設(shè)，又在漸近線上，所以，所以，因?yàn)榈碾x心率的取值范圍是，所以，又，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）求值；（2）若，求的面積.解：（1）依題意，，，由正弦定理得.（2）若，則，由余弦定理得，，解得，所以.18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．解：（1）設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，由可得，，所以，解得，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)為，所以，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由，得雙曲線的右頂點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且斜率為2，所以直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，得，所以，，所以．19.2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州成功舉辦，中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)小將全紅嬋備受大家關(guān)注.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解杭州市民對(duì)亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目的認(rèn)知程度，舉辦了一次“亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目”知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了1000名參賽者，發(fā)現(xiàn)他們的成績(jī)都在40～100分之間，將他們的成績(jī)分成，，，，，六組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值以及這1000人競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從，中抽取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，求接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)诘母怕?解：（1）依題意，，解得，平均數(shù)為.（2）的頻率為，的頻率為，所以從中抽取人，記為，在中抽取人，記為，從中任選人，基本事件有：，，共種，其中接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)诘挠?，共種，所以接受采訪的2人中有人成績(jī)?cè)诘母怕蕿?20.如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)镕，G分別為，的中點(diǎn)，所以，，又E為的中點(diǎn)，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令得，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.21.已知圓．（1）若直線過(guò)點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程；（2）設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值．解：（1）圓：，圓心的坐標(biāo)為，半徑．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到的距離，與圓相切；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，解得，所以直線的方程為．綜上所述：直線的方程為或．（2）圓心到直線的距離，所以，因?yàn)闉閳A上異于，的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，當(dāng)且，在圓心的兩側(cè)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積的最大值為．22.