山東省濰坊市2023-2024學年高二上學期普通高中學科素養(yǎng)能力測評數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省濰坊市2023-2024學年高二上學期普通高中學科素養(yǎng)能力測評數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線：，直線：，則直線與的位置關系是（）A.平行 B.相交 C.重合 D.相交或重合〖答案〗D〖解析〗直線可化為，所以當時，兩直線重合；當時，兩直線相交.故選：D2.已知點是正方形的中心，點為正方形所在平面外一點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為點是正方形的中心，所以分別為,的中點，所以在中，，同理，在中，，所以.故選：.3.已知為拋物線：上一點.點到的焦點的距離為8，到軸的距離為6，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可得，所以，故選：C4.如圖，已知為圓的直徑，且，垂直于圓所在的平面，且，是圓周上一點，，則二面角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為垂直于圓所在的平面，且平面，所以，，因為是圓周上一點，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，可得即為二面角的平面角，因為，，，所以，因為，，所以，，則二面角的大小為.故選：C.5.開普勒第一定律指出，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上.若某行星距太陽表面的最大距離為，最小距離，太陽半徑為，則該行星運行軌跡橢圓的離心率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設橢圓的焦距為，長軸長為，則由已知可得，兩式相加可得，兩式相減可得，則，，所以離心率.故選：A.6.已知圓，點，為圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓，圓心，半徑為，則圓心關于x軸的對稱點為，則，當且僅當三點共線時取得最小值，結合圖像可知.故選：C7.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，點在軸上，點在的漸近線上.若，，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，設所在直線方程，則，與雙曲線漸近線聯(lián)立得：，得，得，由，得，得，由，得，化簡得，得，所以，所以，故B項正確.故選：B.8.如圖，在矩形中，，，分別為的中點，將沿直線翻折成，與不重合，連結，則在翻折過程中，與平面所成角的正切值的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗連接、，設其交點為，連接，由矩形中，，，故四邊形為正方形，且，，又由點關于折疊而來，故，且，又、平面，且，故平面，過點作于點，由、，故，又平面，故平面，連接，則為與平面所成角，由平面，故，故與平面所成角的正切值即為，由，，，故與全等，故，，過點作于點，則有，設，則，當點在線段上（可在點，不可在點）時，則，有，則，則，易得在上時隨的增大而增大，故，當點在線段上（不在兩端）時，，則，則，則，易得在上時隨的增大而增大，此時，綜上所述，，即在翻折過程中，與平面所成角的正切值的取值范圍為.故選：D.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.若方程所表示的曲線為，則下列命題錯誤的是（）A.當時，為橢圓B.當或時，為雙曲線C.若為橢圓，則長軸長為D.若為雙曲線，則焦距為〖答案〗ACD〖解析〗當為橢圓時，則，所以且，故A錯誤，當為雙曲線時，所以，解得或，故B正確，當時，表示焦點在軸上的橢圓，則長軸長為，當時，表示焦點在軸上的橢圓，則長軸長為，故C錯誤，當時，表示焦點在軸上的雙曲線，則焦距為，當時，表示焦點在軸上的雙曲線，則焦距為，故D錯誤，故選：ACD10.如圖，棱長為1的正方體中，為線段上動點（包括端點）.則下列結論正確的是（）A.當點為中點時，平面B.當點在線段上運動時，三棱錐的體積為定值C.當點為中點時，直線與直線所成角的余弦值為D.點到線段距離的最小值為〖答案〗AB〖解析〗如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，對于選項A：則，可得，設平面的法向量，則，設，可得，可得，當點為中點時，則，可得，因為，即與共線，所以平面，故A正確；對于選項B：由選項A可知：點到平面的距離為，所以三棱錐的體積（定值），故B正確；對于選項C：當點為中點時，則，可得，因為，所以直線與直線所成角的余弦值為，故C錯誤；對于選項D：設，則，在方向上的投影為，且，則點到線段距離為，所以當，點到線段距離取到最小值，故D錯誤；故選：AB.11.若某個正四棱錐的相鄰兩個側面所成二面角的大小為，側棱與底面所成線面角的大小為，側棱與底邊所成的角為，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗設底面邊長為2，則側棱長為，如圖，記斜高，則，過作，垂足為，連接，則且，故為相鄰兩個側面的二面角，而，故，故，而均為銳角，故，則則，即，，則，則故選：AC12.設直線系：，則（）A.點到中任意一條直線的距離為定值B.存在定點不在中任意一條直線上C.點到中所有直線距離的最大值為5D.