山東省日照市2024屆高三上學(xué)期12月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省日照市2024屆高三上學(xué)期12月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題1.若集合，，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)集合：，解得；對(duì)集合：，解得，故可得.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得:，的虛部為.故選：C.3.已知雙曲線（，）的兩條漸近線互相垂直，焦距為，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閮蓷l漸近線互相垂直，故可得，又因?yàn)榻咕酁?，故可得，結(jié)合，解得，故實(shí)軸長(zhǎng).故選：B.4.已知角的終邊上有一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗角的終邊上有一點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)定義得，所以.故選：C5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗定義在上的奇函數(shù)，由，得，則函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.6.直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若，則此球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，三角形的外心是，外接圓半徑，在中，，，可得，由正弦定理，，可得外接圓半徑，設(shè)球心為，連接，，，在中，求得球半徑，此球的表面積為．故選：B．7.若過(guò)可作的兩條切線，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，則切線方程為：，把點(diǎn)代入可得，化為：，則此方程有大于0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．則，即，則，故選：A．8.已知實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)直線：恒過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)，那么點(diǎn)到直線的距離為：，因?yàn)椋?，且直線的斜率，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所?故選：A.二?多項(xiàng)選擇題9.已知，則（）A.有最大值 B.有最小值C.有最小值 D.有最小值4〖答案〗ABD〖解析〗由，對(duì)于A中，由，可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最大值，所以A正確；對(duì)于B中，由，因?yàn)橛凶畲笾担?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值，所以B正確；對(duì)于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最大值，所以C不正確；對(duì)于D中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值，所以D正確；故選：ABD.10.已知數(shù)列中，則（）A.的前10項(xiàng)和為B.的前100項(xiàng)和為100C.的前項(xiàng)和D.的最小項(xiàng)為〖答案〗BC〖解析〗A.易知，則，，，兩式相減得，，，則，故錯(cuò)誤；B.易知，則其前100項(xiàng)和為，故正確；C.，故正確；D.易知，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小項(xiàng)為，故錯(cuò)誤；故選：BC11.已知函數(shù)且，則（）A.當(dāng)時(shí)，恒成立B.當(dāng)時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)D.存在，使得存在三個(gè)極值點(diǎn)〖答案〗AB〖解析〗A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，即證明，即證明，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，所以存在唯一零點(diǎn)，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由得，，，當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)的分析可知，，因此由兩個(gè)零點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，令得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，設(shè)，，令得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最多有兩個(gè)零點(diǎn)，所以最多有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為，是空間中任意一點(diǎn)，下列正確的是（）A.若是棱動(dòng)點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值范圍是B.若在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為C.若在半圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D.若過(guò)點(diǎn)的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A，如圖所示，由于，可知即為異面直線與所成角，設(shè)連接，設(shè)，則在中，，故A正確；對(duì)于B，將三角形與四邊形沿展開(kāi)到同一個(gè)平面上，如圖所示，由圖可知，線段的長(zhǎng)度即為的最小值，中，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖當(dāng)為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，三棱錐的外接球球心是的中點(diǎn)，連結(jié)，則半徑的長(zhǎng)為，其表面積為，故C正確；對(duì)于D，平面α與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，只需與過(guò)同一頂點(diǎn)所成的角相等即可，如圖，，則平面與正方體過(guò)點(diǎn)A的三條棱所成的角相等，當(dāng)點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，連結(jié)，可得平面平行于平面，且為正六邊形，此時(shí)該截面是最大截面，由于正方體的棱長(zhǎng)為1，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為，則面積為，故D正確.故選：ACD.三?填空題13.設(shè)函數(shù)，則__________.〖答案〗-1〖解析〗因?yàn)?，所以故〖答案〗為?1.14.在平行四邊形ABCD中，＝6，＝5，則＝____________.〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，則，所以，而，則，則，故.故〖答案〗為：.15.已知數(shù)列滿足：，，且，，其中.則___________，若，則使得成立的最小正整數(shù)為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗，，，又，，；可猜想：；當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，，，，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；，，解得：，使得成立的最小正整數(shù)為.故〖答案〗為：；.16.某公園有一個(gè)坐落在水平地面上的大型石雕，如圖是該石雕的直觀圖.已知該石雕是正方體截去一個(gè)三棱錐后剩余部分，是該石雕與地面的接觸面，其中是該石雕所在正方體的一個(gè)頂點(diǎn).某興趣小組通過(guò)測(cè)量的三邊長(zhǎng)度，來(lái)計(jì)算該正方體石雕的相關(guān)數(shù)據(jù).已知測(cè)得，則該石雕最高點(diǎn)到地面的距離為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗如圖，補(bǔ)齊為正方體，設(shè)，，，則，解得，，，即該石雕所在正方體棱長(zhǎng)為.以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為，即該石雕最高點(diǎn)到地面的距離為.故〖答案〗為：.四?解答題17.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.解：（1）觀察圖象可得，函數(shù)的周期，解得，即，由，得，即，，而，則，所以函數(shù)的〖解析〗式是.（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，因此在上的值域?yàn)?18.如圖，凸四邊形中，.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若該四邊形有外接圓，求的最大值.解：（1）在中，由，得，則，在中，由余弦定理得，所以.（2）由四邊形有外接圓，得，令此圓直徑為，由正弦定理得，又，則，而，因此，設(shè)，則，在中，由正弦定理，得，則，在中，同理得，因此，由，得，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，所以的最大值是.19.已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，，所以為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．取的中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面．?）解：由（1）知，平面，故為與平面所成的角，∴，∴，又平面，平面，所以，，，∴，∴，即為線段的中點(diǎn)．取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，，又平面，所以平面，平面．所以，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以為二面角的平面角．在等邊三角形中，，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由，即，解得．因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值為?0.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，令得，解得，令得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2），由得①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以函?shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)只需解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.某高科技企業(yè)研制出一種型號(hào)為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價(jià)值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價(jià)值的第一年）.若第1年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是250萬(wàn)元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值減少30萬(wàn)元；從第7年開(kāi)始，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是上一年價(jià)值的50%.現(xiàn)用（）表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價(jià)值.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，，企業(yè)經(jīng)過(guò)成本核算，若萬(wàn)元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床，試問(wèn)該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？解：（1）題意得構(gòu)成首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.故（萬(wàn)元）.構(gòu)成首頂，公比的等比數(shù)列，故萬(wàn)元.于是，（萬(wàn)元）.（2）由（1）得是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列.當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，（萬(wàn)元）.所以（萬(wàn)元）；當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）.所以，當(dāng)時(shí)，恒有.故該企業(yè)需要在第12年年初更換A型車床.22.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為其準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線與拋物線C在第一象限交于點(diǎn)A，B，且．（1）求的值；（2）設(shè)圓，過(guò)點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別交拋物線C于點(diǎn)P，Q，求面積的最大值．解：（1）由題意得，所以拋物線C的方程為．由得．過(guò)B作于點(diǎn)，過(guò)A作于點(diǎn)，，且，由拋物線定義知，，所以，即．（2）設(shè)點(diǎn)，所以，所以，解得，所