青海省2024屆高三上學(xué)期協(xié)作聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1青海省2024屆高三上學(xué)期協(xié)作聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）第I卷一?選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，故選：B.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故選：D.3.在中，角所對(duì)的邊分別為.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)正弦定理可知，，，則，得.故選：A4.已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，又因?yàn)榍芯€與垂直，所以，所以，故選：A.5.下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，得，，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，其中只有是增區(qū)間的子集.故選：C6.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),命題,命題，，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，所以為定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以為真命題，又因?yàn)?，，即，即，所以為真命題，所以為真命題，故選：A.7.古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率.黃金分割率的值也可以用表示，即，設(shè)為正五邊形的一個(gè)內(nèi)角，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以，故選：A.8.用2個(gè)0，2個(gè)1和1個(gè)2組成一個(gè)五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（）A.8個(gè) B.12個(gè) C.18個(gè) D.24個(gè)〖答案〗C〖解析〗當(dāng)首位為2時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè)；當(dāng)首位為1時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè).綜上，這樣的五位數(shù)共有個(gè).故選：C.9.某圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意作圖如下：由題設(shè)可知該圓錐的高．設(shè)在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，該圓柱的底面半徑為，由，則，即，所以，故該圓柱的側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值．故選：C10.已知貴州某果園中刺梨單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個(gè)單果，則質(zhì)量在的單果的個(gè)數(shù)的期望為（）A.20 B.60 C.40 D.80〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?單位)服從正態(tài)分布，且，所以，若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個(gè)單果，則質(zhì)量在的單果的個(gè)數(shù)，所以.故選：B11.已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值是（）A.5 B.4 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，即為，所以圓心為即為焦點(diǎn)，半徑，顯然在拋物線內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，記點(diǎn)如下圖所示：所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，此時(shí)，所以的最小值為，故選：B.12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，且則的最小值是（）A.8 B.11 C.13 D.16〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖可知，則，因?yàn)?，所以，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即的最小值是.故選：C.第II卷二?填空題13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點(diǎn)為，則的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橐粭l漸近線方程為，即，所以，又因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為，所以，解得，所以實(shí)軸長(zhǎng)為，故〖答案〗為：.14.若實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗如圖，畫(huà)出約束條件表示的可行域，目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)，得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移至點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，聯(lián)立，得，，即，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值.故〖答案〗為：.15.如圖，直徑的半圓，為圓心，點(diǎn)在半圓弧上，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗連接，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以（?fù)值舍去），因?yàn)闉橹睆?，所以，所以，故〖答案〗為?16.在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則的軌跡長(zhǎng)度是__________.〖答案〗〖解析〗連接，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以，因幾何體為正四棱臺(tái)，所以平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以，所以平面，又因?yàn)?，所以，以為圓心，為半徑畫(huà)圓，如下圖，即為的軌跡，過(guò)作，分別交于，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的長(zhǎng)度為，故〖答案〗為：.三?解答題（一）必考題17.從某臍橙果園隨機(jī)選取200個(gè)臍橙，已知每個(gè)臍橙的質(zhì)量（單位：）都在區(qū)間內(nèi)，將這200個(gè)臍橙的質(zhì)量數(shù)據(jù)分成這4組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）試問(wèn)這200個(gè)臍橙中質(zhì)量不低于的個(gè)數(shù)是多少？（2）若每個(gè)區(qū)間的值以該區(qū)間的中間值為代表，估計(jì)這200個(gè)臍橙的質(zhì)量的平均數(shù).解：（1）不低于的頻率為，所以這200個(gè)臍橙中質(zhì)量不低于的個(gè)數(shù)是.（2）平均數(shù)為.18.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，由已知，，①當(dāng)，，②①②，得，得，當(dāng)時(shí)，，成立，綜上可知，；（2）由（1）可知，，則，，，兩式相減得，，19.如圖，在三棱柱中，平面是等邊三角形，且為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且是等邊三角形，所以．因?yàn)槠矫?，且，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)，連接．由題意可得兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，故．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20.已知橢圓的上?下頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．（1）解：由題意可得，設(shè)，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則．因?yàn)?，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為．由消去得．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以．設(shè)直線方程為，直線的方程為，所以．由（1）知，可得因此，即點(diǎn)在直線上．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：.（2）試問(wèn)是否為的極值點(diǎn)?說(shuō)明你的理由.（1）證明：，要證，只需證，即證，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，得證.（2）解：因?yàn)?，所以的?dǎo)數(shù)為，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，使,所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不是的極值點(diǎn).（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求這兩條直線的普通方程（結(jié)果用直線的一般式方程表示）；（2）若這兩條直線與圓都相離，求的取值范圍.解：（1）直線的參數(shù)方程為，則，兩式相減得直線參數(shù)方程為，則代入，得；（2）圓的圓心