對任意的整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，由點到的距離為，所以點到中任意一條直線的距離為定值，所以A正確；對于B中，由點到的距離為，可得直線表示的是圓的所有切線，所以存在定點，例如：圓內部的點，不在直線中任意一條直線上，所以B正確；對于C中，由直線B項知直線表示的是圓的所有切線，其中圓的圓心，半徑為，又由，可得，所以點到中所有直線距離的最大值為，所以C不正確；對于D中，例如：若圓是一個正三角形的內切圓，即正三角形的三邊分別為圓的切線，因為直線表示的是圓的所有切線，所以三角形的三邊均在直線中的直線上，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡的相應位置.13.已知拋物線方程為，則其焦點坐標為______.〖答案〗〖解析〗把拋物線方程化為標準式，得，所以焦點坐標為.故〖答案〗為：.14.已知雙曲線：的左焦點為，且是雙曲線上的一點，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗設，且，，又，又或，所以即的最小值為，當點為雙曲線左定點時去最小值.故〖答案〗為：.15.在化學知識中，空間利用率是指構成晶體的原子在整個晶體空間中所占有的體積之比，即空間利用率晶胞含有原子的體積晶胞體積.如圖是某金屬晶體晶胞的一種堆積方式——體心立方堆積，該堆積方式是以正方體8個頂點為球心的球互不相切，但均與以正方體體心為球心的球相切.晶胞為上述正方體，則該金屬晶體晶胞的空間利用率為__________.〖答案〗〖解析〗設小球半徑為，正方體的棱長為，所以，故空間利用率為，故〖答案〗為：16.如圖，平面與圓柱相交，而且平面與圓柱的軸不垂直，點為平面與圓柱表面交線上的任意一點，則點的軌跡為__________.在圓柱內部放置兩個半徑與圓柱底面半徑相同的球，平面分別與兩球切于兩點，過點作圓柱的母線，分別與兩球切于兩點，記線段長度為，線段長度為，且.在平面內的任意兩條互相垂直的切線的交點為，建立適當?shù)淖鴺讼担瑒t動點的軌跡方程為__________.〖答案〗①橢圓②（〖答案〗不唯一）〖解析〗由圓柱體的結構特征：平面與圓柱相交，而且平面與圓柱的軸不垂直，則截面為橢圓，所以點的軌跡為橢圓，如圖，為橢圓軌跡上三點，而是兩個球體上的切點，由空間上一點作同一個球體上的切線，切線長都相等，則，，所以，當與重合時，即橢圓軌跡的焦點為，所以焦距，則橢圓一個標準方程為，，如上圖，設，若切線斜率都存在，則切線為，聯(lián)立橢圓可得，所以，則，故是方程的兩個根，結合切線垂直，所以，則，所以動點的軌跡方程為.故〖答案〗為：橢圓，（〖答案〗不唯一）四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知雙曲線：的一個焦點為，一條漸近線方程為，為坐標原點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求弦長.解：（1）由焦點可知，又一條漸近線方程為，所以，由可得，解得，故雙曲線的標準方程為.（2）設中點的坐標為，則兩式子相減得：，化簡得，即，又，所以，所以中點的坐標為，所以直線的方程為，即.將代入得，，則，,18.已知直線：與圓：交于兩點，且.（1）求實數(shù)的值；（2）若點為直線：上的動點，求的面積.解：（1）圓可化為，所以圓心，半徑，則圓心到直線的距離因，所以，又，所以，所以，所以，解得，又因為，所以.（2）由（1）知，圓，所以圓心到直線的距離為，所以，又，所以的高為，所以.19.如圖，在五面體中，底面為正方形，側面為等腰梯形，，平面平面，，.（1）求直線到平面的距離；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）因為側面為等腰梯形，，平面，平面，所以平面，則直線到平面的距離就是點到平面的距離.如圖，過點作于點，連接.因為平面平面，又平面平面平面，所以平面，因為平面，所以.因為四邊形為等腰梯形，，所以，所以，又，所以，即直線到平面的距離為12.（2）以為坐標原點，分別以所在直線分別為軸，過點作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，所以，設平面的法向量為，則，即，令，則，設直線與平面的夾角為，則.20.設橢圓：，其離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率為的直線與相交于兩點，線段的中點為，延長交于點，使得四邊形為矩形，求的值.解：（1）因為且，所以①，又因為點在橢圓上，所以②，解①②得，所以橢圓的方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線，由，得，當，①所以，所以，所以，所以，所以，所以②又因為，所以，所以③聯(lián)立①②③解得，所以直線的斜率為.21.如圖，已知在幾何體中，是邊長為4正三角形，，，，二面角的大小為，為線段的中點.（1）證明：平面；（2）點為線段上的動點（不包括端點），求平面與平面所成角的余弦值的最大值，并說明此時點的位置.解：（1）因為，由余弦定理得，同理可得，取線段的中點，連接，所以，，，所以，所以，為二面角的平面角，即，易知點共面，所以，又因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）取線段的中點，連接，所以，又，，，平面，所以平面，以點為坐標原點，以方向分別為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，設平面的一個法向量為，所以令，則，又因為，設，又因為，所以設平面的一個法向量為，則令，則，所以，設平面與平面所成角為，則，令，則，當且僅當，即時等號成立，所以平面與平面所成角的余弦值的最大值為，此時22.已知點，圓，點是圓上的任意一點.動圓過點，且與相切，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若與軸不垂直的直線與曲線交于、兩點，點為與軸的交點，且，若在軸上存在異于點的一點，使得為定值，求點的坐標；（3）過點的直線與曲線交于、兩點，且曲線在、兩點處的切線交于點，證明：在定直線上.解：（1）由題意知，